10 数相量子化回路.doc

第十章 介观LC电路量子化方案与纠缠态表象早在上世纪70年代，在量子电子学的框架中，Louisell（路易塞尔）首先考虑了LC电路的量子化1, 他将经典电量和电感与电流的乘积 分别量子化为量子力学坐标算符和动量算符, 和是一对共轭量, 于是LC电路等效为一个量子谐振子,电路中的量子起伏即谐振子的真空量子起伏。如今随着纳米技术的发展, 回路趋向小型, 在0.1微米的特征尺度成为介观电路, 在低温下它与微波相互作用量子效应明显, 在量子计算机的设计中必须被计入；另一方面，近来有希望作为量子qubit的超导Josephson（约瑟夫森）结也可等效于一个确定的等效电路。所以介观电路的量子化理论引起了更多的关注。本章用一些新观点讨论介观LC电路量子化方案，并充分利用纠缠态表象。 10.1介观LC电路中的磁通算符介观LC电路中的电容常被视为一个超导Josephose结，结上的隧穿电流是结两边(相当于平行板电容器两侧)超导体的相差引起的。人们认为相差应该是一个量子算符，由于电容与电感可以看作是共轭对, 于是电感的磁通也应该是一个量子算符。为了避免把磁通“规定”为算符的做法，本节中我们将从基本的玻色对易关系出发,利用纠缠态表象引入磁通算符。 我们这么做的依据是： 在 Feynman（见RFeynman Lectures on Physics, ）2看来：“电子的行为，以这种或那种的方式，是成对地表现的，一个束缚对行为宛如一个玻色粒子”，“几乎所有的对会被锁在同一个最低的能量的态上”；可以引入超导Josephson结 3 的Cooper对的玻色算符与相算符。先从经典的LC回路出发，该回路的电流方程为 （10.1.1）（10.1.1）的解为 （10.1.2）则回路电流为 （10.1.3）这里表示最大回路电流，为谐振频率，为初始相位。由电流导致电感中的磁通量为 （10.1.4）那么电感中磁通量的变化 （10.1.5）即为加在电容器两板间的电压。由于电容器极板间的能量差为 （10.1.6）从量子力学的观点看，设电容两极板上的波函数分别为 （10.1.7） （10.1.8）这里。 从（10.1.6）可以看出（当取） （10.1.9）比较（10.1.5），（10.1.6）和（10.1.9）得到了相位和磁通的关系为 （10.1.10）当把介观回路中的电容看成是一个以超导Josephose结，基本电荷为 Cooper对，对Josephson结（隧穿电流）采用玻色算符描述，且电流的大小由两超导极板间的电荷数差决定，从这两个方面考虑，我们引进双模玻色数差算符 （10.1.11）描写Cooper对，此在形式上类似于复标量量子化场理论中的电荷算符4,5，对于量子化的复标量场 （10.1.12）这里代表正电荷的消灭算符，为负电荷的产生算符，且 （10.1.13）所以场的电荷算符是 （10.1.14）从这个形式考虑我们才引进（10.1.11）式，只是此时电荷为玻色性的Cooper对，所以（10.1.11）被解释为玻色数差算符，而（10.1.14）为电荷算符。为了建立对应的相算符，我们考虑连续纠缠表象， （10.1.15）它的本征方程为 （10.1.16）令，我们看到 （10.1.17）（10.1.17）式有很好的性质，由Cooper对的电量，在表象内，我们看到 （10.1.18）于是，此与相位角满足了基本的量子对易关系 （10.1.19）对于相位算符的玻色算符描述，并考虑到（这样以保证的计算），定义 （10.1.20）为相位算符。在纠缠表象内，由（10.1.16）式得 （10.1.21）则相位算符就可表示为 （10.1.22）于是在纠缠表象下 （10.1.23）（10.1.19）和（10.1.23）式说明了荷数算符和相位算符是一对共轭的物理量，就像坐标和动量的算符一样，可以用来描述相关的量子化回路。另外，（10.1.10）和（10.1.22）式则告诉我们：磁通量子化的算符是， （10.1.24）这一点正好和Vourdas对与微波外源有耦合的超导环的分析是一致，总的磁通量对应着超导结两端的相位差6。 10.2 算符Faraday公式利用相位和磁通的玻色算符表示（10.1.22）和（10.1.24）式，并由（10.1.9）得， （10.2.1）这里，（10.2.1）可称为是玻色算符型的Faraday定理。