第3章 离散傅里叶变换 DFT.pdf

第第3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换 jIm z 0 2 N W 1 N W 0 N W 2 N N W 3 N N W Re z 0 X ej X k 1 3 1 引言引言 连续时间傅里叶变换CTFT不适宜于在数字计算机上 进行计算 其主要原因为 信号覆盖了整个时间轴 时间受限信号除外 信号覆盖了整个时间轴 时间受限信号除外 信号是时间连续的信号是时间连续的 信号的频谱覆盖了整个频谱轴 频带受限信号除外 信号的频谱覆盖了整个频谱轴 频带受限信号除外 信号是频谱连续的信号是频谱连续的 时间要离散 有限 时间要离散 有限 频谱要离散 有限 频谱要离散 有限 2 周期延拓中的搬移通过与周期延拓中的搬移通过与 的卷积来实现的卷积来实现 时域周期延拓时域周期延拓 时域截断时域截断 时域抽样时域抽样 解决信号的离散化问题解决信号的离散化问题 工程上无法处理时间无限信号工程上无法处理时间无限信号 要使频率离散 就要使时域变成周期信号要使频率离散 就要使时域变成周期信号 时域乘以矩形脉冲信号 频域相当于和抽样函数时域乘以矩形脉冲信号 频域相当于和抽样函数 卷积卷积 通过窗函数对信号进行逐段截取通过窗函数对信号进行逐段截取 连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓 周期延拓后的周期函数具有离散谱周期延拓后的周期函数具有离散谱 通过与抽样信号相乘得到通过与抽样信号相乘得到 经过抽样 截断和延拓后 信号时域和频域都是离散 周期的 经过抽样 截断和延拓后 信号时域和频域都是离散 周期的 DFT的推导的推导 s nTt 3 从工程需要出发 理解信号频谱分析的实际问题 即从工程需要出发 理解信号频谱分析的实际问题 即 在实践中领悟处理原理的意义在实践中领悟处理原理的意义 从解决问题出发 理解各种信号处理方法的目的 即从解决问题出发 理解各种信号处理方法的目的 即 在矛盾中思考工程实现的背景在矛盾中思考工程实现的背景 学学 习习 方方 法法 在解决问题的过程中感受知识的力量 体会学习的快乐在解决问题的过程中感受知识的力量 体会学习的快乐 4 3 2 傅里叶变换的几种形式傅里叶变换的几种形式 傅里叶变换是建立以傅里叶变换是建立以时间时间t 为自变量的 信号 为自变量的 信号 与以与以频率频率f 为自变量的 频率函数 频谱 之间的为自变量的 频率函数 频谱 之间的 某种变换关系某种变换关系 时间时间t 频率频率f 连续连续 离散离散 连续连续 离散离散 四种不同形式四种不同形式 5 四种形式的傅里叶变换四种形式的傅里叶变换 1 针对连续信号 针对连续信号 1 非周期信号非周期信号的傅里叶变换 的傅里叶变换 CTFT 2 周期信号周期信号的傅里叶级数 的傅里叶级数 CTFS 2 针对离散信号 针对离散信号 3 非周期信号非周期信号的序列的傅里叶变换 的序列的傅里叶变换 DTFT 4 周期信号周期信号的离散傅里叶级数 的离散傅里叶级数 DTFS DFT 6 一一 非周期信号的傅里叶变换 非周期信号的傅里叶变换 CTFT dtetxjX tj dejXtx tj 2 1 xt 0 x t t t t 2 t t 2 jX 时域时域连续连续函数造成频域是函数造成频域是非周期非周期的谱 的谱 时域的时域的非周期非周期造成频域是造成频域是连续连续的谱 的谱 7 二 周期信号的傅里叶级数 二 周期信号的傅里叶级数 CTFS T F 2 2 0 xt A T 2t2t 0 T x t A t 2t t 0 TTt t 2 2 t t 2 2 k 周期信号的频周期信号的频 谱只会出现在离散谱只会出现在离散 频率点上 这种频频率点上 这种频 谱称为谱称为离散谱离散谱 2 2 0 0 1 p p T T tjk p dtetx T jkX k tjk ejkXtx 0 0 时域的时域的连续时间连续时间函数造成频域是函数造成频域是非周期非周期频谱函数 频谱函数 频域的频域的离散频谱离散频谱就与时域的就与时域的周期时间周期时间函数相对应 函数相对应 8 t 0 k xt A T 2t2t 0 T x t A t 2t t 0 TTt t 2 2 t t 2 2 xt 0 x t t t t 2 t t 2 9 三 三 非周期信号的非周期信号的序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 n njj enxeX deeXnx njj 2 1 j eX是是 的连续周期函数 的连续周期函数 时域时域 频域频域 CTFT 连续连续 非周期非周期 非周期非周期 连续连续 CTFS 连续连续 周期 周期 非周期非周期 离散 离散 DTFT 离散 离散 非周期非周期 周期 周期 连续连续 10 上面讨论的三种傅里叶变换对 都不适用在计上面讨论的三种傅里叶变换对 都不适用在计 算机上运算 我们算机上运算 我们感兴趣的是时域及频域都是离散感兴趣的是时域及频域都是离散 的情况的情况 这就是离散傅里叶级数 