拉格朗日定理和函数的单调性.doc

第六章 习 题第一节 拉格朗日定理和函数的单调性1 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使：（1）（2）。2 证明：（1）方程（这里为常数）在区间0，1内不可能有两个不同的实根；（2）方程（为正整数、为实数）当为偶数时至多有两个实根；当为奇数时至多有三个实根。3 证明定理6.2推论2。4 证明 （1）若函数在上可导，且，则（2）若函数在上可导，且，则；（3）对任意实数都有5 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1），其中；（2），其中。6 确定下列函数的单调区间：（1）（2）（3）（4）7 应用函数的单调性证明下列不等式：（1）；（2）（3）。8 以记由三点组成的三角形面积，试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。9 设为上二阶可导函数，并存在一点使得。证明至少存在一点，使得。10. 设函数在内可导，且单调。证明在内连续。11设为多项式，为的重实根。证明必定是的重实根。10 证明：设为阶可导函数，若方程有个相异的实根，则方程至少有一个实根。13设，证明方程=0不存在正根。14证明：15证明：若函数，在区间上可导，且，则在内有第二节 柯西中值定理和不定式极限1试问函数在区间-1，1上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？2设函数在上可导，证明：存在，使得3设函数在点处具有连续的二阶导数，证明：4设，证明存在，使得5求下列不定式极限（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； 6设函数在点的某个邻域具有二阶导数，证明：对充分小的，存在，使得7求下列不定式极限：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8)8设在原点的某邻域内连续，且。证明：9证明定理6 .6中，情形时的洛必达法则。10. 证明：为有界函数。第三节 泰勒公式1 求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式（1）（2）（3）2 按例4的方法求下列极限：（1）（2）(3)3.求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：（1）（2）4估计下列近似公式的绝对误差：（1）（2）5计算：（1）数准确到； （2）准确到。第四节 函数的极值与最大（小）值1. 求下列函数的极值：（1）； （2）（3） （4）2. 设（1）证明：是极小值点；（2）说明的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。3. 证明：若函数在点处有，则为的极大（小）值点。4. 求下列函数在给定区间上的最大最小值： （1）（2）（3）.5. 设在区间I上连续，并且在I上仅有唯一的极值点, 证明：若是的极大（小）值点，则必是在I上的最大（小）值点。6. 把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？7. 有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？8. 设用某仪器进行测量时，读得次实验数据为问以怎样的数值表达所要测量的真值, 才能使它与这n个数之差的平方和为最小.9. 求一正数，使它与其倒数之和最小。10. 求下列函数的极值：（1）（2） ； （3）； 11. 设在处都取得极值，试求与；并问这时在与是取得极大值还是极小值？12. 在抛物线哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。13. 要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=akm的B城（见图6-11），轮船运费的单价是元/km，火车运费的单价是元/km()，试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省。第五节 函数的凸性与拐点1. 确定下列函数的凸性区间与拐点:(1) (2)(3) (4) (5) 2. 问和为何值时,点(1,3)为曲线 的拐点？3. 证明：（1）若 为凸函数，为非负实数，则为凸函数（2）若均匀凸函数，则为凸函数；（3）若 为区间上凸函数，为上凸增函数，则为上凸函数。4. 设为区间上严格凸函数。证明若为的极小值点，则为在上唯一的极小值点。5. 用凸函数概念证明如下不等式：（1）对任意实数，有；(2) 对任何非负实数，有 6. 证明：若均匀区间上凸函数，则也是上凸函数7. 证明：（1）为区间上凸函数的充要条件是对上任意三点，恒有（2）为严格凸函数的充要条件是8. 应用詹森不等式证明：（1） 设，有 （2）设，有其中第六节 函数图象的讨论 按函数作图步骤，作下列函数图象：（1） （2）（3） （4）（5） （6）；（7） （8）。*第七节 方程的近似解1 求的实根到三位有效数字。2 求方程的根的近似值。总 练 习 题1 证明：若在有限开区间（内可导，且则至少存在一点使2 证明：若则（1）（2）3.设函数在上连续，在内可导，且。证明存在使得4. 设上三阶可导，证明存在，使得5. 对应用拉格朗日中值定理，试证：对有6. 证明：7. 求下列极限：（1）（3）8.设阶连续导数，且内的泰勒公式为证明：。9. 设，试问为何值时，方程存在正实根。10. 证明：对任一多项式，一定存在分别严格单调。11. 讨论函数（1）在点是否可导？（2）是否存在的一个邻域，使在该邻域内单调？12.设函数使得 13. 设函数在上具有二阶导数，且在内取得最大值。试证14. 设在上可微，且证明：在上15.设满足其中为任一函数。证明：若16.