对照经典回路电流公式（10.1.3），我们可推知：通过一个孤立的Josephson结的超导流是，这里是临界电流，用（10.1.9）式，则储存在结上的能量为， （10.2.2）其中，为结电压。 10.3 有库仑阻塞的介观电路电荷本征态和升降算符值得指出, 将电量中的作为荷数算符，也适用于分离电荷值的情况 (例如有库仑阻塞)。在双模Fock空间中去考虑介观回路的量子化，这时可以引入电荷算符 ， （10.3.1）这里（）代表产生一个带“+1”（“1”）的电荷，且，。一方面，有， （10.3.2）而且 。 （10.3.3）另一方面，因 所以可以用和可以在一个平方根下定义， （10.3.4）称之为电荷移动算符，我们发现， （10.3.5）且； 根据（10.3.3）式的对易关系来看，我们能否找到与的共同本征态呢，且在这样的本征态矢下和又有何物理意义？回忆起纠缠表象（见（4.1.9）式）和它的本征方程（见（4.1.11）式），发现并不是的本征态，而是。 （10.3.6）若对态作的单侧积分，并定义积分的结果为态，即 （10.3.7）这里，下面将证明态正是和的共同本征矢。为了得到的具体表示形式，用双下标Hermite多项式将展开成 （10.3.8）这里双下标Hermite多项式的定义为 （10.3.9）由求和变换公式 （10.3.10）（10.3.8）式变为 （10.3.11）将其代入到（10.3.7）式得 （10.3.12）由，容易验证， （10.3.13）为了验证 （10.3.14）由得 （10.3.15）所以看到 （10.3.16）再根据Hermite多项式的性质（2.1.9）式，我们看到 （10.3.17）且 （10.3.28）所以 （10.3.19）（10.3.19）式很清楚地说明：作用在表象上时，分别消灭和产生了一个电荷，体现了电荷升降的性质，故而称之谓升降算符。7中介绍了有关库仑阻塞的LC介观回路，它的玻色哈密顿量为 （10.3.20）在表象中（10.3.20）就会回到经典哈密顿量的形式6 （10.3.21）在表象中为 （10.3.22） 10. 4 LC回路数-相量子化及其流算符方程 LC电路量子化方案：数和相是另一对共轭量；对于LC回路量子化，这一对共轭量体现在将电量中的n（荷数）作为荷数算符，相位作为位相算符，这样就可以建立LC回路的数-相量子化方案。它与在Louisell的坐标动量量子化方案有着异曲同工之妙。回路中电感部分电量可以表示为，这里指电子数，则电感L储存能量为（视为动能）， (10.4.1)另一方面，回路中的电容C储存的能量则为（视为势能） ， (10.4.2)所以LC回路Lagrange 量为 ， (10.4.3)根据正则Hamilton方程，正则动量为. (10.4.4)由于， (10.4.5)这里指自感中的磁通量。将（10.4.5）式代入到（10.4.4）式中，得， (10.4.6)上式说明了动量和磁通之间的关系。从Faraday定律，我们知道， (10.4.7)这也就是LC回路中电容的电压。现在从量子力学波函数的角度考虑，电压与时间间隔内的电容器两极板间的相位差有关系，为了说明这一点，我们假定1，2两极板的波函数分别为， ，1，2， (10.4.8)注意到， (10.4.9)合并（10.4.5）和（10.4.6），并结合Faraday定律得， (10.4.10)（10.4.10）说明等价于正则动量，同时粒子数算符等价于正则坐标。所以量子化条件可以表示成 (10.4.11)或者是；数-相不确定关系就为。从以上的推导出的关系，我们不难看出：LC回路的量子化完全可以在数相范畴去解释。由（10.4.6）和（10.4.10）式得到回路的磁通算符，相应的（10.4.11）变为， （10.4.12）可见电荷与磁通满足测不准关系. （10.4.13）现在就可以用和来写Hamiltonian方程，即. (10.4.14)从Heisenberg方程得， ， (10.4.15)这两个式子分别代表电流方程和Faraday定律。从（10.4.14）式可以导出， (10.4.16)它的解为， (10.4.17)它体现了LC回路中电磁波谐振的行为。这样我们就实现了介观LC回路的数相量子化，这是一个崭新的观点。 