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第34卷第2期 2004年2月 数学的实践与认识 MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORY Vol134 No12 Feb 2004 电法勘探中的数学模型 胡建德 中央民族大学信息与计算科学系 北京 100081 摘要 文章介绍了地球物理勘探中大地电磁法 M T 在二维构造上的数学模型和正反演方法 也给出了可 控源音频大地电磁测深 CSAM T 的二维正演数学模型 关键词 大地电磁 CSAM T Backus2Gilbert线性反演 收稿日期 2003204228 电法勘探是综合地球物理勘探方法中的基本方法之一 1 电磁测深方法是用变频进行 测深的一个电法勘探分支 利用天然电磁场 由太阳辐射的变异 大气圈下层电荷的移动 雷雨放电等产生 做场源的称为大地电磁 测深 法 M T 1 2 使用人工电磁场做场源的称 为可控源频率测深法 电磁场以电磁波的形式向地下传播时 不同的频率对应着不同的电 磁波长和穿透深度 场强随深度的增加而衰减 电磁测深方法观测不同频率的电磁波在地 表的响应 即电磁场的水平分量 来推导或反演地球内部的岩石电性结构 以适应矿产普查 或构造研究的需要 本文给出了二维构造条件下M T响应的数学模型和正反演方法和以线 电流源为激发源时二维构造上电磁响应 CSAM T 的数学模型及正演算法 1 二维构造条件下的M T数学模型 取如图1所示的二维构造区域 设二维构造走向为X轴向 则电阻率 分布只沿Y和 Z两个方向上变化 在每一种岩层内部 电阻率是各向同性的 如果以e i t表示电磁场随时 间变化的关系 并考虑到大地电磁场主要是由电磁感应引起的 用实用单位制 则麦克斯韦 图1 二维构造示意图 方程可表达为 E i H 1 1 H E 1 2 H 0 1 3 E 0 1 4 式中E H分别表示电磁场强度 电导率 圆频率 磁 导率 由于电阻率沿走向X是稳定的 对于垂直入射的平 面电磁波 有 5E 5x 5H 5x 0 1 5 将 1 1 5 代入 1 11 11 2 的展开式中 可得如下两组相互 独立的偏振波 5Ez 5y 5Ey 5z i Hx 5Hx 5z Ey 5Hx 5y Ez 1 6 5Hz 5y 5Hy 5z Ex 5Ex 5z i Hy 5Ex 5y i Hz 1 7 1 1 6 和 1 1 7 式分别称为TM波和TE波方式 并可化为如下的霍姆赫兹方程 TE方式 5 2E x 5y 2 5 2E x 5z 2 i Ex 1 8 TM方式 5 5y 1 5Hx 5y 5 5z 1 5Hx 5z i Hx 1 9 适当地选取边界条件 则 1 1 8 和 1 1 9 式可表达为如下形式的泛函极值问题 即求 J V 8 a 5V 5y 2 a 5V 5z 2 bV 2 dydz cV 2 dV d s 1 10 最小 式中V表示Ex或Hy 在 8 上合理地作网格剖分 用有限元法可求出节点上的V值 进而计算断面上的大地电磁响应 2 4 2 M T资料的二维反演计算方法 为构造反演算法 引入如下响应函数 V 1 Ex 5Ex 5z U 1 Hx 5Hx 5z 2 1 则 1 8 和 1 9 分别变为 5V 5z V 2 1 Ex 5 2E x 5y 2 i 0 2 2 5U 5z U 2 1 Hx 5 5y 1 5Hx 5y i 0 2 3 设当 0时 V0和Ex 0满足方程 2 12 U0和Hx 0满足方程 2 13 令 0 V V0 V U U0 U 2 4 由于趋肤效应 场的垂直梯度一般较水平梯度大很多 因而将 2 12 21 3 中 项用 0对 应的 1 Ex 0 5 2E x 0 5y 2和 1 Hx 0 5 5y 1 0 5Hx 0 5y 近似代替 则两方程变为只对z微分的黎卡提方程 5V 5z V 2 i 1 Ex 0 5 2E x 0 5y 2 0 2 5 5U 5z U 2 i 1 Hx 0 5 5y 1 0 5Hx 0 5y 0 2 6 将 2 1 4 式代入上式并忽略 V U的二次项 则有 5 5z V 2V0 V i 0 2 7 5 5z U 2U0 U U 2 0 0 2 8 其解为 82数 学 的 实 践 与 认 识34卷 V z 1 E 2 x 0 z 0 i E 2 x 0 l l d l 2 9 U z 1 H 2 x 0 z 0 1 0 l 5Hx 0 l 5l 2 l d l 2 10 上式的积分限实际上是从地表z 0到某一深度即 8 的下边界Zmax 在此深度电磁场已近似 衰减为0 令z 0则 V 0 1 E 2 x 0 0 Zmax 0 i E 2 x 0 z z d z 2 11 U 0 1 H 2 x 0 0 Zmax 0 1 0 z 5Hx 0 z 5z 2 z d z 2 12 地球的导电性可以有105到106级次的变化 令m z ln z 则 m z z 0 z 令 G z i Ex 0 z Ex 0 0 2 0 z 2 13 H z 1 0 z Hx 0 0 5Hx 0 z 5z 2 0 z 2 14 则 2 111 21 12 对于每个测点y不同的观测频率fi有 Vi y 0 Zmax 0 Gi y z