也是一种变换 这就是离散傅里叶级数 也是一种变换 根据以上讨论 根据以上讨论 时域 离散时域 离散 频谱 周期频谱 周期 频域 离散频域 离散 时域 周期时域 周期 DTFS必是一种必是一种时域 频谱均为时域 频谱均为离散离散和和周周 期期的一种傅里叶变换 的一种傅里叶变换 FTFT 四 离散傅里叶级数 四 离散傅里叶级数 DFS DFT 11 10 1 0 2 NkenxkX N n nk N j 10 1 1 0 2 NnekX N nx N k nk N j xa t tt t xp t o o t Tp x nT o N点 xp n o N点 nT n a b c d Xa j 1 0 o 0 Xp jk o k X ej 1 T X ejk s s o o N点 s T 总之 一个域的离散必然造成另一个总之 一个域的离散必然造成另一个 域的周期延拓 域的周期延拓 DFT 12 xa t tt t xp t o o t Tp x nT o N点 xp n o N点 nT n a b c d Xa j 1 0 o 0 Xp jk o k X ej 1 T X ejk s s o o N点 s T 四种形式的傅里叶变换对示意图四种形式的傅里叶变换对示意图 13 四种傅里叶变换四种傅里叶变换 1 连续非周期连续非周期 非周期连续非周期连续 CTFT 2 连续周期连续周期 非周期离散非周期离散 0 CTFS 3 离散非周期离散非周期 周期周期 s 连续连续DTFT 4 离散周期离散周期 周期周期 s 离散离散 DFT DTFS 切实理解四种切实理解四种FT之间的对应关系之间的对应关系 14 四种傅里叶变换形式的归纳四种傅里叶变换形式的归纳 N N 2 15 3 3 离散傅里叶级数 离散傅里叶级数 DFS 先从周期性序列的离散傅里叶级数 先从周期性序列的离散傅里叶级数 DTFS 开始讨论 开始讨论 然后再讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散然后再讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散 傅里叶变换 傅里叶变换 DFT 一 一 DTFS的定义的定义 设设 为周期为为周期为N的周期序列 则其离散傅里叶级数的周期序列 则其离散傅里叶级数 DTFS 变换对为 变换对为 nx 1 0 1 0 2 N n nk N N n nk N j WnxenxnxDFSkX 1 0 1 0 2 1 1 N k nk N N k nk N j WkX N ekX N kXIDFSnx N j N eW 2 旋转因子旋转因子 16 一个周期为一个周期为N的周期序列的周期序列 可表示为 可表示为 这样的周期序列的这样的周期序列的Z变换是不收敛的 正如变换是不收敛的 正如连续时间连续时间 周期信号可以用傅里叶级数表示周期信号可以用傅里叶级数表示一样 一样 离散周期序列也离散周期序列也 可以用离散傅里叶级数表示可以用离散傅里叶级数表示 也就是用周期为 也就是用周期为N的复指数的复指数 序列来表示 序列来表示 周期为周期为N的复指数序列的的复指数序列的基频序列基频序列为为 k次谐波次谐波为 为 由于是周期序列 其由于是周期序列 其k次谐波也是周期为次谐波也是周期为N的序列 的序列 n N j nj eene 2 1 0 kn N j k ene 2 kn N jnNk N j Nkk eenene 2 2 kNnxnx k为任意整数为任意整数 nx tjn n ne Atx 0 tj e 0 基波基波 17 因此 对于离散傅里叶级数 只取下标从因此 对于离散傅里叶级数 只取下标从0到到N 1的的N个个 谐波分量就足以表示原来的信号 这样可把离散傅里叶级数谐波分量就足以表示原来的信号 这样可把离散傅里叶级数 表示为表示为 式中 乘以系数式中 乘以系数1 N是为了下面计算的方便 是为了下面计算的方便 为为k次谐波次谐波 的系数 的系数 将上式两边同乘将上式两边同乘 并从 并从n 0到到N 1求和 得到 求和 得到 1 0 2 1 N k nk N j ekX N nx kX rn N j e 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 N n N k rkn N j N n rn N j ekX N enx 1 0 1 0 2 1 N k N n rkn N j e N kX rX 为求解这个系数要利用以下性质 即为求解这个系数要利用以下性质 即 其它其它 为整数为整数 0 11 1 0 2 mmNr e N N n rn N j 18 即即 由此得到由此得到周期序列的离散傅里叶级数周期序列的离散傅里叶级数 DTFS 表达式表达式 令令 则得到周期序列的离散傅里叶级数则得到周期序列的离散傅里叶级数 DTFS 变换对 变换对 kenxkX N n nk N j 1 0 2 nekX N nx N k nk N j 1 0 2 1 1 0 2 N n nk N j enxkX 1 0 N n nk N WnxnxDFSkX 1 