高中数学 探究导学课型 第一章 三角函数 1.1.1 任意角课件 新人教版必修4.ppt

第一章三角函数1 1任意角和弧度制1 1 1任意角 自主预习 主题1 任意角的概念1 当钟表慢了 或快了 一点时 我们会将分针按某个方向转动 把时间调整准确 在调整的过程中 分针转动的方向是否相同 提示 不同 当钟表慢了 要顺时针转动分针 当钟表快了 要逆时针转动分针 2 在跳水比赛中 运动员会做出 转体两周 向前翻转两周半 等动作 做上述动作时 运动员转体多少度 转过的度数还能用0 到360 的角表示吗 提示 因为运动员转体方向有顺时针 逆时针的不同 因此运动员 转体两周 的度数可以是顺时针旋转720 或逆时针旋转720 向前翻转两周半 可以是顺时针旋转900 或逆时针旋转900 显然这些角都不在0 360 不能用0 到360 的角表示 结合以上探究 总结你对角的新认识 用文字语言描述 角是射线绕着端点旋转形成的 其旋转方式有三 一是 二是 三是 顺时针旋转 逆时针旋转 不旋转 用图形语言描述 任意角的概念 按逆时针方向旋转 按顺时针方向旋转 射线没有作任何旋转 主题2 象限角1 如果将45 225 角的始边与x轴非负半轴重合 顶点与原点重合 则45 角的终边oa 225 角的终边ob分别落在第几象限 提示 如图 45 角的终边落在第一象限 225 角的终边落在第三象限 2 将角45 225 推广到任意角 如何来判断一个角 是第几象限角 用文字语言描述 判断方法是将角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 角的终边落在第几象限 就说该角是第几象限角 象限角 1 前提 角的顶点 角的始边 2 结论 角的终边在第几象限 就说这个角是 坐标原点 x轴的非负半轴 第几象 限角 主题3 终边相同的角1 在同一坐标系中作出 32 328 392 的角 并观察这三个角终边之间的关系 角的大小有什么关系 提示 32 328 392 在同一坐标系内如图所示 由图可知三个角的终边相同 它们两两之间相差360 的整数倍 2 如何用328 表示角 32 和 392 用符号语言描述 32 360 328 392 2 360 328 终边相同的角的表示 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成 s k 360 k z 角 与整数个周角的和 深度思考 结合教材p4例1 你认为应如何判断任意一个角 所在的象限 第一步 将 写成 的形式 k 360 k z 0 360 第二步 判断 所在的象限 第三步 根据 所在的象限 确定 所在的象限 的终边 的终边 的终边 预习小测 1 把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240 所形成的角是 a 120 b 120 c 240 d 240 解析 选d 因为顺时针旋转形成的角是负角 故选d 2 下列各角中与330 角终边相同的角是 a 510 b 150 c 150 d 390 解析 选d 因为 390 2 360 330 3 90 是 a 第一象限角b 第二象限角c 第一或第二象限角d 不属于任何象限 解析 选d 因为90 角的终边落在y轴的非负半轴上 故90 角不属于任何象限 4 1120 角是第象限角 解析 因为 1120 360 4 320 而320 是第四象限角 故 1120 是第四象限角 答案 四 5 与60 角终边相同的角的集合为 解析 与60 角终边相同的角的集合为s k 360 60 k z 答案 k 360 60 k z 备选训练 从0 到360 中 找出与下列各角终边相同的角 并指出它们分别为第几象限角 仿照教材p4例1的解析过程 1 1154 2 2428 解析 1 因为 1154 4 360 286 所以在0 到360 与 1154 终边相同的角 286 所以 1154 是第四象限角 2 因为2428 6 360 268 所以在0 到360 与2428 终边相同的角 268 所以2428 为第三象限角 互动探究 1 将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60 所形成的角 与按顺时针方向旋转60 所形成的角是否相等 提示 不相等 度量一个角的大小 既要考虑旋转量 又要考虑旋转方向 故原题中两种旋转方法所形成的角不相等 2 是不是任意角都可以归结为象限角 为什么 提示 不是 一些特殊角的终边可能落在坐标轴上 因为角的终边落在坐标轴上 就认为这个角不属于任何象限 3 终边相同的角相等吗 相等的角终边一定相同吗 提示 终边相同的角不一定相等 终边相同的角有无数个 它们相差周角的整数倍 但相等的角的终边一定相同 探究总结 知识归纳 方法总结 1 象限角的两种判定方法 1 将角 写成 k 360 k z 0 360 的形式 判断 的终边所在象限 即知角 的终边所在象限 2 在坐标系中画出相应的角观察终边的位置 确定象限 2 求给定范围内终边相同角的方法先写出角 终边相同的角 即 k 360 k z 根据给定的范围建立关于k的不等式 解出k的范围 再根据k z确定 题型探究 类型一 任意角的概念 典例1 1 手表时针走过2小时 时针转过的角度为 a 60 b 60 c 30 d 30 2 2016 莆田高一检测 已知集合a 第一象限角 b 锐角 c 小于90 的角 则下面关系正确的是 a a b cb a cc a c bd b c c 解题指南 1 注意旋转方向及1小时转过的度数 2 弄清三种角的取值范围 再判断关系 解析 1 选b 因为是顺时针 所以转过的角度为负角 又一小时转了30 故时针走过2小时 时针转过的角度为 60 2 选d 第一象限角可表示为k 360 k 360 90 k z 锐角可表示为0 90 小于90 的角可表示为 90 由三者之间的关系可知 选d 规律总结 1 判断角的概念问题的关键与技巧 1 关键 正确理解有关角的概念 2 技巧 通过特值或反例进行判断 2 处理任意角问题的两个关键点 1 定方向 明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的 