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七年级下册 第二章 平行线与相交线 黄土中学 吴拥军 审核人：吴明学【学习课题】 第1课时 余角与补角【学习目标】1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力；2.在具体情景中了解余角、补角，知道同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，并且能够解决一些实际问题。【学习重点】理解余角、补角概念及数学符号表示。【学习难点】应用余角、补角的表达式解决实际问题。【学习过程】学习准备1.我们知道：角是由两条具有公共 的 组成的图形；也可以看成是由一条 绕着它的 旋转而成的。图2CABD图12.表示出图1中出现的角（平角除外）： 。图3解读教材3.光的反射是一种常见的物理现象：通过如图2的实验装置，可以验证光的反射定律：反射角等于入射角，也就是 = ，其中ON称为法线，并且ONDE于O，AO叫入射光线，OB叫反射光线。4.余角的定义：上述实物图可以抽象成图3，回答下列问题：图中的1与3有什么关系？1与4呢？为什么？ONDE于点O（已知）1+3= ，2+4= （垂直定义）又1 =2（已知）1+4= （等量代换）我们得到：如果两个角的和是直角（或等于90），那么称这两个角互为余角。如图中，1与3互为余角，1与4互为余角。数学符号表示为：若1+3=90, 则1与3互为余角，简称互余；反过来，若1与3互余，则1+3=90。我们得到：的余角是90 （90）即时练习：(1)A=35，则A的余角等于 ；(2)A的余角是70，则A = ；(3)A为n（n90），则A的余角等于 。5.补角的定义：类似地我们得到：如果两个角的和是平角（或等于180），那么称这两个角互为补角。如图3中的3与AOE互为补角，4与BOD互为补角数学符号表示为：若+=180, 则与互为补角，简称互补；反过来，若与互补, 则+=180。我们得到：的补角是180 （180）即时练习：(1)A=35，则A的补角等于 ；(2)A的补角等于70，则A = ；(3)一个锐角的补角一定是 （填锐角、直角或钝角）。挖掘教材6.余角、补角的性质：在图4中，(1)OAOB，OCOD，哪些角互为余角？ACBOD图4132 。(2)1与2有什么关系？为什么？答：1 =2。理由如下：1 +3 =90，2 +3 =90（已知） 1 =903，2 =903（代数运算）1 =2（等量代换）用一句话概括你的发现：同角的余角 。想一想：等角的余角有什么关系？用一句话概括你的发现：同角或等角的余角 。图5(3)在图5中，AB与CD相交于O，哪些角互为补角？ 。(4)1与2有什么关系？为什么？答：1 =2。理由如下：BOC+1=180, BOC+2=180（邻补角）1 =180BOC，2=180BOC（代数运算） （等量代换）用一句话概括你的发现：同角的补角 。想一想：等角的补角有什么关系？用一句话概括你的发现：同角或等角的余角 。即时练习：(1)若90，是r的余角，则与r的关系是 。理由是 。(2)若1=2，且1与A互补，2+B=180，则A与B的关系是 。理由是 。(3)一个角比它的余角大20，则这个角等于 ，它的补角等于 。(4)互为补角的两个角的差是40，则较小角的余角是 。(5)一个角（小于90）的补角比它的余角大 。反思小结：今天我们知道了：(1) A与B的和是直角(或等于90)，称它们互为余角(或互余)，用式子表示为： ；(2)A与B的和是平角(或等于180)，称它们互为补角(或互补)，用式子表示为： 。(3)余角、补角的性质是： ； 。七年级下册 第二章 平行线与相交线 黄土中学 吴拥军 审核人：吴明学【学习课题】 第2课时 邻补角与对顶角【学习目标】1.了解邻补角概念；2.理解对顶角概念及性质。【学习重点】理解邻补角、对顶角概念。【学习难点】应用邻补角、对顶角相等解决实际问题。