0 1 N k nk N WkX N kXIDFSnx Nj N eW 2 正变换正变换 反变换反变换 19 二 二 DFS的性质的性质 1 线性 线性 2 移位特性 移位特性 设设 则则 3 周期卷积 周期卷积 若若 则则 kYkXkF 1 0 N m mnymxkFIDFSnf kXnxDFS kXWmnxDFS mk N 20 周期卷积的过程周期卷积的过程 N0N n ny 1 1 2 3 3 2 21 3 3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换DFT 一 一 DFT的定义的定义 周期序列实际上周期序列实际上只有有限个序列值是只有有限个序列值是独立的独立的 因而它的 因而它的 离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 这就得到有限离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 这就得到有限 长序列的傅里叶变换 长序列的傅里叶变换 DFT 1 有限长序列和周期序列之间的关系有限长序列和周期序列之间的关系 设设x n 为有限长序列 长度为为有限长序列 长度为N 我们把它看成周期序 我们把它看成周期序 列列 的一个周期 而把的一个周期 而把 看成看成x n 以以N为周期的周期延为周期的周期延 拓 这样就建立了有限长序列和周期序列之间的联系 拓 这样就建立了有限长序列和周期序列之间的联系 nx nx 1 0 N n nk N WnxnxDFSkX nx 22 其它其它 0 10 Nnnx nx nRnxnx N 或或 r rNnxnx 0 N 1n nx N0N 1n 主值区间主值区间 x n n 0到到N 1的范围称为的范围称为主值区间主值区间 上述两式可分别表示为上述两式可分别表示为 nRnxnxnxnx NN nx的第一个周期 即的第一个周期 即n 0到到N 1的序列称为的序列称为主值序列主值序列 符号符号 n N表示表示n对对N取余数取余数 或 或n对对N取模值取模值 23 例例 是周期为是周期为N 8的序列 求的序列 求n 19和和n 2两数两数 对对N的余数 的余数 nx 82319 n 319 8 8162 n6 2 8 3 19 19 8 xx 6 2 2 8 xx 因此因此 m为整数为整数 mNnn 1 10 1 Nn nx 0 15 n 主值区间主值区间 7193 24 因为因为 同理 可以认为周期序列同理 可以认为周期序列 的的DTFS系数系数 是有限是有限 长序列长序列X k 周期延拓的结果 而周期延拓的结果 而 X k 是是 的主值序列 的主值序列 即即 nx kX kX kRkXkX kXkX N N 25 2 有限长序列的离散傅里叶变换有限长序列的离散傅里叶变换 从从DTFS和和IDTFS的定义可以看出 求和运算只限定在的定义可以看出 求和运算只限定在0到到 N 1的的主值区间主值区间内进行 因而完全适用于主值序列内进行 因而完全适用于主值序列x n 与与 X k 因此我们得到一个新的定义 这就是有限长序列的离 因此我们得到一个新的定义 这就是有限长序列的离 散傅里叶变换定义散傅里叶变换定义 DFT 注意 注意 在离散傅里叶变换关系中 在离散傅里叶变换关系中 有限长序列有限长序列都作为周期序列都作为周期序列 的一个周期来表示 的一个周期来表示 都隐含有都隐含有周期性周期性意义意义 1 0 1 0 2 N n nk N N n nk N j WnxenxkX 2 00 11 11 jnk nk N N kk NN x nX k eX k W NN 26 在一般情况下 在一般情况下 X k 是一个复量 可表示为是一个复量 可表示为 或或 例例3 2 求有限长序列的求有限长序列的DFT 其中 其中a 0 8 N 8 kjXkXkX IR kj ekXkX 其它其它 0 10 Nna nx n 70 1 1 7 0 4 8 8 2 7 0 8 2 7 0 8 k ae a ae eaWnxkX n kj n kj n nkj n n nk 解解 X 0 4 16114 X 1 0 71063 j0 92558 X 2 0 50746 j0 40597 X 3 0 47017 j0 16987 X 4 0 46235 X 5 0 47017 j0 16987 X 6 0 50746 j0 40597 X 7 0 71063 j0 92558 27 二 二 DFT和和Z变换的关系变换的关系 可见 可见 X k 是是Z变换在单位圆变换在单位圆 上的上的N点等间隔采样值 点等间隔采样值 进行进行 对比对比 k N Wz zXkX 1 0 N n n znxnxZTzX 10 1 0 NkWnxnxDFTkX N n nk N jIm z 2 3 4 5 6 7 N 1 k 0 2 N Re z o z 1 1 28 DFT与序列傅里叶变换 与序列傅里叶变换 DTFT 的关系 的关系 X k 是序列傅里叶变换是序列傅里叶变换 在区间在区间 0 2 上的等间隔上的等间隔 