数学奥林匹克初中训练题(175).pdf

2 0 1 5年第7期 3 7 数学奥滁 毡渤 删拣遣 1 7 5 中图分类号 G 4 2 4 7 9 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 5 6 4 1 6 2 0 1 5 0 7 0 0 3 7 0 5 第 一 试 一 选择题 每小题 7分 共 4 2 分 1 已知代数式 x 4 y 加上一个单项 式后得到一个整式的平方 则符合条件的单 项式有 个 A 3 B 4 C 5 D 6 2 已知四边形 A B C D中 A C平分 B C D C A D 2 I C B D 4 0 则 A B D A 5 O B 6 0 c 7 o D 8 O 3 如图 1 在边长为 1的 5 5的正方形 网格 中有一格点 A B C 在 网 格中找一格点 D E F与 A A B C相 似 则 A D E F 面积的最大值为 A 图 1 C A 2 B 2 5 C 3 D 3 5 4 已知面积为 6 0的六边形 A B C D E F内 接于 o 0 A B B C C D D E E F A 则 A B D F的面积为 A 4 5 B 4 0 C 3 6 D 3 O 5 书架上有 5 3 本数学书和物理书 其中 没有两本物理书相互挨着放 但每本数学书 均与另一本数学书相邻 给出下列四个说法 数学书至少有3 5 本 物理书最多有 1 8 本 有 3本数学书并排放着 在 1 2 本连着放的书里面 至少有 8本 是数学书 其中 正确的说法有 个 A 1 B 2 C 3 D 4 6 如图2 oO oO z 外离 其连心线 O O 2 与o0 交于 A B两点 与o0 交于 C D两点 oO 与oO 内切于点 曰 oO 与oO 内切于 点 C o0 与oO 的外公切线过点 切oO 于点 E 切OO 于点 oO 与Go 的外公切 线过点 若oO 的半径为 1 2 则oO 的半 径 为 A 幽 2 A 1 B 1 2 C 1 5 D 0 9 二 填空题 每小题 7分 共 2 8分 1 已知 A B均为 6 7 2次整式 C为 6 7 1 次整式 一 c的次数分别为 R 则 l m n l I 2m n一6 7 2 I I一3 m 一2 l 2 已知正数 满足 o 1 5 2 5 0 则 的值为一 3 如图 3 已知 为矩形 A B C D内一点 AB 1 BC 2 t A M MC B M MD 则 t 的最小值为 图3 3 8 中 等 数 学 4 如图 4 已知 A B C 的两条 中线 B D C E交 于点 G A D G E 四 点 共 圆 曰 C 6 则 A G的 R 长为一 图4 C 第 二 试 一 2 0 分 已知 m 17 为整数 点 P m n 在函数 一 4 1 2 x 3 2 4 的图像上 求符合条件的点 P的个数 二 2 5分 如 图 5 o D的内接 四边形 A B C D的两组对边互不平行 B A C D的延长 线 交 于 点 P A D B C的延 长 线 交 于 点 Q P B C 的外接 圆 与 A Q C D 的外接 圆交于 C M 两 点 证 明 O M上 P p 图 5 三 2 5分 对于正整数 k 求满足 F 列 条件的所有正偶数 的最大公约数 d的值 1 孚和 詈 均 为 整 数 两 个 数 的 位 数 之 差等于这两个数之差 2 孚的 各位数字之积为 完全立方数 参 考 答 案 第 一 试 一 1 D 符合条件的单项式可为 2 x 3y 3 2 如图 6 作A A B C 的外接圆 与 B D的延 长线 交 于点 E 联 结 A E 则 C AE CBE I 4 0 DAE E 一 C AD 2 0 D 图 6 AEB AC B ACD 又 A D A D 故 A A D E A A D C AE AC AE AC A E BC 1 8 0 ABD ABE 7 O 3 B 注意到 A 曰 1 B C 5 A C l O 正 方形的对角线长为 5 而 5 于是 找一个三边长分 别为 5 5 2的三 角形 如图 7 A D E F 即 为 所 求 相 似 比 为 4 s 1 由s B c 知 F 一r D A 图 7 C s D E F S B c 2 5 4 D 将A A B F沿 B F翻折得到A MB F 联结 D M 如图 8 B C 图 8 A E E 一 2 0 1 5年第 7期 3 9 由A B B C A B B C A F B B D C 记为 类似地 C B D D F E 记为 因为四边形 B C D F为o D的 内接 四边 形 所以 BFD 1 8 0 一 BCD 1 8 0 一 1 8 0 一 一 O L O L 卢 则 D F M B F D一 B F M B F D一 A F B 0 JE 一 从而 D E F C一 3 D MF 类似地 B C D B MD 因此 B D F的面积是 六边 形 A B C D E F 面积的一半 故 B D F的面积为 3 0 5 C 数学 书 s 最少 的情形 出现在 物理 书 最多的时候 如下所示 SW 三本数学书 S S S还可 以同时 出现在其他位 置 排列显示 正确 说法 在如下的 