10.5 广义FeynmanHermann（GFHT）定理在热场量子LC回路中的应用Feynman-Hellmann (FH)定理在计算力学量平均值，分析动力学参数变化对束缚态能量的影响方面很有用。 因此，FH定理被广泛的应用于分子物理，量子化学和夸克势分析等领域。 如果注意到原始的FH定理只适用于量子纯态的期望值，我们自然会考虑建立一种针对混态系综平均的理论，称之为广义Feynman-Hellmann定理(GFHT)8。例如量子LC回路，如果考虑电流生热即Joule 热对系统的影响，那么所面临的是系统和环境，而物理上其可观测量就应该计算系综平均，用广义FH定理去处理这类问题就比较方便，以下我们研究LC回路可观测量的量子起伏及其温度对该起伏的影响。首先简要说明一下广义FH定理。假设量子体系的哈密顿量明显依赖实参数，它的本征值和归一化的本征函数一般也是的函数，则由FH定理得 (10.5.1)注意到等式 (10.5.1) 只适用于纯态的期望值，如何建立一种针对混态系综平均的理论？对热平衡混态的密度算符为 (10.5.2)这里代表配分函数(是Boltzmann常数，是温度)。于是有 （10.5.3）这里，脚标表示系综平均。在（10.5.3）对参量进行偏微分得 （10.5.4）将（10.5.3）代入到（10.5.4）得到GFHT定理的一般表达式为 （10.5.5）若与无关，则（10.5.5）就可简化为 （10.5.6）这就是系综平均意义下的广义FH定理。下面我们将就三种不同的量子LC回路作。计算系综平均意义下的能量，电荷和电流的量子起伏。（1）一般量子LC回路Louisell的量子LC回路哈密顿量是 （10.5.7）把回路中的电荷与（电流电感）分别量子化为坐标和动量算符，显然，（10.5.7）代表一个量子谐振子，其和的量子起伏为 （10.5.8）这里是谐振频率。对于同样的，利用系综平均公式计算得 （10.5.9）且 （10.5.10）所以能量的起伏是 （10.5.11）另一方面，利用（10.5.9）中的中间等式导出（10.5.12）同样也可以计算能量的起伏，即 （10.5.13）与（10.5.11）相同。下面将用GFHT定理来分析（10.5.7）。由（10.5.6）得到一个积分形式的GFHT定理 （10.5.14）这里取积分常数为零。若将电容作为参量来考虑，则由得 （10.5.15）即 （10.5.16）若取电感作为参量，则 （10.5.17）即 （10.5.18）由于， 所以LC回路的电荷和电流的量子起伏分别为 （10.5.19） 这个计算结果与用热场动力学9 计算的结果是完全一样的，且（10.5.19）也表明了温度对电荷和电流量子起伏的影响。（2）有外源的量子LC回路在LC回路中连接一个外源，它的量子化哈密顿量变为 （10.5.20）这里 是实参量，将（10.5.20）改写成 （10.5.21）其能量本征值为 由（10.5.20）得 （10.5.22）让 作为能量的本征矢，且因为 （10.5.23）所以有 （10.5.24）此平均值与无关，所以的系综平均是， 于是由（10.5.22）得 （10.5.25）将（10.5.25）代入到GFHT定理， 得到 （10.5.26）当 时，能量的系综平均即为（10.5.9）。从（10.5.26）能看出：外源的存在使得能量的系综平均减小，因为此时的LC回路可以看成是一个阻尼谐振子，源就相当于一个外力的作用。（3）RLC量子化回路如果将电阻连接到LC回路中，则经典的RLC电路运动方程为，电阻的能量损耗为，量子化后变为（这里考虑到与的非对易性），则相应的RLC回路的量子哈密顿量为10 （10.5.27）这里，引进幺正变换 （10.5.28）并使用BakerHausdroff公式 （10.5.29）将（10.5.27）对角化为 （10.5.30）这里， 所以RLC回路的能量系综平均为 （10.5.31）则相应的能量起伏为 （10.5.32）注意到 （10.5.33）由（10.5.6），（10.5.27）和（10.5.31）得 （10.5.34）取上式积分常数为零，于是可以得出电阻对RLC回路平均能量的贡献为 （10.5.35）其体现了电阻对平均能量的消耗。