《复变函数与积分变换》辅导资料六.doc

复变函数与积分变换辅导资料六主 题：第二章 解析函数23节学习时间：2012年11月5日11月11日内 容：本周首先介绍判定解析的条件柯西-黎曼条件，其次，将在实数域上熟知的初等函数推广到复数域上来，并讨论它们的解析性。解析函数有很多重要的性质，必须很好地掌握，其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、熟练掌握复变函数解析的充要条件2、会判断一个函数是否解析3、了解指数函数、对数函数、幂级数、三角函数、双曲函数的定义及它们的解析性质、运算性质基本概念：柯西黎曼方程知识点：初等函数的解析性第二节、函数解析的充要条件（要求达到“简单应用”层次）定理1：设函数定义在区域D内，则在D内一点可导的充要条件是：与在点可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程，且。定理2：设函数在区域D内有定义，则在D内解析的充要条件是：与在D内处处可微，并且满足柯西-黎曼方程。典型例题：例、试证函数在复平面解析证：令得因为所以利用解析函数的充要条件，可证得在复平面解析。第三节、初等函数（要求达到“识记”层次）一、指数函数对于任何复数，称为指数函数。特别地，当时，得欧拉公式。指数函数它有如下性质：1、当时与实指数函数是一致的2、3、在z平面上解析，且4、5、是以为周期的周期函数6、极限不存在，即无意义典型例题：例、计算的值解：二、对数函数把满足方程的函数称为对数函数，记作。对数函数是指数函数的反函数，下面推导的具体表达式。设，那么，所以有为整数），从而。由于是多值函数，所以对数函数是一个多值函数，并且每两个值相差的整数倍。如果取主值，则便是一个单值函数，记，称为的主值，即，于是对数函数又可以表示为为整数）。对数函数它有如下性质：1、当时，即为实函数中的对数函数2、上述等式应理解为集合意义上的等式。另外，这个运算性质对对数主值不再成立。3、在除去原点及负实轴的平面内解析，且。又因为为整数），所以的各个分支在除去原点及负实轴的平面内解析，且有相同的导数值。以后涉及对数函数时，指的都是除去原点及负实轴的平面内的某一单值支。典型例题：例1、计算解：为整数）例2、计算解：为整数）三、幂函数设为任意一复常数，函数称为复变量的幂函数。由于为多值函数，所以幂函数一般也为多值函数。1、当为整数时，为整数）是单值的。并且当为正整数和零时，为整个复平面上的解析函数；当为负整数时，在除去原点外的复平面上解析。2、如果为有理数时，为整数）有个不同的值，即当时所对应的值。的各个分支在除去原点及负实轴的复平面内解析。3、如果为无理数或复数时，为无穷多个值。的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析。不论为以上何种情况，在解析点上统一有其中，应理解为与相对应的某个单值支。典型例题：例1、计算的值解：例2、计算的值解：为整数）四、三角函数由欧拉公式有：，所以有定义：对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下：余弦函数和正弦函数基本性质：1、和都是单值函数2、是偶函数，是奇函数3、和是以为周期的周期函数4、5、注1:和都是无界的注2:与不总是非负的，也可能是负数值6、和在整个复平面解析，并且7、和在复平面的零点：在复平面的零点是