排列中不成立 s s w s s ws s w s s 6 B 设oD i 1 2 3 4 的半径为 r i B C r r g 显然 A E O 3 A F O 2 故 0 3 E A03 r 3 搴 2r 1 r 2 r 3 类似地 F 4 因此 r 4 r 3 1 2 二 1 2 01 8 由题意知 m 0 则 b 一2 3 2 一 b b 一3 b 一 3 b 注意到 2 X 3 1 5 1 故 b 一 2 b 一3 b 1 2 3 b b 一 5 b 5 b 一 1 2 3 0 因为 1 2 3 3 4 1 所 以 当 b 3时 式 左 右两边相等 于是 b 3 为式 的解 用 b 一 3 去除式 的左边 得商 b 36 1 6 b 41 由该商恒大于 0 知 b 3 即 3 3 2 如图 9 过点 作 A B B C的垂 线 垂 足 分 别 为 P Q 设 A P 口 BP b 8 Q c Q C d 贝 0 b 1 C d 2 注意到 图 9 中 等 数 学 A C 2 a c b d 02 b 2 n 2 d 2 b 2 c 2 c 2 d 2 0 d 6 c 0 6一 c d 口 d 6 c 因此 A M MC a d 6 c 当且仅 当 a b c d时 等号成立 类似地 B M MD a c 6 d 当且仅 当 口 6 c d时 等号成立 故 口 b c a c b d a b C d 2 当且仅当 a b c d时 等号成立 如 a 0 5 0 1 6 b 0 5 0 1 6 c 0 1 d 1 9时 a b c d 因此 t 的最小值为 2 4 2 如图 1 O 延长 A G与 B C交于点 F 联结 D E 与 A G交于点 显然 G为 A B C的重心 A G 2 G F 又 DE 1Bc M t A F的中点 则 EM 1 F 1FC MD 23 AM 1AF 3 GF MG AM GF GF 故 A M 3 MG 由相交弦定理得 A M MG E M MD MG MG G 学 j AG A M MG 2 l3 第 二 试 一 注意到 17 m 一 4 m 1 2 m 3 2 4 m 2 m一 2 m 4 m 8 4 m 6 m 8 m 6 m一1 6 4 令 t m 6 m一 4 贝 0 n t 1 2 t 一1 2 4 即 t t n 1 4 0 不妨设 n为非负整数 显然 t r t 与 t n 同奇偶 而 t 7 一 7 于是 t 7 一2 一1 0 1 4 7 0 相应地 t n 一 7 0 一1 4 1 O 2 故 t n 一 3 6 3 4 一 1 2 2 1 2 2 3 6 3 4 从 而 m 6 m一 4 3 6 1 2 解得 m 4 一1 O 一8 2 一2 一4 因此 符合条件的点 P有 6 个 二 如图 1 1 联结 C M 删 Q M O P O Q 图 1 1 则 C OQ C MQ C D Q A B C PBC PMC 1 8 O 故 P MC C MQ PMC ABC 1 8 0 因此 P M Q三点共线 设oo的半径为 R 2 0 1 5年第 7期 4 1 由圆幂定理得 P M P Q P D P C P A P B P O 一 Q M P Q Q 8 Q C Q O 一R z 一 得 P O 一Q O 一Q M P Q 一Q M Q M p M2一 Q 因此 O M 上 P Q 三 由 1 知 一 詈 为 整 数 由k 为正整数 知 k 1 或 2 于 是 詈 的 各 位 数 字 均 为 9 否 则 字与 詈 的 位 数 相 同 设 詈 的 位 数 为 其 各 位 数 字 之 积 为 m 当 k 1 时 戈 2的位数 比 的位数多 2 一 2位 这显然是不可能的 当 2 时 x丁 2 的 位 数 比 量 的 位 数 多 字 一 詈 位 m为正整数 则 9 m 3 m 3 1 2 n 因为 3 2 1 所以 3 令 n 3 t t 为正整数 则 詈 骂 9 9 9 l 詈 n 个 3 个 j 1 9 9 8 l j l 9 9 8 d 又当 t 1 时 1 9 9 8 而 d 1 9 9 8 故 d 1 9 9 8 谢文晓湖北省黄冈中学 4 3 8 0 0 0 上接第 1 3页 若 A A 同色 贝 0 i 1 i 若 A 为蓝色 A m 为绿色 则 i 1 一1 若 A 为绿色 A 为蓝色 则 i 1 i 1 总之 If i 1 一 i l 1 结合式 知存在 1 2 3 n 1 使得 2 n 即存在一条线段恰包含集合 S中A 3 这 3 n个点 其 中 2 n 个点为蓝色 n 个点为绿色 注 该题把包含前 3 n个点的线段看作 初始状态 每步调整时去掉最前面那个点并 添加 后 面 相 邻 的 一 个 点 调 整 过 程 中 i 1 一 i I 1是其内在规律 在式 的条件下 可证 明存在一个时刻 连续 3 乃个 点中恰有 2 n 个蓝点 通过以上例题看出 局部调整法的精髓 体现在以下几个方面 1 通过调整 使原状态达到某种意义 下更优的状态 从而 逐步达到最优状态 注 意必须以最优状态存在为前提 2 通过调整 将大量一般的情形归结 为讨论少数几类特殊的 规则的情形 使问题 便于解决 3 在按某种条件或要求进行操作时