初中几何问题证明方法新探.doc

初中几何问题证明方法新探图形变换贵州省遵义县新舟镇中学 张显勇邮编：563127 联系电话：（0852）7341207初中学生进入八年级阶段，感觉几何越来越难学，特别是几何问题的证明更难，他们经常挂在嘴边的话就是“几何几何，叉叉角角，老师难教，学生难学”。其实要学好几何也并非难事，只要我们能够牢记课本上的定义、定理、性质、公式，然后再辅之以“会用图”，我相信同学们就会逐渐对几何问题的证明产生浓厚的兴趣，进而克服“几何难学”的心理障碍。关于课本上“定义、定理、性质、公式”等的牢记和熟练，笔者就不在这里拉杂了，本文仅从“会用图”这一方面作初步的探讨。所谓“会用图”，就是指我们在进行几何问题的解答、证明时，要会利用已知的图形（没有告诉图形的，要会根据题目的意思和给出的条件，自己画出图形），结合题目给出的条件，找出问题的“题眼”，然后进行分析、论证、解答。在解答过程中，一般的图形大家都基本认识，都知道怎样解答，然而，有些图形则需要进行一种特殊的几何处理图形变换。图形变换大致可以分为三类：平移变换、对称变换和旋转变换。一、平移变换所谓平移变换就是把一个图形上的各点，沿着同一方向移动相等的距离。其主要性质如下：（1）平移前后对应线段平行且相等；（2）平移中各点移动的距离相等；（3）平移前后的对应角相等。例1、在梯形ABCD中，ABDC，AD=BC，ACBD，垂足为O，且它的面积为a2（a0），求这个梯形的高h。（1-1）解：如图1-1，过B作BEAC交DC的延长线于点F，作BHDC于H，则BH=h，四边形ACEB为平行四边形。CE=AB，BE=AC，DBE=DOC=90，DABBCE，SDBE=S梯形ABCD=a，在等腰RtDBE（易证）中 DE=2hSDBE=2hh=a，即h=a,又h0，a0,h=a。（即梯形的高h的长为a）在本例中，解题的方法主要就是利用平移变换，AC平移到BE，把ACBD平移到BEBD，进一步转化为DBE=90，从而把已知条件集中到DBE 中，这样解答起来就比较方便了。一般地说，平移变换是处理梯形问题的常见方法之一。二、对称变换对称变换又分为中心对称变换和轴对称变换两种，总的来说，都具有一个共同的性质：变换前后的对应边、对应角相等。例2、如图，在梯形ABCD中，ADBC，且AD+BC=CD，M是AB的中点。求证：DM、CM分别是ADC和DCB的角平分线。证明：延长DM交CB 的延长线于点E（如图2-1），可证：MADMBE，EB=AD，EM=MD，ADM=BEM，又AD+BC=CD，CE=CD，CDM=BEM=ADM，DM 是ADC的角平分线；同理可证：CM是DCB的角平分线。（如图2-2）本题主要利用的是中心对称变换，作MAD（图2-1）和MBC（图2-2）关于点M 的对称图形MBE和MAF后，把已知条件集中在CDE和CDF中，从而利用等腰三角形等边对等角的性质进行代换即可。例3、已知：如图3-1，AM是ABC的中线，分别以线段AB和AC为边向ABC外作正方形ABEF、ACGH，连结FH。求证：FH=2AM。证明：延长AM 到D，使MD =AM，连结BD，易证DBMACM；BD=AC=AH，DBM=ACM，BDAC，在AHF和BDA中：AF=AB，AH=BD，FAH=360FABHCABAC=180BAC=ABD，AHFBDA （SAS），FH=AD=2AM。本题主要通过作AMC关于点M的对称图形DMB，从而把求证FH=2AM转化为证明FAHABD，这样，通过中心对称变换问题就可以迎刃而解。例4、已知：如图4-1，ABC中，AB=AC，D是BAC的外角平分线上一点。求证：AB+ACBE，故：AB+ACAC。求证：BDCD。3、 用旋转变换法解答：（1）已知F是正方形ABCD的边BC上的一点，E是边AB延长线上的一点，且BF=BE，CE与