高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.8 函数与方程课件 理.ppt

第八节函数与方程 知识梳理 1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x 把使 的实数x叫做函数y f x 的零点 f x 0 2 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是 的一条曲线 并且有 那么 函数y f x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 连续不断 f a f b 0 a b f c 0 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象与零点的关系 x1 0 x2 0 x1 0 2 1 0 特别提醒 1 有关函数零点的结论 1 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图象通过零点时 函数值可能变号 也可能不变号 2 三个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 小题快练 链接教材练一练1 必修1p88例1改编 函数的零点个数为 a 0b 1c 2d 3 解析 选b 函数f x 的零点个数是方程 0的解的个数 即方程的解的个数 也就是函数y 与y 的图象的交点个数 在同一坐标系中作出两个函数的图象 可得交点个数为1 感悟考题试一试2 2015 安徽高考 下列函数中 既是偶函数又存在零点的是 a y cosxb y sinxc y lnxd y x2 1 解题提示 根据偶函数的定义域关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称及函数零点的定义进行判断 解析 选a 3 2016 保定模拟 若函数f x x2 2mx m2 1在区间 0 1 上恰有一个零点 则m的取值范围为 a 1 0 1 2 b 2 1 0 1 c 1 1 d 2 2 解析 选a 令f x x2 2mx m2 1 0 可得x1 m 1 x2 m 1 因为函数f x x2 2mx m2 1在区间 0 1 上恰有一个零点 所以0 m 1 1或0 m 1 1 所以1 m 2或 1 m 0 4 2016 商丘模拟 已知f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x2 3x 则函数g x f x x 3的零点的集合为 解析 令x0 所以f x x 2 3 x x2 3x 因为f x 是定义在r上的奇函数 所以f x f x 所以当x 0时 f x x2 3x 所以当x 0时 g x x2 4x 3 令g x 0 即x2 4x 3 0 解得x 1或x 3 当x0 舍去 或x 2 所以函数g x 有三个零点 故其集合为 2 1 3 答案 2 1 3 考向一确定函数零点所在区间 典例1 1 方程log3x x 3的根所在的区间为 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 2 2016 宿州模拟 设函数y x3与y 的图象的交点为 x0 y0 若x0 n n 1 n n 则x0所在的区间是 解题导引 1 利用零点存在性定理进行判断 2 分别画出函数y x3与y 的图象 利用函数零点存在性定理进行判断 规范解答 1 选c 方程log3x x 3的根即是函数f x log3x x 3的零点 由于f 2 log32 2 3 log32 10且函数f x 在 0 上为单调增函数 所以函数f x 的零点即方程log3x x 3的根 所在区间为 2 3 一题多解 解答本题还有以下方法 选c 方程log3x x 3的根所在区间即是函数y1 log3x与y2 3 x交点横坐标所在区间 两函数图象如图所示 由图知方程log3x x 3的根所在区间为 2 3 2 设f x x3 则x0是函数f x 的零点 在同一坐标系下画出函数y x3与y 的图象如图所示 因为f 1 1 10 所以f 1 f 2 0 所以x0 1 2 答案 1 2 规律方法 确定函数零点所在区间的方法 1 解方程法 当对应方程f x 0易解时 可先解方程 然后再看求得的根是否落在给定区间上 2 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 3 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 变式训练 2016 九江模拟 函数f x x log2x的零点所在区间为 解析 选a 因为所以故函数f x x log2x的零点所在区间为 加固训练 1 已知函数f x log2x 在下列区间中 包含f x 零点的区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 4 d 4 解析 选c 由题意知 函数f x 在 0 上为减函数 又f 1 6 0 6 0 f 2 3 1 2 0 由零点存在性定理 可知函数f x 在区间 2 4 上必存在零点 2 函数f x ln x 1 的零点所在的大致区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 e d 3 4 解析 选b 因为f x 在 0 上为单调增函数 且f 1 ln2 20 所以函数的零点所在的大致区间是 1 2 3 下列函数中在 1 2 内有零点的是 a f x 3x2 4x 5b f x x3 5x 5c f x lnx 3x 6d f x ex 3x 6 解析 选d f x ex 3x 6 f 1 e 30 函数在 1 2 内至少有一个零点 4 2016 河南十所名校联考 设函数f x x lnx 则函数y f x a 在区间 1 e 内均有零点b 在区间 1 e 内均无零点c 在区间内有零点 在区间 1 e 内无零点d 在区间内无零点 在区间 1 e 内有零点 解析 选d 方法一 当x 时 函数图象是连续的 且所以函数f x 在上单调递减 又f e e lne 0 所以函数有唯一的零点在区间 1 e 内 方法二 令f x 0得x lnx 作出函数y x和y lnx的图象 如图 显然y f x 在内无零点 在 1 e 内有零点 5 2016 温州模拟 如图是二次函数f x x2 bx a的部分图象 则函数g x ex f x 的零点所在的大致区间是 a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 解析 选b 由图象知得10 所以g 0 g 1 0 所以g x ex f x 的零点所在的大致区间是 0 1 考向二函数零点的个数 典例2 1 