【学习过程】学习准备1.热身填空：(1)两个角的和等于90，称这两个角互为 ，的余角是 （90）。(2)若180，则与互为 ，的补角是 。ABCO图1(3)余角与补角的性质：同角或等角的余角 ； 。挖掘教材2.认识邻补角(1)观察图1，OC是AOB的边OA的反向延长线，AOB和COB的位置和大小有什么关系？像AOB和COB这样，有一条公共边，并且另一边互为反向延长线，这样的两个角我们称互为邻补角。(2)请说说互为邻补角的两个角的特点：两个角有一个公共顶点，两个角有一条公共边，两个角和为 ，两个角在公共边两侧。(3)即时练习ACDBABOC下列每对角是互为邻补角吗？（ ）CDBAOABCa.AOB与COB b.AOB与COA c. ABC与BCD d. ABC与BCD图2CADBO如图2，直线AB和直线CD相交于O，a.请找出AOD的邻补角 ；b.你认为AOD的两个邻补角的大小有什么关系?为什么? 已知两个角的比为2:3，并且它们互为邻补角，则这两个角分别等于 。解读教材3.认识对顶角：如图3，(1)用剪子剪东西时,哪对角同时变大或变小? 。ACODB图3 图4ADBCO1234 (2)如果将图3转化成几何图形得到图4，那么1与2的位置有什么关系?位置关系是：a.两个角有公共的顶点，b.一个角的两边是另一个角两边的反向延长线。像1和2这样的一对角，我们称为对顶角。4.对顶角的性质：AAABOCDABDDDDDDDDDDDCDOOABBBBBCOD(1)判断下列AOB与COD是对顶角吗？(2)图4中，想一想还有其它对顶角吗？ 。(3)你觉得一对对顶角的大小有什么关系?说明你的理由。 。总结归纳得到：对顶角 。即时练习图5观察图5，寻找对顶角(不含平角)：(1)左图中，有两条直线相交于一点，则构成 对对顶角；(2)右图中，有三条直线相交于一点，则构成 对对顶角。思考：如果n条直线相交于一点，则构成 对对顶角。5.例题示范：例.如图6，直线AB，CD相交于点O，OEAB于O，COE=55，求BOD的度数。ABCDOE图6思考过程：(1)“标”把条件用相应符号在图中标注出来（eg：AOE=90，COE=55，BOD=AOC）；(2)“联”联系条件和相关知识进行推理，寻找解题思路(AOC+COE=90)。解：OEAB（已知）AOC+COE=90（垂直定义）COE=55（已知）AOC=35（代数运算）BOD=AOC（对顶角性质）BOD=35（等量代换）反思小结今天我们知道了：1.什么是邻补角，邻补角是一对对的，一个角的两个邻补角相等；2.什么是对顶角，对顶角 。图7BAFCEDO【达标测评】1.已知1与2是对顶角，1与3互为补角，则2与3 。2.如图7，ABCD于O，EF经过O，(1)试指出图中所有的对顶角；(2)图中哪些角与AOE互余？(3)若AOE=24，试求EOD、BOF、AOF的度数。七年级下册 第二章 平行线与相交线 黄土中学 吴明学 审核人：吴明学【学习课题】 第3课时 三线八角【学习目标】1.认识并理解同位角、内错角和同旁内角的描述性定义；2.结合各种图形识别同位角、内错角和同旁内角，说出分别是由哪两条直线被哪一条直线所截成的；3.综合运用角、相交线等有关知识解决一些简单问题。【学习重点】同位角、内错角和同旁内角的正确识别。【学习难点】变式图形、复杂图形中的同位角、内错角、同旁内角的识别。【学习过程】ABCD4321图1学习准备1.若两个角的和 ，则这两个角叫做互为余角，简称“互余”，45的余角等于 ；若两个角的和 ，则这两个角叫做互为补角，简称“互补”，96的补角等于 。2.余角、补角的性质：同角或等角的余角 ； 。对顶角的性质： 。3.如图1，直线AB和CD相交构成 个角（小于平角的角）：其中邻补角有 对，分别是 ；对顶角有 对，分别是 。DABCEF43218765图2我准备得这么好，一定能把今天的内容学习得很棒的！阅读理解4.