三年高考两年模拟（浙江版）高考数学一轮复习 第二章 函数 2.4 二次函数与幂函数课件.ppt

2 4二次函数与幂函数 一 二次函数1 二次函数的定义形如f x ax2 bx c a 0 的函数叫做二次函数 2 二次函数的三种表示形式 1 一般式 2 顶点式 3 两根式 f x ax2 bx c a 0 f x a x h 2 k a 0 f x a x x1 x x2 a 0 3 二次函数的图象和性质 4 若二次函数y f x ax2 bx c a 0 满足f x1 f x2 则图象关于直线 x 对称 若二次函数y f x ax2 bx c a 0 恒满足f x m f x n 则图象关于直线 x 对称 c c 二 幂函数1 幂函数的概念一般地 形如y x r 的函数叫做幂函数 2 幂函数的图象在同一平面直角坐标系下 五个常见的幂函数 y x y x2 y x3 y y x 1的图象如图所示 3 幂函数的性质 1 一般地 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都通过点 0 0 1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而增大 c 在第一象限内 1时 图象是向下凸的 0 1时 图象是向上凸的 d 在第一象限内 过点 1 1 后 越大 图象上升的速度越快 2 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都通过点 1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而减小 图象是向下凸的 c 在第一象限内 图象向上与y轴无限地接近 向右与x轴无限地接近 d 在第一象限内 过点 1 1 后 越大 图象下落的速度越快 5 当x 0 1 时 幂函数的指数越大 函数图象越靠近x轴 简记为 指大图低 当x 1 时 幂函数的指数越大 函数图象越远离x轴 简记为 指大图高 4 幂函数因幂指数不同而性质各异 图象更是多样 熟悉其图象的分布 着重掌握图象在第一象限的部分 抓住特殊点 1 1 并注意与y x和y x 1进行比较 掌握它们的变化规律 6 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限内 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内 如果幂函数的图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 1 设 则使函数y x 的定义域为r且为奇函数的所有 的值是 a 1 3b 1 1c 1 3d 1 1 3答案ay x 为幂函数 要保证定义域为r 则 不能取 1 要保证函数为奇函数 取1 3都可以 所以选a c 2 已知幂函数y f x 的图象过点 则log4f 2 的值为 a b c 2d 2答案a设f x x 由图象过点 得 则log4f 2 log4 log4 故选a c 3 已知a b c r a 0 函数f x ax2 bx c 若f x1 f x2 x1 x2 则f x1 x2 的值为 a b c cd 答案c由题意知 则x1 x2 所以f x1 x2 f a b c c c 故选c c 4 若不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0对一切x r恒成立 则a的取值范围是 a 2 b 2 2 c 2 2 d 2 答案c当a 2 0 即a 2时 不等式为 4 0 恒成立 a 2满足题意 当a 2 0时 则应有解得 2 a 2 a的取值范围是 2 a 2 c 二次函数解析式的求解典例1已知二次函数f x 满足f 3 f 1 5 且f x 的最大值是3 求函数f x 的解析式 解析解法一 设f x ax2 bx c a 0 依题意得解得所以二次函数的解析式为f x 2x2 4x 1 解法二 设f x a x m 2 n a 0 因为f 3 f 1 所以抛物线的对称轴为x 1 则m 1 又f x 的最大值是3 则a 0 n 3 即f x a x 1 2 3 由f 3 5得4a 3 5 则a 2 所以二次函数的解析式为f x 2 x 1 2 3 2x2 4x 1 解法三 设f x 5 a x 3 x 1 a 0 即f x ax2 2ax 3a 5 a x 1 2 4a 5 又f x 的最大值是3 则a 0 且 4a 5 3 所以a 2 所以二次函数的解析式为f x 2x2 4x 1 在求二次函数解析式时 要灵活地选择二次函数解析式的表达形式 1 已知三个点的坐标 应选择一般式 2 已知顶点坐标或对称轴与最值 应选择顶点式 3 已知函数图象与x轴的交点坐标 应选择两根式 1 1 2015嘉兴一模 19 15分 设二次函数f x ax2 bx c a 0 满足条件 当x r时 f x 的最大值为0 且f x 1 f 3 x 成立 二次函数f x 的图象与直线y 2交于a b两点 且 ab 4 1 求f x 的解析式 2 求最小的实数n