已知函数y f x 是周期为2的周期函数 且当x 1 1 时 f x 2 x 1 则函数f x f x lgx 的零点个数是 a 9b 10c 11d 18 2 2016 秦皇岛模拟 函数f x 的零点个数是 解题导引 1 函数f x 的零点个数就是函数y f x 与y lgx 图象交点的个数 作出函数图象 结合图象确定零点的个数 2 画出函数的图象 结合图象确定零点的个数 规范解答 1 选b 由f x 0得f x lgx 所以函数f x f x lgx 的零点个数就是函数y f x 与y lgx 图象交点的个数 作出函数图象 如图所示 当010时 lgx 1 所以此时函数y f x 与y lgx 图象无交点 故函数f x f x lgx 的零点个数是10 2 当x 0时 作函数y lnx和y x2 2x的图象 由图知 当x 0时 f x 有2个零点 当x 0时 由f x 0得x 综上 f x 有3个零点 答案 3 易错警示 解决本例 1 会出现如下错误 1 不能将问题转化为两个函数的交点问题 2 函数图象不准确导致失误 母题变式 1 本例 2 中的函数变为f x x2 2x a2 1 a r 则零点的个数如何 解析 因为a r 所以a2 1 1 而y x2 2x 的图象如图 所以y x2 2x 的图象与y a2 1的图象总有两个交点 所以函数f x 有2个零点 2 若本例 2 函数变为 已知f x 是定义域为r的奇函数 且在 0 内的零点有1003个 则f x 的零点的个数有多少个 解析 因为f x 为奇函数 且在 0 内有1003个零点 所以在 0 上也有1003个零点 又因为f 0 0 所以共有2006 1 2007个零点 规律方法 判断函数零点个数的方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 则有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理法 利用定理不仅要求函数在区间 a b 上是连续不断的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 周期性 对称性 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 3 数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题 先画出两个函数的图象 看其交点的个数 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 变式训练 2015 湖北高考 函数f x 4cos2cos x 2sinx ln x 1 的零点个数为 解析 函数f x 2sinx ln x 1 的零点个数等价于方程的根的个数 即函数g x 2sinx sin2x与h x ln x 1 的图象交点个数 分别画出其函数图 象的草图如图所示 由图可知 函数g x 与h x 的图象有2个交点 答案 2 加固训练 1 函数f x 2x x3 2在区间 0 1 内的零点个数是 a 0b 1c 2d 3 解析 选b 因为f x 2xln2 3x2 0 所以函数f x 2x x3 2在 0 1 上递增 且f 0 1 0 2 10 所以有1个零点 2 若定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 1 时 f x x 则函数y f x log3 x 的零点个数是 a 多于4个b 4个c 3个d 2个 解析 选b 由题意知 f x 是周期为2的偶函数 在同一坐标系内作出函数y f x 及y log3 x 的图象 如图 观察图象可以发现它们有4个交点 即函数y f x log3 x 有4个零点 3 2016 合肥模拟 若偶函数f x 满足f x 1 f x 1 且在x 0 1 时 f x x2 则关于x的方程f x 上的根的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 选c 因为f x 为偶函数 所以当x 1 0 时 x 0 1 所以f x x2 即f x x2 又f x 1 f x 1 所以f x 2 f x 1 1 f x 1 1 f x 故f x 是以2为周期的周期函数 据此在同一坐标系中作出函数y f x 与y 上的图象如图所示 数形结合得两图象有3个交点 故方程f x 在上有三个根 考向三函数零点的应用 考情快递 考题例析 命题方向1 已知函数的零点或方程的根求参数 典例3 2015 北京高考改编 设函数f x 若f x 恰有2个零点 则实数a的取值范围是 解题导引 根据题意 对a进行分类讨论 根据零点个数确定实数a的取值范围 规范解答 若a 0 当x 1 f x 2x a恰有一个零点log2a时 有解得 a 1 当x 1 f x 2x a无零点时 有解得a 2 若a 0 当x 1时 f x 无零点 当x 1时 由题意知应恰有两个零点 所以无解 综上 a 1或a 2 答案 a 1或a 2 命题方向2 利用函数零点比较大小 典例4 2016 长沙模拟 已知函数f x 2x x g x x x h x log2x 0 x2 x3b x2 x1 x3c x1 x3 x2d x3 x2 x1 解题导引 分别作出函数y 2x y x y x y x y log2x y 的图象 结合图象确定x1 x2 x3的大小关系 规范解答 选d 由f x 2x x 0 g x x x 0 h x log2x 0得2x x x x log2x 在坐标系中分别作出y 2x y x y x y x y log2x y 的图象 由图象可知 11 所以x3 x2 x1 技法感悟 1 已知函数零点情况求参数的步骤及方法 1 步骤 判断函数的单调性 利用零点存在性定理 得到参数所满足的不等式 组 解不等式 组 即得参数的取值范围 2 方法 常利用数形结合法 2 借助函数零点比较大小的思路要比较f a 与f b 的大小 通常先比较f a f b 与0的大小 题组通关 1 2016 德阳模拟 已知函数f x 若函数y f x k有三个零点 则实数k满足 a k 2b 1 k 0c 2 k 1d k 2 解析 选d 由于 f x 0 故必须 k 0 即k 0 显然k 0时两个函数y f x 和y k图象只有一个公共点 所以k 0 要使y f x 与y k的图象有三个公共点 如图所示 只要 k 2 即k 2即可 2 2016 南昌模拟 已知a是函数f x 2x x的零点 若00d f x0 的符号不确定 解析 选b 函数f x 2x log2x在 0 上是增函数 故零点是唯一的 又0 x0 a 则f x0 f a 0 3 2016 广州模拟 已知e是自然对数的底数 函数f x ex x 2的零点为a 函数g x lnx x 2的零点为b 则下列不等式成立的是 a f a f