认识三线八角(1)三线八角：如图2，两条直线AB、CD都和第三条直线EF相交，我们称“直线AB、CD被直线EF所截”，其中直线EF称为“截线”，直线AB、CD称为“被截线”。并且形成：1、2、3、4、5、6、7、8共 个角。前四个角和后四个角这些共顶点的角都分别有四对邻补角和两对对顶角。那么一些不共顶点的角又有怎样的位置关系呢？（想一想吧！）(2)同位角：其中1与5都分别在被截线AB、CD的同旁（下方），都在截线EF的同侧（右侧），即“位置相同”，形成“F”字形。象具有这样位置关系的两个角称为同位角，即1与5是同位角。还有其它同位角吗？当然有，我能写出其它的同位角： 。(3)内错角：其中2与8在被截线AB、CD之间（内部），并且在截线EF的两旁（交错），即“内部交错”形成“Z”字形，象具有这样位置关系的两个角称为内错角，即2与8是内错角。 与 也是内错角。图3a工 bc62743518(4)同旁内角：其中1与8在被截线AB、CD之间（内部），并且在截线EF的同旁，即“内部同旁”，形成“匚”字形，象具有这样位置关系的两个角称为同旁内角，即1与8是同旁内角。同旁内角还有 。挖掘拓展5.根据三线找角(1)如图3，直线a和b被c所截，则同位角有 ，内错角有 ，同旁内角有 。(2)12我是法官：判断下图中的1与2是不是同位角？（是在括号里打“”，不是在括号里打 “” ）121212121212 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）BCDAE图416.根据角找三线如图4所示，回答下列问题：1与BAD是 角，它是直线 和 被 所截成的。1与哪些角是同旁内角？找出截线和被截线。分析：我们不妨将图形进行如下分解：(1)当BC是截线时，如图(1)，则1与 是直线 与 被直线 所截成的同旁内角；(2)当AB是截线时，有两种情况：a.如图(2)，1与 是直线 与 被直线 所截成的同旁内角， b.如图(3)，1与 是直线 与 被直线 所截成的同旁内角。BCDAE(3)1BCA(2)1BCA(1)1综上所述：1与ACB、BAC、BAE都是同旁内角。归纳小结：以上解法用了数学重要的思想方法分类讨论方法。类似地，我还能指出图4中的C与 是同旁内角。并口述截线和被截线。反思小结7.今天我知道了三线八角：两条直线被第三条直线所截，形成八个角。其中前两条直线称为 ，第三条直线称为 。8.我还认识了三线形成的八个角中一些不共顶点的两个角的特殊的位置关系：角的名称12角的位置形状辨认要点 角12在截线同旁，被截线同侧，两角构成“F”字形。 角在截线两旁，被截线之内，两角构成“Z”字形。 角12在截线同旁，被截线之内，两角构成“匚”字形。A2143CDEFB图5【达标测评】1.如图5所示，填空：（1）1与4是 角；（2）2与3是 角；（3）2与D是 角；（4）3与D是 角；BDACE图6（5）4与D是 角；（6）4与B是 角。2.如图6，ABC与 是同位角；ABC与 是同旁内角；ADB与 是内错角；ABD与 是内错角；ADC与 是内错角。图7FBADECMABCDENGF图8ABCDENGF图83.如图7，能与B构成同位角有： （ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个4.如图8中同旁内角有： （ ）ABCDEF2143图9A、1对 B、2对 C、3对 D、4对5.如图9所示，下列说法错误的是： （ ）A.1与2是内错角 B.1与4是同位角 C.2与4是内错角 D.2与3是同旁内角6.如图10，直线DE、BC被直线AB所截。（1）1与2是 角，1与3是 角，1与4是 角。（2）如果1=4，那么1和2相等吗？1和3互补吗？试一试说明理由。ABCDE1234图10ABCDE图117.如图11中A与 是内错角；A与 是同旁内角；B与 是内错角；B与 是同旁内角。能口述它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截成的吗？ABCDEF12【资源链接】什么情况下，两条直线平行？