一元一次方程及解法.doc

_一元一次方程及解法撰稿：占德杰责编：赵炜一、目标认知学习目标：经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。重点：一元一次方程的解法难点：一元一次方程的解法二、知识要点梳理知识点一：方程的概念1、含有未知数的等式叫做方程. 2、使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3、求方程的解的过程叫做解方程。4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）。知识点二：一元一次方程的概念1、概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a0)，“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，应从以下几点理解此概念：（1）方程中的未知数的个数是1。例如2x+3y=2就不是一元一次方程，因为未知数的个数是两个，而不 是一个。（2）一元一次方程等号的两边都是整式，并且至少有一边是含有未知数的整式。例如方程， 其中不是整式，所以它不是一元一次方程。（3）未知数的次数是1，如x2+2x-2=0, 在x2项中，未知数的次数是2，所以它不是一元一次方程。2、判定：判断一个方程是不是一元一次方程应看它的最终形式，而不是看原始形式。（1）如果一个方程经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形能化为axb(a0)， 或axb0(a0)，那么它就是一元一次方程；否则就不是一元一次方程。（2）方程axb或axb0，只有当a0时才是一元一次方程；反之，如果明确指出方程axb或 axb0是一元一次方程，则隐含条件a0.例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。知识点三：等式的性质1、等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式。2、等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：如果，那么；(c为一个数或一个式子)。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：如果，那么；如果，那么在对等式变形时，应注意如下几个方面：(1)根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行，同时加或减、同时乘或除以， 不能漏掉某一边，并且两边加或减、乘或除以的数必须相同(2)等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立， 如x0中，两边加上得x，这个等式不成立。(3)等式的性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，因忽略除数不为0这 一条件而导致出错，特别是等式的两边除以一个式子时，更应注意这一条件。 知识点四：合并同类项与移项1、合并同类项：将方程中含有相同字母（字母的指数也相同）的项进行合并，把一元一次方程变形为：的形式，然后利用等式的性质2，方程两边同时除以a，从而得到：2、移项：将方程中的某项改变符号后从一边移到另一边，叫做移项. 移项实际上是在方程的两边都加上（或减去）同一个数（或同一个整式）.要点诠释：（1）移项的目的：将含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边。 这样我们就能够合并同类项，而使方程变形为的形式，再将方程两边同 时除以a，使x的系数化为1，得到，即为方程的解。具体过程如下：（2）移项的理论依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；（3）移项法则“移项必变号”，即移项要变号，不变号不能移项。知识点五：去括号与去分母1、去括号：方程中含有括号时，解方程过程中把括号去掉的过程叫做去括号。 去括号时注意以下两点：（1）不要漏乘括号内的项；（2）注意“+”“-”的改变，即去掉括号后要注意各项（原括号内）的符号变化情况。2、去分母：含分数系数的方程两边都乘同一个数（各分母的最小公倍数），使方程中的分母为1，这 样的变化过程叫做去分母。去分母时注意以下两点：（1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是一个整体，去分母后应加上括号。知识点六：解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母方程两边都乘各系数分母的最小公倍数；具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数。要注意不要漏掉不含分母的项，如方程 x+ =3，去分母得10x+3=3就错了， 因为方程右边忘记乘以6，造成错误。（2）去括号利用乘法对加法的分配律去掉括号；按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后 去大括号。特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。