为了验证（10.5.34）与（10.5.31）的自洽性，利用（10.5.6），（10.5.9）和（10.5.14）式得 （10.5.36）计算中用到积分公式 （10.5.37）可见利用GFHT定理计算系综平均是有效的。 10.6 介观永久电流环和Josephson结的动力学哈密顿算符的比较本节将通过比较介观永久电流环和Josephson结的算符哈密顿量，利用相位算符，在纠缠表象内为介观环路系统可建立量子理论框架。前面已讲到，超导Josephson结数相量子化的哈密顿算符为 （10.6.1）在纠缠态表象下 （10.6.2）（10.6.1）式即表现为经典变数的Josephson哈密顿量6 （10.6.3） 现假设有一个电子一直在介观永久电流环内运动，这个环圈内并没有磁场，但其环上有磁场，描述该环型系统的哈密顿量为 （10.6.4）这里 是环上电流，指外部磁场的磁通和环上电流产生磁场的磁通的总和，代表质量为的电子的角动量，即 （10.6.5）电子在均匀磁场中的运动的动力学问题在11中已有阐明，电子的机械动量并不等于其正则动量，它们之间的关系是 （10.6.6）这里 代表对称的电磁矢势，且 ， （10.6.7） 这里 指圆同步频率。令 （10.6.8）为动量的阶梯算符。Johnson 和Lippmann还发现了另外一对动力学变量 称之为轨道中心坐标， （10.6.9）满足 （10.6.10）再通过引进算符 （10.6.11）我们看到 （10.6.12）于是我们就可以将电子的角动量式（10.6.5）改写为 （10.6.13） 第九章曾介绍了一个描述电子Landau能级的新表象 （10.6.14）这里 且这里的真空态是被消灭 和湮灭，即 （10.6.15）可以计算满足如下的本征方程 （10.6.16）比较（10.6.9）和（10.6.16）得 （10.6.17）为我们研究电子在磁场中的运动提供了一种非常方便的途径。角动量在表象内为 （10.6.18） 因为环上的电子也存在相位关联，类似于前面引进相位算符的方式，注意到有，这里引进 （10.6.19）作为环上电子的相位算符，由于是幺正的， 是厄米的，则 （10.6.20）且由于 （10.6.21）所以角动量与的对易关系为 （10.6.22）继而有 （10.6.23）（10.6.23）说明相位角算符与角动量算是一对共轭算符，对用于某些电路的量子化应用中。若 是的本征矢，则 （10.6.24）由得 （10.6.25）对于超导Josephson结，若有电流通过，则由Faraday（10.2.2）式可以看出， （10.6.26）这里为Josephson结的磁通，为结两端的电压，可以看出（10.6.26）与永久电流环的哈密顿量（10.6.4）中的最后一项是相似的，所以它们两者之间就有了可比性，利用Josephson结的相位角算符的Heisenberg方程 （10.6.27）可将（10.6.26）变为 （10.6.28）这里为描述Josephson结的相位算符（Feynman曾指出造成Josephson流的原因是结两边超导体波函数的相位不同），表示Cooper对电荷。所以在永久电流环与Josephson结之间就可以建立一一对应的关系 （10.6.29）对环来说，若让，为环内的基本电流，结合（10.6.29）那么该环路体系的哈密顿量（10.6.4）就变为 （10.6.30）这里就是环的相位角（类似于Josephson结的相位角），于是，可令 （10.6.31）将理解成为相互作用项。由（10.6.23）式的关系，则相互作用图景下的角动量算符为 （10.6.32）注意到环内的永久电流，且为通量量子；相互作用图景中哈密顿量为 （10.6.33）再投影到表象得 （10.6.34）于是的本征能谱为 (10.6.35)这个结果完全与12,13 中的结果是一致的。所以相位算符的引入无论在研究Josephson结与介观永久电流环都是必要的。10.7 Josephson结中的量子压缩机制这节中我们将说明：如果超导Josephson结受到一个外部的作用（如微波辐射），那么Josephson结的时间演化过程中将出现相位的压缩机理。