数学建模：投资风险与收益.doc

数学建模大作业教师： * 题目： 投资的风险与组合 学生： tigerl 学号： * 2011年5月20日投资的组合与风险* tigerl【摘要】本文对投资的组合与风险收益问题进行了建模求解，给出了已确定收益和风险的情况下的项目投资求解结果。模型主要确定如何对各个项目进行资金分配，以获得最大的收益，且风险最小。本文首先对问题进行了详细的分析，而后采用比较成熟的线性规划方法对这个问题的各个变量关系进行整理，然后对问题进行了合理的简化，再对问题从不同的角度建立了3个不同的模型，然后用MATLAB进行了求解，得到了与经验一致的结果。问题（1）的最大收益为27%，此时风险为2.5%；问题（2）的最大收益为41%，此时风险为57%。【关键词】 线性规划 MATLAB 最大收益 最小风险1.问题重述市场上有n种资产（如股票、债券、）Si ( i=1,n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，并预测出购买Si的风险损失率为qi。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量购买Si要付交易费，费率为pi，并且当购买额不超过给定值 ui时，交易费按购买ui计算 （不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是r。, 且既无交易费又无风险。（r。=5%）（1）试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。（2）试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用所给数据进行计算。 2.基本假设（1） 假设财务人员的评估准确，数据符合市场实际；（2） 假设同期银行的存款无交易费无风险；（3） 假设所有的投资回收期都相同；（4） 假设总的风险以投资的项目中的风险最大的一个项目来量度。3.符号说明公司的总投资额；第i个投资项目；给第i个项目的总投资（投资占总资金的百分比）；第i个项目的最低购买额； 第i个项目的交易费率； 第i个项目的风险率； 第i个项目的收益率；投资总收益；投资总风险； 投资者看重的风险与收益的权重比，记为保守系数；一定保守系数的收益与风险加权的综合值。4.模型的分析建立这是一个多目标优化问题，目标有二，净收益最大和整体风险最小，一般来说，这两个目标是矛盾的，收益大，风险必然大，所以不可能给出这两个目标同时达到最优的所谓最优决策，我们追求的只能是，在一定的风险下收益最大的决策，或在一定收益下风险最小的决策，或收益和风险按一定比例组合最优的决策。这就是说应该给出的不是一个解，而是一组解，比如在一系列风险值下收益最大的决策，冒险者会从中选择高风险下收益最大的决策，保守者会从低风险下的决策中选择。4.0模型建立4.0.1 设对项目的总投资为，第i个项目的交易费为，第i项目的收益为，第i个项目的风险为，设将钱存入银行为项目,收益率为=5%，风险率为=0。第i个项目的投资交易费为：净收益为：风险为：4.0.2 设总的收益为，总的风险为 ，则有4.0.3 模型的简化（1）交易费的简化由于交易费中固定费用的存在, 使得模型中的目标函数或约束条件是非光滑的, 求解非常困难. 考虑到总资金M相当大, 而交易费中的又相当小, 故可假设对每个的投资都超过, 于是交易费可简化为线性函数（2）归一化处理在具体计算时可设设M=1, 这时将视作投资项目占总资金的比例，即 4.1模型A固定风险水平时收益最大化首先考虑在一定风险下利益的最大化，此时目标函数为投资总收益，设在承受最大风险为t的情况下,则模型如下4.2模型B固定收益时风险的最小化此模型考虑在一定收益下风险的最小化，由于风险量度不是线性函数，故需引入人工变量，令，即可使变成线性函数。设设定的最低收益为t,此时目标函数为投资总风险模型为4.3模型C综合考虑风险与收益 由于前两个模型都是限制其中一个目标，将多目标问题转化成单目标问题求解。这里着重考虑将两个目标给以不同的权系数，即可把多目标函数进行线性加权得到新目标函数，即转化成了线性目标函数。由此模型便可得到在该权系数下的综合值。设定收益的权系数为1，给风险一个权系数，令，则越大表明风险越小，收益越大。