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文档简介

上 海 交 通 大 学线 性 代 数 试 卷（A卷） 20060621 姓名 学号 得分 题号一二三四总分得分一 单项选择题（每题3分，共18分） 1已知矩阵，且，则 a. 当时，必有秩； b. 当时，必有秩；c. 当时，必有秩； d. 当时，必有秩。2 已知 为3维列向量组，行列式 ，则行列式 a. 6； b. 6； c. 18； d. 18。3. 设线性空间中向量组线性无关，则的下列生成子空间中，维数为3的生成子空间是 a. L； b. L；c. L； d. L。4设为维列向量组，矩阵，下列选项中正确的是 a. 若线性相关，则线性无关；b. 若线性相关，则线性相关；c. 若线性无关，则线性无关；d. 若线性无关，则线性相关。5. 设为非零实矩阵，是行列式 中元素的代数余子式，则矩阵必为 a. 不可逆矩阵； b. 对称矩阵； c. 正交矩阵； d. 正定矩阵。6设为阶非奇异矩阵，为的伴随矩阵，则 a. ； b. ； c. ； d. 。 二 填空题（每题3分，共18分）1. 设3阶方阵有特征值，则的相似对角阵为 ；2. 设,，其中是非齐次线性方程组的解,为矩阵,且, 则线性方程组 的通解为 ；3. 设实对称矩阵满足，则二次型 经正交变换 可化为标准形 ；4已知矩阵满足，且，则行列式 ；5设4阶矩阵满足行列式，则其伴随矩阵必有一个特征值为 ；6 已知4阶矩阵 的秩 ，则齐次线性方程组 的基础解系含 个线性无关的解向量。二 计算题（每题8分，共48分）1已知阶矩阵且满足方程 ，其中，求矩阵。2. 已知非齐次线性方程组 ，其系数矩阵的秩试求：常数的值，以及该方程组的通解。3. 求正交变换,将实二次型 化为标准型,并写出正交变换。4. 设为4阶方阵，其中是4维列向量，且线性无关，。已知向量，试求线性方程组的通解。5. 已知 是3维线性空间的一个基，且 ， ， 。 （1）求由基 到基的过渡矩阵；（2）设向量 ，求 在基 下的坐标6. 设列向量 是矩阵 的对应特征值的一个特征向量. （1）求常数 ； （2）试问：矩阵能否相似于对角矩阵？ 为什么？四 证明题（每题8分，共16分）1. 已知矩阵为阶正定矩阵,证明:（1） 矩阵的特征值都大于零； （2）若，则为正定矩阵。2设阶方阵,其中是维列向量,证明：（1）的充要条件为； （2）当时，矩阵不可逆。线 性 代 数 参 考 答 案一 选择题 c a d b c c二 填空题1.；2.； 3.； 4.； 5.； 63。三 计算题1. 。2. , 。3. 正交变换，为 ，化二次型为标准形 。4. ，线性无关， ，解得 。5. （1）； （2）。6. （1） ；（2）不能，因为其特征值为-1,-1,-1；但线性无关的特征向量只有一个.四 证明题1. （1）为可逆矩阵，又 其中为可逆矩阵。因此为正定矩阵，相似于，的特征值与相同，故的特征值都大于零。（2） ，实对称，且
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