采样值 采样值 当当N足够大时 足够大时 的包络可逼近的包络可逼近 曲线 曲线 k N j eXkX 2 j eX 进行进行 对比对比 1 0 N n njj enxnxDTFTeX 10 1 0 NkWnxnxDFTkX N n nk N kX j eX 0 X ej X k 2 29 注意 关于离散傅里叶变换注意 关于离散傅里叶变换 DFT 1 序列序列x n 在时域是有限长的 长度为在时域是有限长的 长度为N 它的离散 它的离散 傅里叶变换傅里叶变换X k 也是离散 有限长的 长度也为也是离散 有限长的 长度也为N n为时域变量 为时域变量 k为频域变量 为频域变量 2 离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别 DFT实际上是离散傅里叶级数的主值 实际上是离散傅里叶级数的主值 DFT隐含有周期性 隐含有周期性 3 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换 DFT 具有唯一性 具有唯一性 离散傅里叶变换理论实现了频域离散化 因而开辟了用离散傅里叶变换理论实现了频域离散化 因而开辟了用 数字技术在频域处理信号的新途径 数字技术在频域处理信号的新途径 30 三 三 DFT的性质的性质 DFT隐含着周期性 因此在讨论隐含着周期性 因此在讨论DFT的性质时 常与的性质时 常与 DFS的概念联系起来 并把有限长序列看作周期序列的一个的概念联系起来 并把有限长序列看作周期序列的一个 周期来处理 周期来处理 1 线性 线性 若它们长度不等 取长度最大者 将短的序列通过补零若它们长度不等 取长度最大者 将短的序列通过补零 加加长 注意长 注意此时此时DFT与未补零的与未补零的DFT不相等不相等 2121 kbXkaXnbxnaxDFT 31 2 圆周移位性质 圆周移位性质 1 序列的圆周移位 序列的圆周移位 一个长度为一个长度为N的序列的序列x n 的的圆周圆周 循环循环 移位移位定义为定义为 循环移位分循环移位分3步计算 步计算 1 将 将 延拓延拓成周期为成周期为N的周期序列的周期序列 2 将 将 移位移位得得 或或 3 对 对 取主值取主值得得 NN y nx nmRn nx nx nx mnx N mnx N mnx nRmnx NN 32 图图 3 6 圆周移位圆周移位过程示意图过程示意图 N 6 e x n 21 n 0 N 1N 2 o n 0 N 1 N 2 2 1 n 0 N 2 N 1 f g 21 0 x n n 0n nx N nxnx 2 2 0n 2 nRnx NN 0N 1n a b c d N 1 N 1 N 1 由图 由图 当主值当主值 序列左移序列左移m个样本个样本 时 从右边会同时时 从右边会同时 移进移进m个样本个样本 好 好 像刚从左边移出的像刚从左边移出的 那些样本又从右边那些样本又从右边 循环移了进来 故循环移了进来 故 称称 循环移位 循环移位 左移 顺时 33 2 时域循环移位定理 时域循环移位定理 3 频域循环移位定理 频域循环移位定理 若若 则则 kXWnRmnxDFTkY mk NNN kRlkXkY NN 2 nxenxWkRlkXIDFT nl N j nl NNN 34 3 圆圆周卷积周卷积 设设 则 则 由由上式表示的卷积称为上式表示的卷积称为圆周卷积圆周卷积或或循环卷积循环卷积 计算过程分计算过程分5步 步 1 周期延拓周期延拓 2 反褶 反褶 3 移位 移位和和取主值取主值 4 相乘 相乘 5 相加 相加 21 kXkXkY 21 1 0 21 21 nxnx nRmnxmx kXkXIDFTny N N m N 35 图3 7 圆周卷积过程示意图 N 7 y n x1 n x2 n 2 3 3 2 11 N 1n 0 36 线性卷积线性卷积 不受主值区间限制不受主值区间限制 圆周卷积圆周卷积 是是周期卷积周期卷积取主值取主值 在 在一定一定条件下条件下与线与线性卷性卷积相等 积相等 两两个长度都为个长度都为N的因果序列的圆周卷积仍是一个长度的因果序列的圆周卷积仍是一个长度为为N的序列 而的序列 而 它们的线性卷积却是一个长度为它们的线性卷积却是一个长度为2N 1的序列 的序列 注意 注意 线线 性性 卷卷 积积 循循 环环 卷卷 积积 37 4 共轭对称性 共轭对称性 对称性是指对称性是指关于关于N 2点点的对称性 的对称性 1 圆周共轭对称和圆周共轭反对称 圆周共轭对称和圆周共轭反对称 2 3 2 1 ep nNxnxnx 2 1 op nNxnxnx 圆周共轭对称分量圆周共轭对称分量 圆周共轭反对称分量圆周共轭反对称分量 10 opep Nnnxnxnx Im R e kXjkXkX 10 Im Re Nnnxjnxnx opep kXkXkX epep nNxnx opop nNxnx 38 11 00 NN nk NNN nn nk N WDFT xnxn WRkRkx n 1 0 N N k NN n N n N knXkWRRxk NN NkRXkXNk 利用 利用 