5 多元向量值函数的导数与微分 工科数学分析基础.pdf

2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1 多元向量值函数的导数与 微分 一元向量值函数的导数与微分 二元向量值函数的导数与微分 微分运算法则 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2 nm fA 对于一般的对于一般的n元向量值函数 元向量值函数 1112 2212 12 n n mmn fxfxxx fxfxxx f x fxfxxx 00 lim 1 lim ii xxxx f xaimf xa 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3 一 一元向量值函数的导数与微分 1 2 m fx fx f xx fx m fA 00 00 0 D lim x f xxf x f xfx x 定义一元向量值函数定义一元向量值函数 f 的导数为 的导数为 显然显然 f 可导当且仅当其每个分量可导 并且 可导当且仅当其每个分量可导 并且 00100 D T m f xfxfxfx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4 类似可以定义类似可以定义 f 的二阶导数以及的二阶导数以及n阶导数 阶导数 2 00100 D T m f xfxfxfx 0 1 0 D D D nn xx f xf x m fA 可微 可微 定理 定理 i ffA 的任意分量 可微 的任意分量 可微 00100 T m df xfxxfxxfxx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5 二 二元向量值函数的导数与微分 2 m fA 112 212 1212 12 m fxx fxx f xxxx fxx 定义 定义 1010 12 12 10 2020 1220 120 0 00 12 12 m mm fxfx dxdx xx dfx fxfx dxdxdfx xxdf x dfx fxfx dxdx xx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6 利用矩阵乘法 利用矩阵乘法 10101010 12 1212 10 20202020 1220 12120 0 00 12 12 m mm fxfxfxfx dxdx xxxx dfx fxfxfxfx dxdxdfx xxxxdf x dfx fxfx dxdx xx 1 2 00 12 mm dx dx fxfx xx 于是 将矩阵于是 将矩阵 1010 12 2020 120 00 12 D mm fxfx xx fxfx xxf x fxfx xx 称为导数称为导数 Jacobi 矩阵矩阵 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7 一般地 对于一般地 对于n元向量值函数 元向量值函数 nm fA 101010 12 10 202020 20 120 0 000 12 D n n m mmm n fxfxfx xxx fx fxfxfx fx xxxf x fx fxfxfx xxx 定义导数定义导数 Jacobi矩阵矩阵 为 为 定义微分为 定义微分为 101010 12 101 202020 202 120 0 000 12 d d d d d d d n n mn mmm n fxfxfx xxx fxx fxfxfx fxx xxxf x fxx fxfxfx xxx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8 对于对于n元向量值函数 若元向量值函数 若m n nn fA 则称则称Jacobi矩阵的行列式为矩阵的行列式为Jacobi行列式 计作 行列式 计作 0 12 0 12 n f n x fff Jx xxx 向量值函数的偏导数 向量值函数的偏导数 010200 T m iiii fxfxfxfx xxxx 本质上是一元向量值函数的导数 本质上是一元向量值函数的导数 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9 三 微分运算法则 D D D fgxf xg x TT D D D f gxf xg xg xf x D D D ufxu f xf xu x f 和和 g 为向量值函数为向量值函数 u 为数量值函数 为数量值函数 3 f g D D Dg fgxf xg xf xx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10 向量值复合函数求导的链式法则向量值复合函数求导的链式法则 D D D u g x f g x