第9讲 位值原则.doc

第9讲 位值原则同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。就是说，每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一，叫做“十”，10个十叫做“百”，10个百叫做“千”，等等。写数时，从右端起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（见下图）。用阿拉伯数字和位值原则，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9100+210+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：其中a可以是19中的数码，但不能是0，b和c是09中的数码。下面，我们利用位值原则解决一些整数问题。个数之差必然能被9整除。例如，（97531-13579）必是9的倍数。例2有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。分析与解：由位值原则知道，把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面，等于这个两位数乘以10后再加1。设这个两位数为x。由题意得到（10x+1）-（100+x）=666，10x+1-100-x=666，10x-x=666-1+100， 9x=765，x=85。原来的两位数是85。例3 a，b，c是19中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？分析与解：用a，b，c组成的六个不同数字是这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别相加，得到所以，六个数的和是（a+b+c）的222倍。例4用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？解：由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）222，所以平均值是（2+8+7）2226=629。例5一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。（a+b）5-（10a+b）=6，5a+5b-10a-b=6，4b-5a=6。当b=4，a=2或b=9，a=6时，4b-5a=6成立，所以这个两位数是24或69。例6将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。分析与解：设原来的三位数的三个数字分别是a，b，c。若由上式知，所求三位数是99的倍数，可能值为198，297，396，495，594，693，792，891。经验证，只有495符合题意，即原来的三位数是495。 练习91.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数之和是970。求原来的两位数。2.有一个三位数，将数码1加在它的前面可以得到一个四位数，将数码3加在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数之差是2351，求原来的三位数。5.从19中取出三个数码，用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是3330。这六个三位数中最小的能是几？最大的能是几？