复共扼序列复共扼序列的的DFT 推导过程和思路推导过程和思路 kNXnxD F T 0 XNX 且且 同理可证同理可证 kXnNxD F T 39 1 1 和和 的对称性的对称性 kX ep kX op 2 1 nNxnxnxep 2 1 nNxnxnxop 定义定义 圆周共轭对称分量圆周共轭对称分量 圆周共轭反对称分量圆周共轭反对称分量 两者满足两者满足 nNxnx epep nNxnx opop 40 01 epop x nxnxnnN 1 2 ep DFT xnDFTx nxNn 2 1 2 1 nNxDFTnxDFT 1 Re 2 ep xX kXkDFTkXn 1 Im 2 op xX kXDFTnXkkj 41 设复序列设复序列 x n 的实部的实部Re x n 和虚部和虚部jIm x n 的的DFT分别为分别为 2 1 nxnxnx r 2 1 nxnxnjx i njxnxnx ir 2 序序列的实部和虚部的列的实部和虚部的DFT 式中 式中 42 1 2 rep DFT x nX kXNXkk 1 2 opi DFT jx nX kXNXkk X k 的共轭对称分量的共轭对称分量 epop X kXkXk X k 的共轭反对称分量的共轭反对称分量 43 opop XkXNk epep XkXNk X k 的共轭对称分量或共轭偶部的共轭对称分量或共轭偶部 即将即将 认为是分布在认为是分布在N等分圆周上 则以等分圆周上 则以k 0为原点为原点 其其左半圆上与右半圆上的序列是共扼对称左半圆上与右半圆上的序列是共扼对称的 的 可以证明可以证明 kX ep kX op 2 1 kNXkXkX ep X k 的共轭反对称分量或共轭奇部的共轭反对称分量或共轭奇部 即将即将 认为是分布在认为是分布在N等分圆周上 则以等分圆周上 则以k 0为原点为原点 其其左半圆上与右半圆上的序列是共扼反对称左半圆上与右半圆上的序列是共扼反对称的 的 44 X K 是实数情况是实数情况 45 设设x n 是一个长度为是一个长度为N的实序列 即的实序列 即x n xr n 则 则 X k 只只 有有共轭对称分量共轭对称分量 即 即 X k Xep k 3 实序列和纯虚序列的实序列和纯虚序列的DFT kNXkX 设设x n 是一个长度为是一个长度为N的纯虚序列 即的纯虚序列 即 x n jxi n 则 则 X k 只有只有共轭反对称分量共轭反对称分量 即 即 X k Xop k kNXkX 结论 结论 这两种情况 只要知道一半数目的这两种情况 只要知道一半数目的X k 就可以了 就可以了 另一半可利用对称性求得 另一半可利用对称性求得 46 47 四 四 MATLAB实现实现 例例3 4 x n 是一是一4点序列 点序列 1 计算离散时间傅立叶变换 计算离散时间傅立叶变换 DTFT 并且画出它 并且画出它 的的幅度和相位 幅度和相位 2 计算 计算 x n 的的4点点DFT 其它其它 0 30 1 n nx 48 例例3 5 在上题的基础上 如何得到其它的样本 在上题的基础上 如何得到其它的样本 解 解 补零运算补零运算 得得到较密的频谱 到较密的频谱 8点序列的点序列的DFT的的频率分辨率频率分辨率为为 0 0 0 0 1 1 1 1 nx nk n WnxkX 8 7 0 8 4 8 2 2 N 7 1 0 k 49 结论 结论 1 补零是给原始序列填零的运算 这导致较长的 补零是给原始序列填零的运算 这导致较长的 DFT 它使得采样点更密 但频谱包络不变它使得采样点更密 但频谱包络不变 在在 MATLAB中中 用 用zeros函数实现补零运算函数实现补零运算 2 补零补零运算给我们提供了一个较密的频谱和较好的运算给我们提供了一个较密的频谱和较好的 图图示形式 但因为在信号中只是附加了零 而没示形式 但因为在信号中只是附加了零 而没有有 增增加任加任何新何新的信息 因的信息 因此此不不能提供高分辨率的频谱能提供高分辨率的频谱 3 为得到高分辨率的频谱 人们得从实验或观察为得到高分辨率的频谱 人们得从实验或观察中取中取 得得更多的数据 更多的数据 50 DFT FFT 在数字滤波 功率谱分析 仿真 系统分析 在数字滤波 功率谱分析 仿真 系统分析 通信理论方面有广泛的应用 通信理论方面有广泛的应用 归结起来归结起来 有两个大方面有两个大方面 一一是计算线性卷积 线性相关 是计算线性卷积 线性相关 二二是用是用DFT FFT 作为连续傅里叶变换的近似作为连续傅里叶变换的近似 FFT并不是什么新的变换并不是什么新的变换 只是只是DFT在计算机上在计算机上 的一种高的一种高 速算法 虽实际中广泛使用的是速算法 虽实际中广泛使用的是FFT 但其应用的理论基但其应用的理论基 础仍是础仍是DFT 1 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积 2 用用DFT进行频谱分析进行频谱分析 DFT的应用的应用 66 3 x 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积 1 引入引入 实际问题实际问题 