对保守者而言，希望风险尽量小；对冒险者而言，希望收益尽可能大。由于越大则占的权重系数越大，占的比重相对越小，表明投资者越看重风险，越大则投资者越偏于保守，故称为保守系数。同模型B一样引入人工变量，以此建立的模型如下：5.问题1的求解对于问题1，分别用三个不同的模型求解，结果如下5.1模型1固定风险水平时收益最大化套用模型A，设最大风险为t，令n=4，带入相应的数据，并用matlab求解（程序见附件模型1程序.txt），得到的结果如下：图1（1） 由图像可以看出，随着风险的增大，收益是逐渐增加的，直到风险达到最大值约2.5%时，收益达到27%，且不再增加。这是由具体的项目风险与收益的关系决定的。（2） 由图像可看出开始一段随风险增加，收益的增加迅速，然后随风险增加，收益的增加开始减缓，直至收益达到最大。（3） 具体的30组投资方案如下： 风险X0X1X2X3X4收益0.00010.98310.00400.00680.00190.00410.05250.00110.81450.04440.07480.02090.04520.07780.00210.64590.08480.14290.04000.08640.10310.00310.47730.12530.21090.05900.12750.12830.00410.30870.16570.27890.07810.16870.15360.00510.14010.20610.34690.09710.20980.17890.00610.00000.24650.41500.11610.22240.20080.00710.00000.28690.48300.13520.09500.20600.00810.00000.32730.55100.12170.00000.21110.00910.00000.36770.61900.01330.00000.21560.01010.00000.40810.59190.00000.00000.21900.01110.00000.44850.55150.00000.00000.22230.01210.00000.48890.51110.00000.00000.22560.01310.00000.52930.47070.00000.00000.22890.01410.00000.56970.43030.00000.00000.23220.01510.00000.61010.38990.00000.00000.23550.01610.00000.65050.34950.00000.00000.23880.01710.00000.69090.30910.00000.00000.24200.01810.00000.73130.26870.00000.00000.24530.01910.00000.77170.22830.00000.00000.24860.02010.00000.81210.18790.00000.00000.25190.02110.00000.85250.14750.00000.00000.25520.02210.00000.89290.10710.00000.00000.25850.02310.00000.93330.06670.00000.00000.26180.02410.00000.97370.02630.00000.00000.26510.02510.00001.00000.00000.00000.00000.26720.02610.00001.00000.00000.00000.00000.26720.02710.00001.00000.00000.00000.00000.26720.02810.00001.00000.00000.00000.00000.26720.02910.00001.00000.00000.00000.00000.2672表1由数据可以看出，当风险达到2.5%后，投资方案便只有一个，即全部把资金投向项目1，在这种情况下的总收益最大，约为27%。从这组数据还可以看出当风险比较小时，投资很分散，这与经济学中的投资越分散则风险越小是完全符合的。（4）为了方便对各种风险下的收益进行求解，对图像进行拟合，该图像分三段，拟合函数如下：5.2模型2保证一定收益下风险最小化套用模型B，设最低收益为p，令n=4，代入相应的数据，用matlab求解（程序见附件模型2程序.txt），结果如下图（具体投资方案见附表）：图2（1）由图可以看出随着期望收益的升高，风险也随之升高，这与实际情形相符合。