1.量一量：如右图，当同位角1 2时，ABCD。大胆的猜想：两条直线被第三条直线所截，当同位角 时，则这两条直线平行。2.量一量，如下图，再大胆地猜想一下：ABCDEF34ABCDEF12两条直线被第三条直线所截，一组内错角 时，两条直线平行；一组同旁内角 时，两条直线平行。七年级下册 第二章 平行线与相交线 黄土中学 杨远凤 审核人：吴明学【学习课题】 第4课时 平行线的判定【学习目标】1.探索两条直线平行的条件；2.能用所学知识进行一些简单推理说明。【学习重点】正确理解平行线的判定方法。【学习难点】理解和运用平行线的判定方法解决一些简单问题。【学习过程】学习准备1.热身填空：我们知道了两条直线被第三条直线所截成的八个角中不共顶点的角有 ， ， 。bal212111313211143132111543132111656664313211176566643132111876566643132111图1(1)如图1，已知直线a、,b被直线l 所截，口述图中的同位角，内错角，同旁内角。(2)观察图2并填空： 1与 是同位角； 5与 是同旁内角； 1与 是内错角。(3)平行线的定义：在同一个平面内， 的两条直线叫做平行线。122354图2678(4)平行公理：经过直线外一点，有且只有 条直线与这条直线平行。(5)平行公理的推论（平行线的传递性）：平行于同一直线的两直线 。解读教材2.探索两直线平行的条件(1)平行线的判定方法1如图，三根木条相交，固定木条a、c，转动木条b，观察图形变化，在什么情况下木条b与木条a平行？abc12图4abc12图5当12时 当1=2时 当12时数学符号表示：（如图4）1=2（已知） a b(同位角相等，两直线平行)abc 12图3 直线a和b ； 直线a和b ； 直线a和b 。由此可得公理平行线的判定方法1：同位角相等，两直线平行。(2)平行线的判定方法2、3c图7ab1234abc23b图61如图6，若2=3，则a与b平行吗？并口述理由。如图7，若1+2=180，则a与b平行吗？并口述理由。数学符号表示：（如图6）2=3（已知） a b（内错角相等，两直线平行） 数学符号表示：（如图7）1+2=180（已知） a b（同旁内角互补，两直线平行）由此可以下得定理：平行线的判定方法2：内错角相等，两直线平行。平行线的判定方法3：同旁内角互补，两直线平行。abc1243图8m即时练习：（1）如图8所示，已知1=58, 2=58, （2）如图9，已知1=2=55, 3等于多少度？AEFBDGGHH132图9F3=122，说明a与b、b与c的位置关系。 AB和CD平行吗？说明理由。解：(1)1=58,2=58（已知）1=2（等量代换）a b（ ）(2)4=3=122（ ）又2=58（已知）2+4=180（代数运算）bc（ ）挖掘教材mab12图103.平行线的判定方法4：如图10，（1）已知am，bm，请判断直线a与b间的位置关系；（2）用一句话总结出（1）中所包含的结论。解：(1)直线a与b ，理由为： am，bm（ ）数学符号表示：am，bm（已知） a b（垂直于同一条直线的两直线平行）1=2= （ ）bc（ ）由此得到以下定理：平行线的判定方法4：垂直于同一直线的两直线 。思考：以上问题还有其它方法证明直线bc吗？试一试吧！反思小结：我们学习了平行线的判定方法 种，分别是：1. ；2. ；3.；4. ；5.平行线的传递性：平行于同一直线的两直线平行。abmln4221233图11【达标测评】当图11中各角分别满足下列条件时，你能推出哪些直线平行？并填写理由。（1）1=4（已知） （ ）（2）2=4（已知） （ ）（3）1+3=180（已知） （ ）七年级下册 第二章 平行线与相交线 黄土中学 李小燕 审核人：吴明学【学习课题】 第5课时 平行线的判定训练【学习目标】1.熟练地综合运用平行线的判定方法并能进行简单的推理；2.理解并学会执因导果和执果索因的思考方法。