即信号通过线性时不变系统即信号通过线性时不变系统h n 后的响应后的响应y n 是是线性卷线性卷 积积运算 运算 若做卷积的两序列都是有限长序列 能否用它们的若做卷积的两序列都是有限长序列 能否用它们的圆周圆周 卷积卷积结果代替它们的线性卷积结果呢结果代替它们的线性卷积结果呢 圆周卷积与线性卷积的关系是什么圆周卷积与线性卷积的关系是什么 线线 性性 时不变系统时不变系统 h n y n x n h n x n 67 2 用圆周卷积计算线性卷积的条件用圆周卷积计算线性卷积的条件 设有限长序列设有限长序列x1 n 0 n N1 1 x2 n 0 n N2 1 1 线性卷积线性卷积 长度 长度 2 圆周卷积 圆周卷积 把把x1 n x2 n 补零点至补零点至L 点点 L max N1 N2 即 即 1 0 2121 1 N mm l mnxmxmnxmxny 1 21 NNN 10 10 1 11 1 LnN Nnnx nx 10 10 2 22 2 LnN Nnnx nx 68 L点圆周卷积点圆周卷积yc n 是线性卷积是线性卷积yl n 以以L为周期为周期的的 周周期延期延拓序拓序列的主值序列 列的主值序列 1 0 21 nRmnxmxny L L m Lc 222 L r x nxxnnrL 1 12 0 L cL mr nrLmy nx mxR n 1 0 21 nRmrLnxmx L r L m nRrLny L r l 69 N1 N2 1 8 n 12 3405 678 9 10 1 1 2 3 4 nRrLnyny L r lc 结论 结论 当当L N1 N2 1时 时 圆周卷积可以代替线性卷积圆周卷积可以代替线性卷积 70 x1 n n 1N1 4 12 30 x2 n n 1 12 340 N2 5 y1 n N1 N2 1 8 n12 3405 678 9 10 1 1 2 3 4 L 6 n 1 2 3 4 0 n 1 2 3 4 L 10 n 1 2 3 4 123 45 0 123 4567 0 123 456789 x1 n x2 n x1 n x2 n x1 n x2 n L 8 d e f a b c 图图3 16 有限长序列的线性卷积与圆周卷积有限长序列的线性卷积与圆周卷积 71 N1 N2 1 8 n 12 3405 678 9 10 1 1 2 3 4 nRrLnyny L r lc n 12 3405 6 1 2 3 4 6 78 n n 12 3405 6 1 2 3 4 7 60 L 6 N1 N2 1 L 8 N1 N2 1 72 3 x用用圆周卷积计算线性卷积的方法圆周卷积计算线性卷积的方法 取取L N1 N2 1 圆周卷积代替线性卷积的框图为 圆周卷积代替线性卷积的框图为 图中图中DFT与与IDFT子程序可以共用 而且通常用快速算子程序可以共用 而且通常用快速算 法 法 FFT 来实现 故圆周卷积也称为 来实现 故圆周卷积也称为快速卷积快速卷积 y n L点点DFT 补补L N1个零个零 L点点DFT L点点IDFT x1 n 补补L N2个零个零 x2 n 73 3 y 用用DFT进行频谱分析进行频谱分析 DFT的最初引入就是为了使数字计算机能够帮助分析连的最初引入就是为了使数字计算机能够帮助分析连 续时间信号的频谱 续时间信号的频谱 DFT的快速算法的快速算法 快速傅里叶变换 快速傅里叶变换 FFT 的出现使 的出现使 得得DFT这这种分析方法具有实用价值和重要性 种分析方法具有实用价值和重要性 图图3 18 时域连续信号时域连续信号DFT分析的基本步骤分析的基本步骤 LPF x n xa t X k DFT A D x a t 时域采样 频域采样 74 1 分析分析 设设 对连续非周期信号进行时域抽样 抽样间隔为对连续非周期信号进行时域抽样 抽样间隔为T 时域时域 对对 其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样其连续非周期性的频谱函数进行频域抽样 频域抽样间隔为频域抽样间隔为 F 频域频域 时域抽样 频域必然周期延拓时域抽样 频域必然周期延拓 且延拓周期为时域抽样的频 且延拓周期为时域抽样的频 率值率值 即即频域周期频域周期 fs 1 T 频域抽样 对应频域抽样 对应时域时域按频域抽样间隔的倒数按频域抽样间隔的倒数周期延拓周期延拓 即即 Tp 1 F 对无限长的信号 计算机是不能处理的对无限长的信号 计算机是不能处理的 必须对必须对时域与频域时域与频域 做截断做截断 若时域取若时域取N点点 则频域至少也要取则频域至少也要取N点 点 参见频域抽参见频域抽 样不失真条件样不失真条件 我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示我们把以上的推演过程用严密的数学公式来表示 75 1 时域的抽样与截断时域的抽样与截断 nTtaa txnTxnx 时域抽样 时域抽样 X jf 仍是仍是f的连续周期函数的连续周期函数 dtetxjfX ftj aa 2 dfejfXtx ftj aa 2 连续非周期信号的傅连续非周期信号的傅 