2013高考人教A版文科数学一轮强化训练2.12导数在研究函数中的应用.doc

第十二节 导数在研究函数中的应用 强化训练1.在区间a,2上的最大值为则a等于( ) A.B. C.D.或 答案:B 解析:y=-(x+1)在a,2上的最大值为a-1且在x=a时. 解之或舍去). 2.在区间-1,1上的最大值是( ) A.-2B.0 C.2D.4 答案:C 解析:f 2),令f (x)=0可得x=0或2(2舍去),当时,f (x)0,当时,f (x)0,所以当x=0时,f(x)取得最大值为2. 3.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内有极小值点 个.( ) A.1B.2 C.3 D.4 答案:A 解析:观察图象可知,f (x)只有一处是先小于0,后大于0的. 4.要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3 m,长和宽的和为20 m,则仓库容积的最大值为 . 答案:300 解析:设长为x m,则宽为(20-x) m,仓库的容积为V, 则V V=-6x+60,令V=0,得x=10. 当0x0;当x10时,V0. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程; (2)若在区间上,f(x)0恒成立,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时3;f (x)(2)=6.所以曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9. (2)f 1).令f (x)=0,解得x=0或. 以下分两种情况讨论: 若则.当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表: 当时,f(x)0等价于 即 解不等式组得-5a2,则.当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表: 当时,f(x)0等价于 即 解不等式组得或. 因此2a5. 综合和,可知a的取值范围为0a2. f(x)的单调递增区间为. 2.若函数在上是增函数,则实数k的取值范围是( ) A. -2,+B.2,+C. D.(-答案:A 解析:因为h所以h在上恒成立,即在上恒成立.所以-2,+. 3.已知函数y=ax与在上都是减函数,则函数的单调递减区间为 . 答案:和 解析:根据题意a0,b0. 由得y. 令y0或. 故所求减区间为和. 4.设函数0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求: (1)a的值; (2)函数f(x)的单调区间. 解:(1)因 所以f 即当时,f (x)取得最小值. 因斜率最小的切线与12x+y=6平行,即该切线的斜率为-12.所以即. 解得由题设a0,故f(x)在-1)上为增函数; 当时,f (x)0,故f(x)在(3,)上为增函数. 由此可见,函数f(x)的单调递增区间为和单调递减区间为(-1,3). 题组二 导数与函数的极值、最值 5.函数已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于( ) A.2B.3 C.4D.5 答案:D 解析:因为所以f . 由题意有f (-3)=0,所以.由此解得a=5. 6.若函数有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) A.(-2,2)B.C.D. 答案:A 解析:由f 1)(x+1), 且当x0. 当-1x1时,f (x)1时,f (x)0. 所以当x=-1时函数f(x)有极大值,当x=1时函数f(x)有极小值. 要使函数f(x)有3个不同的零点,只需满足解之得-2aln2-1且x0时,e. 解:(1)由f(x)=eR知f (x)=eR. 令f (x)=0,得x=ln2.于是当x变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表: 故f(x)的单调递减区间是ln2),单调递增区间是(ln f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明:设g(x)=eR.于是g(x)=eR. 由(1)知当aln2-1时,g(x)最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0. 于是对任意R,都有g(x)0,所以g(x)在R内单调递增. 于是当aln2-1时,对任意都有g(x)g(0). 而g(0)=0,从而对任意. 即e故e. 题组三 导数的综合应用 9.已知对任意实数x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x0时,f(x)0,g(x)0,则x0,g(x)0B.f (x)0,g(x)0 C.f (x)0D.f (x)0,g(x)0时,f(x),g(x)都单调递增,则当x0,g(x)0. 10.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)= 则总利润最大时,每年生产的产品是 单位.( ) A.100B.150 C.200 D.300 答案:D 解析:由题意得,总成本函数为C=C(x)=20 000+100x, 所以总利润函数为P=P(x)=R(x)-C(x) = 而P(x)= 令P(x)=0,得x=300,易知x=300时,P最大. 11.设f (x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f (x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( ) 答案:D 解析:对于A,抛物线为函数f(x),直线为f (x);对于B,上凸的曲线为函数f(x),下凹的曲线为f (x);对于C,下面的曲线为函数f(x),上面的曲线f (x).只有D不符合题设条件. 12.(2011江苏高考,17)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm最大,试问x应取何值? (2)