【学习重点】如何运用判定公理和定理进行推理。【学习难点】理解并学会执因导果和执果索因的思考方法。【学习过程】学习准备 1.回顾填空：（两直线平行的判定方法）(1)平行线的判定方法1： ；(2)平行线的判定方法2： ；(3)平行线的判定方法3： ；(4)平行线的判定方法4： ，即若am，bm，则a b；(5)平行线的判定方法5： ，即若a/m，b/m，则a b。2.运用填空：如图1，直线AB，CD被直线EF所截EABCDF3421图11=2（已知） AB/CD（ ）2=4（已知） AB/CD（ ）2+3=180（已知）AB/CD（ ）专题讲练 3.例题示范例1.如图2，QR平分PQN，NR平分QNM，1+2=90，那么直线PQ，MN的位置关系如何?并说明理由。（请同学们在图中标出所需的角，由标出来的角想一想证明两直线平行的条件够了吗?）图212PQNMR解：PQ/MN，理由如下：QR平分PQN，NR平分QNM（已知）PQN=21, QNM=22（角平分线定义）又1+2=90(已知)PQN+QNM=2(1+2)=180（等量代换）PQ/MN（ ）1234ABCDEFG图3即时练习 (1)执因导果训练：如图3，填空：12（已知） （ ）24（已知） （ ）34180（已知） （ ）ACFG（ ）ABCDEF43215图4(2)执果索因训练：如图4，填空：_= （已知）DEBC（内错角相等,两直线平行）B=_（已知）DBEF（ ）_5180（已知）DEBC（ ）例2.如图5，已知BED=B+D。求证：AB/CD。分析：欲证明AB/CD，在原有的图形上不能证明它，因为没有能证明它们平行的同位角或内错角或同旁内角等，那么就要想办法构建。比如，延长DE交AB与F，就构建了内错角：1与D。要证明两直线平行，就可证明这对内错角相等。证明：延长DE交AB与F过点。图5BAEDCF121+B+2=180（三角形的内角和等于180）又BED+_=180（邻补角定义）BED=_(等量代换)又BED=B+D (已知)1=_（等量代换）AB/CD（ ）说明：为解题的需要，我们添加了原图形中没有的线段，射线，直线，我们称之为“辅助线”，为了与原图形区别开来，通常用虚线表示，并在解题之初加以说明。分组讨论后交流：辅助线还有其它的添法吗？尽可能找到更多的方法。反思小结:1.今天你学到了什么?图6ABCDE1232.我们要从一对角(同位角，内错角或同旁内角)的关系得出两直线互相平行，执因导果,反过来,我们也要从两直线平行这一结果探索出相关的一对角(同位角，内错角或同旁内角)的关系。【达标测评】1.如图6，填空(1)2=A(已知) (3)3=D(已知) / ( ) / ( )(2)2=E(已知) (4)ACD+D=180(已知) / ( ) / ( )2.如图7，A+B+C+D=360，A=C，B=D。则直线AB与CD及直线AD与BC的位置关系如何?解：AB/CD，AD/BC。理由如下：图7ABCD (1) A+B+C+D=360（已知）又A=C, B=D(已知)2A+2B=360(等量代换)A+B=180(等式的性质)图8l1l5l2l3l412345 / ( )(2) A+B+C+D=360（已知）又A=C, B=D( )2A+2D=360( )A+D=180( )图9ABCGEFD12 / ( )【课后练习】3.如图8，若2与3互补, 2与4互补，则( )A.l1/l2 B.l3/l4 C.l2/l5 D.l1/l5 4.如图9，下列推理是否正确?如有错误，错在哪里?(1) 1=2(已知) (2) 1=2(已知)CF/BG(同位角相等，两直线平行) CF/BG(内错角相等，两直线平行) 图101cab235.如图10，直线a，b被直线c所截, 1=65，2=65，那么a/b，为什么? 图11ACDBEFG6.如图11，ABE=ACD，BG、CF分别是ABE，ACD的平分线，则BG与CF的位置关系如何?并说明理由。【资源链接】延伸拓展图12ABCDEFGO21如图12，已知AB/CD，1=2，那么EF/CD吗?