括号前有数字 因数时要注意使用分配律。（3）移项把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项要变号。（4）合并同类项把方程化为axb（a0）的形式. （5）系数化为1在方程两边同除以未知数的系数a，得到方程的解x=.注： (1)解方程时，上述步骤中有些变形可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式 灵活安排求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并简化。(2)去分母是为了简化运算，若不使用，也可进行分数的运算。(3)去括号时，若括号前为“”号，括号内各项要改变符号。(4)方程是含有未知数的等式，所以方程也具有等式的性质，可以应用等式的性质解较简单的一元一次 方程，步骤一般有两步： 方程两边同时加(或减)同一个数。 方程两边同时乘(或除以)同一个不为0的数。例如，解方程：3x+5=2解：两边都减5，得3x= -3两边同时除以3，得x= -1三、规律方法指导从数学学科内部来看，整式及其加减运算是一元一次方程的预备知识；而从应用的角度来看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接通过本章学习，不仅可以复习有理数运算和合并同类项、去括号等整式加减运算的内容，而且可以进一步体会看似抽象的整式运算在解决实际问题中的用处，从而加深对相关内容的理解并且结合方程的解法复习已学过的整式的知识，深刻认识数、式与方程间的联系与区别经典例题透析类型一：一元一次方程的概念1判断下列各式是不是方程？如果是方程，指出已知数和未知数，并指出是不是一元一次方程；如果不是，说明为什么？（1）2x15；（2）4812；（3）5y8；（4）2a3b0；（5）6a25x4；（6）2x2x1；（7）x21； （8）ax2a3. 思路点拨：方程是含有未知数的等式，只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程；方程是等式，两个代数式用等号连接起来就是等式,但等式不一定是方程；方程、等式都含有等号，而代数式不含等号.解：（1）是方程. 2、1、5是已知数，x是未知数，且是一元一次方程；（2）不是方程. 因为等式中不含未知数；（3）不是方程. 因为它是代数式，而不是等式；（4）是方程. 2、3、0是已知数，a、b是未知数，因为含有两个未知数，所以不是一元一次方程；（5）不是方程. 因为它是代数式，而不是等式；（6）是方程. 2、1是已知数，x是未知数，因为未知数的最高次数是2，所以不是一元一次方程；（7）不是方程. 因为它不是等式；（8）是方程. 当a是未知数时，x、2、3是已知数，且当时，是一元一次方程； 当x是未知数时，a、2a、3是已知数且当时，是一元一次方程； 当a、x是未知数时，2、3是已知数，不是一元一次方程。. 总结升华：（1）化简后未知数系数为零时，则此含有未知数的等式不是方程，如2x132x就不是方程；（2）方程的已知数包括它前面的符号，当未知数的系数是1时，省略的1可看作已知数，但是一般不写出，如本例中的（6），x的系数为1，在写已知数时，也可以不写.举一反三：变式下列四个方程中，一元一次方程是 （ ）A. x2-1=0 B. x+y=1 C. 12-7=5 D. x=0答案：D类型二：方程的解2检验题后面括号里的数是不是前面方程的解。3y12y1(y2，y4)思路点拨：判断一个数是否是方程的解，把这个数代入方程的两边，若方程两边相等，则该数是方程的解；若方程两边不相等，则不是方程的解。解：把y2代入方程3y12y1的两边，左边3215，右边2215，左边右边，所以y2是方程3y12y1的解。把y4代入方程3y12y1的两边，左边34111，右边2419，左边右边，所以y4不是方程3y12y1的解。举一反三：变式1（2011广东湛江）若是关于的方程的解，则的值为_.答案：-1变式2关于x的方程ax+3= 4x+1的解为正整数，则a的值是（ ）A. 2 B3 C2或3 D1或2答案：C类型三：解一元一次方程3解方程：93x5x5思路点拨：可将右边的5x变号后移到左边，将左边的9变号后移到右边，然后合并化成左边是含有未知数的项，右边是常数项的方程. 解：93x5x5移项，得3x5x59合并，得8x4系数化为1，得x总结升华：解方程时经常要“合并”和“移项”，目的是将方程逐步变成axb（a0）的形式，然后利用等式的性质，化系数为1，最终求得未知数x的值；应该特别注意移项要变号，合并则是将所有含相同字母的项的系数相加.举一反三：变式解方程：4x=18-2x分析：利用等式的性质1，等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。解：根据等式的性质1，在方程两边同时加上2x4x+2x=18-2x+2x6x=18根据等式的性质2，在方程两边同时除以6，得x=34解方程思路点拨：本题考查去分母的过程，注意不要漏乘方程中的每一项。解：去分母，得4(2x1)4(2x+5)=3(6x7)12去括号，得8x48x2018x2112移项，得8x8x18x2112+4+20合并同类项，得18x9系数化为1，得x。总结升华：解一元一次方程的基本思路是把未知数移到等号的一边，把常数项移到等号的另一边，最后把系数化成1. 