里叶变换对里叶变换对 2 步骤步骤 c f T 2 1 TdtTdtnTt 1 0 2 N n fnTj a enTxTjfX 时域的截断 时域的截断 作零阶近似作零阶近似 t 0 Tp 包含有包含有N个抽样个抽样 76 2 2 频域的抽样与截断频域的抽样与截断 1 0 2 N n nk N j akFf enTxTjfXjkFX p s TNTN f F 11 对X jf 在 在 0 fs 上等间隔采样 上等间隔采样N点 采样间隔为点 采样间隔为F sp p fT T T N 1 0 2 nxDFTTenxTkX N n nk N j a 时域持续时间时域持续时间 或记录长度或记录长度 10 Nk 1 0 2 N n fnTj a enTxTjfX 77 1 0 1 0 22 1 N k N k nk N jnk N j aa ekX N FNekXFnTxnx 1 kXIDFT T a dfejfXtx ftj aa 2 同理 由同理 由 可以推出 可以推出 连续非周期信号的频谱可以通过对连续信号采样连续非周期信号的频谱可以通过对连续信号采样 后进行后进行DFTDFT并乘以系数并乘以系数 的方法来近似得到 而对该的方法来近似得到 而对该 DFTDFT值做反变换并除以系数值做反变换并除以系数 就得到时域采样信号 就得到时域采样信号 结论结论 78 推导过程 推导过程 dtetxjfX ftj aa 2 nTt n fnTj a enTxTjfX 2 T 截断N点 1 0 2 N n fnTj a enTxTjfX 频域离散 kFf 1 0 2 N n nk N j a enTxTjkFX DFT 1 0 2 a nxTenxTkX N n nk N j 令令 a kXjkFX p s 11 TNTN f F 频率分频率分 辨率辨率 时域抽样时域抽样 10 Nk 截断N点 79 图图3 22 用用DFT方法分析连续信号频谱的原理示意图方法分析连续信号频谱的原理示意图 80 二 用二 用DFT进行谱分析的误差问题进行谱分析的误差问题 1 混叠效应混叠效应 利用利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换 为避免逼近连续时间信号的傅里叶变换 为避免混叠混叠 失真失真 按照抽样定理的要求 采样频率至少是信号最高频率按照抽样定理的要求 采样频率至少是信号最高频率 的两倍 的两倍 解决混叠问题的唯一方法是解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高保证采样频率足够高 用用DFT逼近连续非周期信号的傅里叶变换过程中除了逼近连续非周期信号的傅里叶变换过程中除了 对幅度的线性加权外对幅度的线性加权外 由于用到了抽样与截断的方法由于用到了抽样与截断的方法 因此因此 也会带来一些可能产生的问题 使谱分析产生误差 也会带来一些可能产生的问题 使谱分析产生误差 如如 混叠效应混叠效应 截断效应截断效应 栅栏效应栅栏效应等等 81 频谱分析宽度与频率分辨率频谱分析宽度与频率分辨率 抽样间隔抽样间隔F 频率分频率分辨率 辨率 是记录长度的倒数 即是记录长度的倒数 即 若抽样点数为若抽样点数为N 则频率分辨率 则频率分辨率F与与fs的关系为的关系为 在在N给定给定时 为避免混叠失真而一味提高抽样频率 必时 为避免混叠失真而一味提高抽样频率 必 然导致然导致F增加 即频率分辨力下降 增加 即频率分辨力下降 反之 若要提高频率分辨力即减小反之 若要提高频率分辨力即减小F 则导致减小 则导致减小fs 最终必须减小能分析的信号带宽 最终必须减小能分析的信号带宽 在在fc 与与F参数中 保持其中一个不变而使另一个性能得参数中 保持其中一个不变而使另一个性能得 以提高的以提高的唯一办法 就是增加记录长度内的点数唯一办法 就是增加记录长度内的点数N N f N f F cs 2 p 1 TF 82 例例3 9对实信号进行谱分析 要求谱分辨率对实信号进行谱分析 要求谱分辨率F 10Hz 信 信 号最高频率号最高频率fc 2 5 kHz 试确定最小记录时间试确定最小记录时间Tpmin 最大的最大的 采样间隔采样间隔Tmax 最少的采样点数 最少的采样点数Nmin 如果如果fc不变 不变 要求要求谱谱 分辨率增加一倍分辨率增加一倍 最少的采样点数和记录时间是多少 最少的采样点数和记录时间是多少 解 解 因此因此Tpmin 0 1 s 因为要求因为要求fs 2fc 所以所以 3 max min 11 0 2 10 222500 222500 500 10 c c Ts f f N F s1 0 10 11 p F T 83 2 截断效应 截断效应 频谱泄露频谱泄露 在实际中 要把观测的信号在实际中 要把观测的信号x n 限制在一定的时间间隔限制在一定的时间间隔 之内 即采取之内 即采取截断数据截断数据的过程 的过程 时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号时域的截断在数学上的意义为原连续时间信号乘上一个乘上一个 窗函数窗函数 