请说明理由。七年级下册 第二章 平行线与相交线 黄土中学 李 玲 审核人：吴明学【学习课题】 第6课时 平行线的性质【学习目标】1.理解平行线的性质与判定的区别；2.掌握平行线的三条性质。【学习重点】掌握平行线的三条性质。【学习难点】能够简单运用平行线的性质解决问题。【学习过程】学习准备1.回顾填空：两条直线平行的判定方法：(1)平行线的判定方法1： ；(2)平行线的判定方法2： ；(3)平行线的判定方法3： ；(4)平行线的判定方法4： ；(5)平行线的判定方法5： 。2.运用填空：E123456789CBA图1D如图1，A、B、C三点在一条直线上。若3 =6，则 （ ）若6 =9，则 （ ）若1 +2 +3 =180，则 （ ）图2若 = ，则BECD（ ）3.猜想：若图2中的直线a、b平行，则同位角，内错角，同旁内角会怎么样呢？两直线平行，则同位角 ，内错角 ，同旁内角 。解读教材4.探究当两直线平行时，同位角的关系。如图3，已知ab，你来量一量这对同位角的大小：1 = ，2= 可见：1 2。数学符号表示为：（图3）ab(已知)1 =2（ 两直线平行，同位角相等）由此，我们得到平行线的判定公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说成：“两直线平行，同位角相等”。5.用上述公理，推导出当两直线平行时，内错角，同旁内角的关系。分工：1.老师完成内错角的推理过程，2.你自己完成同旁内角的证明。图4mab3421已知：如图4，直线a、b被m所截，且ab。 已知：如图4，直线a、b被m所截，且ab。求证：2=4 求证：2+3=180证明： a/b（已知） 证明： a/b（已知）12(两直线平行，同位角相等) （ ） 又1=4(对顶角相等) （ ）2=4(等量代换) （ ）数学符号表示为：（如图4）ab(已知)2 =4（两直线平行，内错角相等）由上面的证明，我们可以得出平行线的两个重要判定定理：定理1.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。数学符号表示为：（如图4）ab(已知)2+3=180(两直线平行，同旁内角互补)简记为：两直线平行，内错角相等。定理2.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记为：两直线平行，同旁内角互补。挖掘教材例题演示：如图5，已知：ABCDEF，B=40，BCG=85，求：2的度数。图5AB401CDEGF240分析：1.标将所有的已知条件标注在图上；2.联结合已知条件，联想得出结果。解：ABCD(已知)1=B（两直线平行，内错角相等）又B=40(已知)1=B=40(等量代换)BCG=85(已知)2=BCG1=8540=45(等量代换)总结：通过在图中标出已知条件，就很容易得到答案，现在你通过“标”，可以得到CGE= 。反思小结 1. ；熟练掌握平行线的三条性质： 2. ；【达标测评】 3. 。1.如图，已知：ABCD，ADBC，=60，则B= ，D= ，A= 。2.如图，ab，1=122，3=50，则2= ，4= 。3.如图，AD是EAC的平分线，ADBC，B=30，则BAD= ，EAC= ，C= 。4.如图，ADBC，D100，AC平分BCD，则DAC= 。CBAD第4题E第3题ADCBABCED第1题图5.如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，即拐弯前后的两条路互相平行，第一次拐的B是130，那么第二次拐的C的度数是 。第5题BC第2题4321ba七年级下册 第二章 平行线与相交线 黄土中学 李 玲 审核人：吴明学【学习课题】 第7课时 平行线的性质训练【学习目标】1.理解平行线的性质与判定的区别；2.熟练掌握并灵活运用平行线的性质，并能正确的书写。【学习重点】掌握平行线的性质。【学习难点