n 1 使得存在实数t 只要当x n 1 时 就有f x t 2x成立 解析 1 由f x 1 f 3 x 可知函数f x 图象的对称轴为x 1 由f x 的最大值为0 可设f x a x 1 2 a 0 令a x 1 2 2 解得x 1 则易知2 4 a 所以f x x 1 2 c 2 由f x t 2x可得 x 1 t 2 2x 即x2 2 t 1 x t 1 2 0 解得 t 1 2 x t 1 2 又f x t 2x在x n 1 上恒成立 可得由 得0 t 4 令g t t 1 2 易知g t t 1 2在 0 4 上单调递减 所以g t g 4 9 故n 9 则n能取到的最小实数为 9 此时 存在实数t 4满足题意 二次函数的图象与性质典例2 2015浙江湖州检测 17 14分 已知f x ax2 2x 0 x 1 求f x 的最小值 解析 当a 0时 f x 2x在 0 1 上递减 f x min f 1 2 当a 0时 f x ax2 2x的图象的开口方向向上 且对称轴为x 当1时 f x 在上递减 在上递增 f x min f 当 1 即0 a 1时 f x 在 0 1 上递减 c f x min f 1 a 2 当a 0时 f x ax2 2x的图象的开口方向向下 且对称轴x 在y轴的左侧 f x ax2 2x在 0 1 上递减 f x min f 1 a 2 综上所述 f x min 解决二次函数图象与性质问题时要注意 1 抛物线的开口方向 对称轴位置 定义区间三者相互制约 常见的题型中这三者有 两定一不定 要注意分类讨论 2 数形结合思想的应用 尤其是求给定区间上二次函数的最值问题 2 1设二次函数f x ax2 2ax c在区间 0 1 上单调递减 且f m f 0 则实数m的取值范围是 a 0 b 2 c 0 2 d 0 2 答案d解析f x ax2 2ax c a x 1 2 c a在区间 0 1 上递减 则a 0 即函数图象开口向上 又f 0 f 2 所以由f m f 0 可得0 m 2 故选d 2 2 2015浙江绍兴模拟 若不等式x2 ax 1 0对于一切x 成立 则a的最小值是 c a 0b 2c d 3 答案c解析设f x x2 ax 1 其图象开口向上 对称轴为直线x 当 即a 1时 f x 在上是减函数 应有f 0 a a 1 当 0 即a 0时 f x 在上是增函数 应有f 0 1 0 恒成立 故a 0 当0 即 1 a 0时 应有f 1 1 0恒成立 故 1 a 0 综上 a的取值范围是a 所以a的最小值是 故选c 二次函数的综合问题典例3 2014大纲全国 16 5分 若函数f x cos2x asinx在区间是减函数 则a的取值范围是 答案 2 解析f x cos2x asinx 1 2sin2x asinx 令t sinx x 则t 原函数化为y 2t2 at 1 由题意及复合函数单调性的判定可知y 2t2 at 1在上是减函数 结合二次函数图象可知 所以a 2 c 解决有关二次函数两类综合问题的思想方法 1 含有参数的二次函数与不等式的综合问题注意分类讨论思想 函数与方程思想的运用 2 二次函数的最值问题 通常采用配方法 将二次函数化为y a x m 2 n a 0 的形式 得其图象顶点 m n 或对称轴方程x m 分三种情况 顶点固定 区间固定 顶点含参数 区间固定 顶点固定 区间变动 3 1 2013江苏 13 5分 在平面直角坐标系xoy中 设定点a a a p是函数y x 0 图象上一动点 若点p a之间的最短距离为2 则满足条件的实数a的所有值为 答案 1 解析设p 则 pa 2 x a 2 2a 2a2 2 c 令t x 则t 2 x 0 当且仅当x 1时取 则 pa 2 t2 2at 2a2 2 1 当a 2时 pa 2 min 22 2a 2 2a2 2 2a2 4a 2 由题意知 2a2 4a 2 8 解得a 1或a 3 舍 2 当a 2时 pa 2 min a2 2a a 2a2 2 a2 2 由题意知 a2 2 8 解得a 或a 舍 综上知 a 1 幂函数的图象与性质典例4 2014浙江 7 5分 在同一直角坐标系中 函数f x xa x 0 g x logax的图象可能是 答案d解析因为a 0 所以f x xa在 0 上为增函数 故a错 在b中 由f x 的图象知a 1 由g x 的图象知01 矛盾 故c错 在d中 由f x 的图象知0 a 1 由g x 的 图象知0 a 1 相符 故选d c 研究幂函数时 要从熟记五个基本幂函数的图象开始 理清幂函数y x r 的相关性质 再辅之以数形结合的方法 这类问题就会迎刃而解 如果不是基本的幂函数 那么通常先将负指数幂化为正指数幂 再将分数指数 幂化为根式 幂指数是负整数时化为分式 然后根据得到的根式 分式 研究幂函数的性质 幂函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的自变量的集合 直接利用定义判断其奇偶性和单调性 4 1 2015山东临沂一中模拟 幂函数f x p z 为偶函数 且f 1 0 解得 1 p 3 又