由本章第一节中，超导Josephson结的玻色化哈密顿为 (10.7.1)称为JosephsonCoulomb耦合常数；而玻色相位算符是在纠缠态表象中建立的，其中 （10.7.2）且 （10.7.3）可以看到 （10.7.4）由Heisenberg方程得 （10.7.5）这里，为Josephson 流。现在考虑在较短的时间内Josephson流对结电容所做的功，从（10.7.5）得 （10.7.6）从（10.7.6）式的形式来看，当结电容受到一个外部的作用时，其相互作用的哈密顿量可以写成 （10.7.7）这里表示反对易括号，为作用的常数。对于相互作用哈密顿量来说， （10.7.8）和 （10.7.9）于是 （10.7.10）上式的解为 （10.7.11）这个解表明了相的演化行为，由衰减系数来看，相位函数被压缩了。对结电容的作用使得得到了压缩，由于Cooper对电流是由超导体之间的相位差引起的，所以的压缩的同时也会有Cooper对数的变化。那么发生了怎样的变化呢？从（10.7.7）和（10.7.8）得 （10.7.12）注意到 （10.7.13）和， （10.7.14）我们有 （10.7.15）由（10.7.12）和（10.7.15），我们令 （10.7.16）这里构成了封闭的SU（2）李代数。因为 （10.7.17）所以我们计算Cooper对数的时间演化 （10.7.18）这里 （10.7.19）可以看出：相位的压缩变换伴随着Cooper对数发生了起伏。 10.8 广义FeynmanHermann定理在耦合量子LC回路中的应用在 10.5的基础上，本节介绍GFHT在耦合量子LC回路中的应用。由于电路集成化的技术越来越高，使得电路中器件之间的量子效应必须得到相应的考虑，对于有互感的两个LC回路（无外源情况，如图）。描述该系统的哈密顿量为， （10.8.1）这里；与分别为LC回路中的两对电感系数和电容系数。值得指出的是：（10.8.1）可以与量子光学的双光子相互作用过程相联系，而描述这个相互作用过程的哈密顿量为， （10.8.2）若令，且，；，这样（10.8.2）就与（10.8.1）在形式上完全一致。所以我们可以将电感耦合LC回路纳入到量子光学中的一个模型来求解。现在就利用GFHT来计算，因为是依赖于参量，所以将（10.8.2）代入到（10.5.5）式得 （10.8.3为了求解，我们希望找到一个算符，令其为，使得的结果中能出现，和这四项，即（10.8.2）式中所出现的所有项。根据以下的对易关系 （10.8.4）和 （10.8.5）所以有 （10.8.6）在（10.8.6）式就含有我们所要找的四个算符，因此可为 （10.8.7）令为哈密顿量（10.8.2）的本征态，即 ，于是有 （10.8.8）所以 （10.8.9）将（10.8.9）与（10.8.3）相比较，可以得到一个关于的一阶偏微分方程 （10.8.10）这里可以借助特征法14来解（10.8.10），对应的特征方程为 （10.8.11）由此可得 （10.8.12）类似地，从 （10.8.13）可以看到 （10.8.14）对上面的特征方程进行积分得 （10.8.15）这里都是常数，或者设，取 （10.8.16）根据特征法，的一般解为 （10.8.17）这里是的任意组合。通常的形式是由的一阶偏微分方程的初条件决定的。假定在起始时刻（这里暂不考虑，把它们看成是独立的两个变量），则，于是， 若有 （10.8.18）和 （10.8.19）它们满足，因此，的函数形式能写成为；为了决定的形式，令，于是有，且这种情况下，的形式就变成 （10.8.20）其中为单个谐振子模型的哈密顿量的能量系综平均，即 （10.8.21）这样我们就能决定方程的形式 （10.8.22）为了决定方程的形式，我们引进 （10.8.23）和 （10.8.24）其中 （10.8.25）当时，我们看到 （10.8.26） （10.8.27）类似于（10.8.22），我们就得到了（10.8.3）的能量系综平均 （10.8.28）所以对电感耦合的量子LC回路来说，由于，则（10.8.23）和（10.8.24）式变为， （10.8.29）其中 （10.8.30）因此哈密顿量（10.8.1）的系综平均为 （10.8.31）可以看出，使用GFHT和特征法，我们能导出有电感耦合的两个LC回路哈密顿量的系综平均。文献1 W. H. Louisell, Quantum Statistical Pr