通常 简单的截取信号就相当于乘的是矩形窗 通常 简单的截取信号就相当于乘的是矩形窗 根据傅里叶变换的卷积定理 根据傅里叶变换的卷积定理 信号加窗后的频谱相当于信号加窗后的频谱相当于 原信号频谱与窗函数的频谱在频域作卷积 原信号频谱与窗函数的频谱在频域作卷积 显然 这种卷积显然 这种卷积 过程将造成信号频谱的失真 过程将造成信号频谱的失真 如果信号所乘的是矩形窗函数 失真频谱将产生如果信号所乘的是矩形窗函数 失真频谱将产生 拖拖 尾尾 频谱延伸扩展 现象 频谱延伸扩展 现象 原有受限的频谱图形原有受限的频谱图形 扩扩 展展 开来 这就称之为频谱泄漏 开来 这就称之为频谱泄漏 84 分析分析 设设原信号原信号为为x n 截断后的序列截断后的序列 其中其中 截断截断RN n j eX j N eR j eY y n x n RN n 2 1 j N jj eReXnyFTeY 2 1 2sin 2sin j N N j N j N eR N enRFTeR 85 为方便起见 定义主瓣的宽度为 为方便起见 定义主瓣的宽度为 N R 13 dB 主瓣主瓣 旁瓣旁瓣 RN 0 BW 2 N N BW 4 2sin 2sin N R N 86 例例3 10 x n cos 0n 比较截断前后的频谱 比较截断前后的频谱 解 解 截断前序列的频谱为截断前序列的频谱为 截断后序列的频谱为截断后序列的频谱为 m j mmeX 2 4 2 4 2 1 j N jj eReXeY 1 1 频谱泄漏频谱泄漏 截断后 使原来的离散谱 截断后 使原来的离散谱 线向附近展宽 线向附近展宽 2 2 谱间干扰谱间干扰 主谱线两端形成的许多旁 主谱线两端形成的许多旁 瓣 引起不同频率分量间的干扰 瓣 引起不同频率分量间的干扰 4 0 87 加窗对序列频谱的影响加窗对序列频谱的影响 谐波分量在频率轴上越靠近越不易分辨谐波分量在频率轴上越靠近越不易分辨 可分辨的相距最近的谐波分量可分辨的相距最近的谐波分量 DTFT的频率分辨率的频率分辨率 1 2 1 2 min m in 88 结论 结论 泄露使频谱变模糊 使谱分辨率降低泄露使频谱变模糊 使谱分辨率降低 泄露现象是由截断造成的 但是靠泄露现象是由截断造成的 但是靠增加增加N并不能减少并不能减少 泄露泄露 改善泄露的办法是采用其他形式的窗函数改善泄露的办法是采用其他形式的窗函数 如汉明 如汉明 窗 汉宁窗等 窗 汉宁窗等 89 3 栅栏效应栅栏效应 序列序列x n 的频谱是连续的 而的频谱是连续的 而DFT是这个连续谱的均匀是这个连续谱的均匀 抽样 抽样 如果用如果用X k 去近似 就一定意义上来讲 去近似 就一定意义上来讲 好象是在栅栏好象是在栅栏 的一边通过栅栏的缝隙 对应离散点 去观看另一边的景象的一边通过栅栏的缝隙 对应离散点 去观看另一边的景象 对应连续频谱 只能在离散点的地方看到真实的景象 对应连续频谱 只能在离散点的地方看到真实的景象 因此 那些被栅栏挡住的 频谱 部分是看不到的 这因此 那些被栅栏挡住的 频谱 部分是看不到的 这 就有可能就有可能漏掉一些较大频率分量漏掉一些较大频率分量 我们称这种现象为 我们称这种现象为 栅栏栅栏 效应效应 k X k 0 90 减小栅栏效应方法 减小栅栏效应方法 末尾补零 即改变末尾补零 即改变N的值 的值 补零的目的 补零的目的 1 使数据 使数据N为为2的整数次幂的整数次幂 以便于用快速傅里叶变换 以便于用快速傅里叶变换 算法 算法 FFT 2 补零可以补零可以对补零前的对补零前的DFT频谱做插值频谱做插值 从而克服栅 从而克服栅 栏效应 使频谱的外观更加光滑 栏效应 使频谱的外观更加光滑 说明 说明 如由如由DTFT所得的连续谱存在严重混叠所得的连续谱存在严重混叠 从而造成频谱模 从而造成频谱模 糊 对这种模糊不清的连续谱进行抽样糊 对这种模糊不清的连续谱进行抽样 计算序列的计算序列的DFT 得 得 到的结果是不可能准确的到的结果是不可能准确的 即便增加 即便增加DFT的点数的点数N 也只是使抽 也只是使抽 样的频谱线变密 看到更多模糊值而已 样的频谱线变密 看到更多模糊值而已 并不能从根本上提高谱并不能从根本上提高谱 值的准确度 值的准确度 91 三 用三 用DFT进行谱分析的参数考虑进行谱分析的参数考虑 DTFT的频率分辨率的频率分辨率 物理分辨率物理分辨率 根据离散序列求其连续谱时 两个谐波分量之间最小根据离散序列求其连续谱时 两个谐波分量之间最小 可分辨的频率间隔可分辨的频率间隔 DFT的频率分辨率的频率分辨率 计算分辨率计算分辨率 DFT对对DTFT频谱的抽样间隔频谱的抽样间隔 补零提高了补零提高了计算分辨率计算分辨率 得到的是 得到的是高密度频谱高密度频谱 增加数据的记录长度 提高了增加数据的记录长度 提高了物理分辨率物理分辨率 得到的是 得到的是高高 分辨率谱分辨率谱 N f F s p T F 1 p s TNTN f F 11 频率分辨率 频率分辨率 92 DFT参数选择的一般原则参数选择的一般原则 确定信号的最高频率确定信号的最高频率 fc后 为防止混叠 采样频率后 为防止混叠 采样频率 根据实际需要