这一过程中注意三点：去括号要依据符号法则，特别是括号前是负号的情况；移项要变号；去分母时，方程各项都要乘分母的最小公倍数. 举一反三：变式解方程：解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 5解方程x-2x-3(x+4)-6=1思路点拨：方程特点是含有多重括号，去括号时从小括号开始由里向外一层一层去。解：去括号，得x-2x-3x-12-6=1x-2-2x-18=1x+4x+36=1移项，得x+4x=1-36化简，得5x=-35系数化为1，得x=-7举一反三：变式答案：x=5类型四：一元一次方程的综合应用6已知方程是关于x的一元一次方程；（1）求m的值。（2）写出关于x的一元一次方程（3）并解（2）中的方程。解析：（1）根据一元一次方程的定义，可知 m2。（2）把m2代入原方程得，4x+37（3）4x+37， 两边同减，得：4x7 两边同除以，得：x7对于有理数a，b，c，d，规定一种运算adbc，如1(2)022。那么25时，写出关于x的一元一次方程，并解此方程。分析：由题中可看出的运算方式是对角线位置的数的乘积的差，所以25变形为25(4)(3x)25。解析：25可以化为25(4)(3x)25，即4x30。移项，化简得：x=-3/48关于x的方程3x-4= a-bx有无穷多个解，则a=_ ,b=_.解析：由3x-4= a-bx，得：（3+b）x=a+4要使此方程有无穷多个解，则有：所以a= -4, b= -3学习成果测评基础达标：一、选择题：1下列各式中，是方程的一共有（ ） ； （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个2下列方程中，一元一次方程一共有（ ） ； （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个3如果是方程的解，那么的值（ ）（A） （B）5 （C） 1 （D）4关于x的方程的解为（ ）（A） （B） （C） （D） 二、填空题1（2011遵义）方程的解为_2若，则_。3若方程与方程的解相同，则_。4若和方程的解相同，那么_。三、解方程（1）0.48x6 = 40.02x（2）5x-3(2x+1)+7x=6x-4(5-3x)（3） （4）（5） （6）答案与解析：一、 1C 、B 3、 A 4、 D 解析：第1题：考查方程的概念，含有未知数的等式叫做方程。其中是一般等式， 是不等式， 其余都是方程。注意方程中的未知数不必都用x表示。第2题：考查一元一次方程的定义。其中经过化简可知是一元一次方程。 是二元一次方程，是一元二次方程，是分式方程。第3题：考查方程的解的概念。把代入方程就可求出。第4题：这是关于未知数的方程，其中字母，应看成已知数。通过移项，合并即可。二、 、 3、-3 4、6解析：第1题：考查解方程，直接求解即可。第2题：考查平方和绝对值的非负性，由题意得：，即可求出。第3题：考查方程的解的概念。由题意得出的解为，把它代入即 可求出的值。第4题：考查方程的解得概念。同第题。三、（1）解：移项得：0.48x+0.02x = 4+6 合并同类项得： 0.5x = 10 系数化为1得： x = 20（2）解：去括号，得 5x-6x-3+7x=6x-20+12x, 移项，得 5x-6x+7x-6x-12x=-20+3 合并同类项，得 -12x=-17, 系数化为1，得 x=启发：方程中带有括号，先设法去掉括号。对于有多重括号的方程，应先去小括号，再去中括号，最后去大括号，运用分配律去括号时，注意符号不要标错，并且不要漏乘括号中的项。移项时，要注意变号,最好别跳过移项这一步，因为将移项和合并同类项同步完成，很容易产生错误。（3）解：去分母得：5y1 = 14 移项得：5y = 14+1 合并同类项得：5y = 15 系数化成1得：y = 3（4）解：去分母得：4(2x1)3(5x+1) = 24 去括号得：8x415x3 = 24 移项得：8x15x = 24+4+3 合并同类项得：7x = 31 系数化成1得：（5）解：原方程可化为： 去分母得： 去括号，移项与合并同类项得： 系数化成1得：启发：分数线除了可以代替除号“”(表示“分子分母”；也可以说代替“：”，表示“分子：分母”)以外，还起着括号的作用，分子如果是一个代数式，应该看作一个整体，在去分母时，不要忘了将分子作为一个整体加上括号。（6）解：方程两边同乘以5，得 移项，得 方程两边同乘以4，得 移项，得 方程两边同乘以3，得 移项，得 x=-2启发：解这种方程，如果从内向外采用乘法对加法的分配律去括号，非常麻烦，这里根据方程的结构特点，利用等式的性质2，在去掉一个分母的同时，即去掉一个括号，如此进行，并不费力。能力提升：一、选择题：1、（2011湖北荆州）对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为ABCD2、一元一次方程2(3x4) =5(x2)的解是 ( )A. x = 3 B. x = 2 C. x = 4 D. x =23、单项式2ab2m+3与4ab4m1是同类项则m等于 ( )A. 4 B. 3 C. 1 D. 24、方程(1) (2) 2(x +1) = 4 (3) (4) 3x4+2x = 4x3中， 解相同的是 ( )A. (1) (2) (3) B. (2) (3) (4) C. (1) (2) (4