且当期望收益超过26.7%时，通过matlab求解结果可看出，将得不到最优解。这说明最大收益约在27%，且此时的最小风险约为2.5%，收益将不能再上升。(2)可以看出此模型的解与模型1的解恰好存在对应的关系，即基本符合将模型1 的图形横纵轴互换，这证明此模型具有相当的稳定性。（3）为了方便对各种风险下的收益进行求解，对图像进行拟合，该图像分三段，拟合函数如下：5.3模型3综合考虑风险与收益套用模型C，设保守系数为，令n=4，带入相应的数据，并用matlab求解（程序见附件模型3程序.txt），得到的结果如下（具体投资方案见附表）：图3（1） 由图可以看出随着保守系数的增加，逐渐增大，表明风险越来越。当时，不会再增大，投资方案只剩下一种投资银行。（2） 为了方便对保守系数的综合值进行求解，对图像进行拟合，该图像分三段，拟合函数如下： 6问题2的求解6.1模型4固定风险水平时收益最大化套用模型A，设最大风险为t，令n=16，带入相应的数据，并用matlab求解（程序见附件模型4程序.txt），得到的结果如下（具体投资方案见附表）：图4（1）由图像可以看出，随着风险的增大，收益是逐渐增加的，直到风险达到最大值约57%时，收益便不再增加，最大值为41%。这是由具体的项目风险与收益的关系决定的。（2）为了方便对各种风险下的收益进行求解，对图像进行拟合，该图像分三段，拟合函数如下：6.2模型5保证一定收益下风险最小化套用模型B，设最低收益为p，令n=16，代入相应的数据，用matlab求解（程序见附件模型5程序.txt），结果如下图（具体投资方案见附表）：图5（1）由图可以看出随着期望收益的升高，风险也随之升高，这与实际情形相符合。且当期望收益超过41%时，将得不到最优解。说明最大收益在41%，且此时的最小风险约为57%，收益将不能再上升。(2)可以看出此模型的解与模型4的解恰好也存在对应的关系，即基本符合将模型4 的图形横纵轴互换，这证明此模型具有相当的稳定性。（3）为了方便对各种风险下的收益进行求解，对图像进行拟合，该图像分三段，拟合函数如下：6.3模型6综合考虑风险与收益套用模型C，设保守系数为，令n=16，带入相应的数据，并用matlab求解（程序见附件模型6程序.txt），得到的结果如下（具体投资方案见附表）：图6（3） 由图可以看出随着保守系数的增加，逐渐增大，表明风险越来越。当时，不会再增大，投资方案只剩下一种投资银行。（4） 为了方便对保守系数的综合值进行求解，对图像进行拟合，该图像分三段，拟合函数如下：7. 模型的优缺点及改进7.1模型的优点（1）本模型的主要优点是简洁，所采用的方法成熟，所得到的结果稳定，模型2可以看做是模型1的验证，模型5可以看做是模型4的验证,所求得的结果非常吻合。所以说模型的稳定性高，适应性强。（2）本文对该问题从3种不同的角度进行了建模，可以获得不同角度下的求解结果，3种结果可以验证模型的稳定性与正确性。（3）本模型将多目标问题经过适当的处理转化成单目标问题，约束条件经过合理的简化，最终简化成求解线性规划问题。（4）求解模型时利用数学工具MATLAB进行求解，画出了具体的图像，使结论清晰易于理解。（5）所得投资的具体方案数据放在Excel文件中（见附件），结果清晰，让人一目了然。而且对各个模型的图像都进行了一次或二次的拟合，只要投资者给定任一风险（或收益或保守系数），便可求出对应的最大收益（或最小风险或综合值），使用方便。7.2模型的缺点（1）本模型没有考虑到资金的时间价值，而这在实际中是投资者十分关心的一个因素，也是涉及投资风险收益的另一个重要因素。随回收时间的增加，风险会增加。但由于题目没有提供相应的数据，且由于时间有限，故此模型只是简化的。（2）本模型没有对其灵敏度进行详细的分析，因为我暂时不会。（3）本模型所考虑的影响因素主要是风险和收益，而实际中的投资问题考虑的因素远不止这些。故所得结论并不是全面的、精确的。7.3模型的改进资金在生产和流通过程中所增值的部分称为资金的时间价值，其基本形式是利润与利息。不同的项目有不同的收益周期，根据收益周期的不同，我们可以合理安排项目的投资时间，以充分利用资金的增值来达到收益最大，解这个问题