m y z d z 2 15 Ui y 0 Zmax 0 Hi y z m y z d z 2 16 这里得到了形式上与一维连续介质情况下相同的 Vi或 Ui与函数 m之间的线性泛函关 系 5 核函数G y z 或H y z 是Frechet导数 V U以及G H都是复数 若将 2 1 15 2 1 16 分别写为 V或 U的振幅方程和相位方程 并考虑到在任何测点y上第i个频率的 观测误差 Vi或 Ui已近似为深度的函数 则这些方程都可归类为如下形式的Fredholm 方 程 Vi Zmax 0 Gi z m z d z i 1 2 n 2 17 利用Backus2Gilbert反演法 5 7 可对 2 1 17 求 m z 的L2范数最小解 即求在满足 2 1 17 的约束条件下使 In Zmax 0 m 2 z d z 2 18 最小 按第一D irichlet准则知 m z g T z GGT 1 V 2 19 式中G由 2 1 17 中的Gi z 确定 g则由下式定义 g z G1 z G2 z Gn z T 2 20 对于每个测点 根据 m y z 修改 0 y z 最后求得新的二维模型 y z y z 0 y z 1 m y z 2 21 并以新的 y z 为初始模型进行迭代 直至 Vi的均方相对误差足够小为止 对理论数据 和实测资料的反演计算显示了良好的效果 8 9 922期胡建德 电法勘探中的数学模型 3 CSAM T二维正演数学模型 在图1所示的二维构造中 若用长导线在X轴向作激励源 并设其具有频率为 的谐 变电流 Ix I0e i t 3 1 则由麦克斯韦方程组可以导出满足电场Ex的微分方程及边界条件为 5 2E x 5y 2 5 2E x 5z 2 2E x i I0 y y0 z z0 3 2 5Ex 5nAOE CD 0 5Ex 5n 1Ex AB BC 0 5Ex 5n 2Ex ED 0 式中 2 2 i 1 0 k1 0r k0 0r cos 2 I0是电流源的电流强度幅值 是介电常数 k0 0r 和k1 0r 分别是零阶和一阶修正的贝 赛尔函数 是从线源到计算点的径向矢量r和边界外法线n之间的夹角 0是空气中的波 数 0 0 0 与上述边值问题等价的泛函极值问题是求 J Ex i I0Ex 0 0 8 5Ex 5y 2 5Ex 5z 2 2E2 xdydz AB B C 1E 2 xds ED 2E 2 xds 3 3 极小 使用有限元法 可求得线源二维问题的解 11 12 对不同模型的计算结果及分析 为资 料解释提供了依据 10 13 大地电磁测深法具有不需供电设备 使用的频率范围大 勘探深度大 等值范围小等优 点 多用于地壳结构和区域地质构造的研究 也用于油气 水资源及工程地质勘探等方面 可探源频率测深法具有分辨力较高 各向异性影响小 测量参数多便于综合分析 工效高等 优点 已广泛应用于找水 找油和矿产地质勘探 在复杂构造条件下建立电磁方法的数学模 型并作正反演研究有着重要的实际意义 参考文献 1 日丹诺夫M C著 潘玉玲 王守坦译 1 电法勘探 M 中国地质大学出版社 1990 178 185 2 陈乐寿 王光锷 1 大地电磁测深法 M 北京地质出版社 19901 3 W illiam L Rodi A Technique for i mproving the accuracy of finite element solutions for magnetotelluric data J Geophys J R A str Soc 1976 44 483 505 4 胡建德 蔡纲1 用三角形二次插值有限元法计算二维大地电磁测深曲线 J 石油地球物理勘探 1984 4 358 367 5 O ldenburg D W 王家映 1 在地球物理学中的线性反演理论 J 地球科学 1984 9 3 133 147 6 Sm ith J T Booker J R M agnetotelluric inversion for m ini mum structure J Geophysics 1988 53 1565 03数 学 的 实 践 与 认 识34卷 1576 7 傅淑芳 朱仁益 1 地球物理反演问题 M 地质出版社 1998 119 147 8 吴广耀 胡建德 1 大地电磁资料的二维连续模型自动反演 J 地球科学 1990 15 增刊 23 25 9 吴小平 吴广耀 胡建德 1 二维最平模型的大地电磁快速反演 J 地球科学 1994 19 6 821 830 10 石昆法 1 可控源音频大地电磁法理论与应用 M 科学出版社 19991 11 陈明生 严又生 1 二维水平电偶极变频测深阻抗视电阻率的有限元正演计算 J 地球物理学报 1987 30 2 201 208 12 胡建德 阎述 陈明生等 1 线电流源声频大地电磁测深的二维正演计算及响应特点 J 现代地质 1997 11 2 203 209 13 胡建德 管建和 向礼明等 1M T二维正演的混合剖分算法及其在线源CSAM T正演计算中的应用 J 现代地质 1996 10 1 129 135 MathematicalM odels in Electromagnetic Survey HU Jian2de Dept ofM athematics Chiina