由逆时针方向旋转形成的角为正角 否则为负角 2 定大小 根据旋转角度的绝对量确定角的大小 巩固训练 1 有下列说法 相差360 整数倍的两个角 其终边不一定相同 是锐角 0 90 小于180 的角是钝角 直角或锐角 其中正确说法的序号是 解析 不正确 终边相同的两个角一定相差360 的整数倍 反之也成立 因为 是锐角 即0 90 故 0 90 0 90 故 正确 0 角小于180 但它既不是钝角 也不是直角或锐角 故 不正确 答案 2 分别求出图中从oa旋转到ob ob1 ob2时所成的角 解析 图 中 正角 720 30 750 图 中 负角 360 210 150 正角 210 150 60 类型二 象限角与终边相同的角的表示及应用 典例2 1 2016 泰安高一检测 若角 满足 45 k 180 k z 则角 的终边落在 a 第一或第三象限b 第一或第二象限c 第二或第四象限d 第三或第四象限 2 已知角的顶点与坐标原点重合 始边落在x轴的非负半轴上 作出下列各角 指出它们是第几象限角 并指出在 720 360 范围内与其终边相同的角 75 855 解题指南 1 利用特例法 对k分别取值 从而确定角 所在象限 2 画出图象 根据图象判断角所在象限 先写出与 75 855 终边相同的角的一般形式 再根据已知条件求满足条件的整数k即可 解析 1 选a 当k 0时 45 此时 为第一象限角 当k 1时 225 此时 为第三象限角 故选a 2 作出各角的终边如图所示 由图可知 75 是第四象限角 855 是第二象限角 与角 75 终边相同的角为 75 k 360 k z 因为 720 360 所以 720 75 k 360 360 即 1 k 1 故k 1 0 1 当k 1时 75 360 1 435 当k 0时 75 当k 1时 75 360 1 285 与855 终边相同的角为 855 k 360 k z 因为 720 360 所以 720 855 k 360 360 即 4 k 1 故k 4 3 2 当k 4时 585 当k 3时 225 当k 2时 135 规律总结 轴线角的表示方法 1 轴线角的集合 终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为 x x k 360 k z 终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为 x x k 360 180 k z 终边落在x轴上的角的集合为 x x k 180 k z 终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为 x x k 360 90 k z 终边落在y轴的非正半轴上的角的集合为 x x k 360 90 k z 终边落在y轴上的角的集合为 x x k 180 90 k z 拓展延伸 1 用等分象限法求角所在的象限的方法求 n为正整数 所在的象限 可将各个象限n等分 从第一象限离x轴最近的区域开始按逆时针方向依次重复标注数字1 2 3 4 直到将所有区域标完为止 如果 是第几象限角 则就在图中标号为几的区域内 如图 1 将各象限2等分 若 在第三象限 则就在标号为3的区域内 即二 四象限的前半区域 如图 2 将各象限3等分 若 在第三象限 则就在标号为3的区域内 即一 三 四象限 依次类推 2 终边对称的角的表示方法因为角的终边是一条射线 所以在平面直角坐标系中 如果两个角具有对称性 那么这两个角就有一定的关系 一般地 若 与 的终边关于x轴对称 则 k 360 k z 若 与 的终边关于y轴对称 则 2k 1 180 k z 若 与 的终边关于原点对称 则 2k 1 180 k z 巩固训练 1 下列各选项中正确的是 a 第一象限角都是锐角b 三角形的内角必是第一 二象限的角c 不相等的角终边一定不相同d k 360 90 k z k 180 90 k z 解析 选d 利用排除法求解 380 角就是第一象限角 但不是锐角 排除a 三角形的内角可能有90 角 但是它的终边在坐标轴上 不是第一 二象限的角 排除b 780 角和60 角的终边相同 但是不相等 排除c d中的两个集合都是终边落在y轴上的角的集合 它们相等 所以选d 2 若 是第二象限角 则是 a 第一象限的角b 第二象限的角c 第四象限的角d 第一象限或第二象限或第四象限角 解析 选d 因为 是第二象限角 所以k 360 90 k 360 180 k z 则k 120 30 k 120 60 k z 取k 0 得在第一象限 取k 1 得在第二象限 取k 2 得在第四象限 故选d 误区警示 本题易错选a 错误的原因是由 是第二象限角 故取 150 则 50 为第一象限角 3 在 1080 360 范围内 找出与2004 终边相同的角 解析 先用含k的式子写出与2004 终边相同的角 再解关于k的不等式 最后求出相应的角 与2004 终边相同的角为k 360 2004 k z 由 1080 k 360 2004 360 k z 得k 7或k 8 故所求的角为 516 和 876 类型三 已知角的终边的范围求角的集合 典例3 写出终边落在图中阴影部分 包括边界 的角的集合 解题指南 先写出终边为oa ob的角 然后结合图形将所求范围内的角写出 解析 若角 的终边落在oa上 则 30 360 k k z 若角 的终边落在ob上 则 135 360 k k z 所以 角 的终边在图中阴影区域内时 30 360 k 135 360 k k z 故角 的取值集合为 30 360 k 135 360 k k z 延伸探究 1 若本例条件不变 试判断角 1310 的终边是否落在阴影区域内 解析 由 1310 4 360 130 所以角 1310 与角130 的终边相同 又30 130 135 所以角 1310 的终边落在阴影区域内 2 若将本例中阴影部分改为如图所示 则角的集合如何 解析 因为阴影部分含x轴非负半轴 故终边为oa的角 30 k 360 k z 终边为ob的角 135 k 360 k z 所以终边落在阴影部分的角的集合为 30 k 360 135 k 360 k z 规律总结 1 由角的终边的范围求角的集合的三个步骤 1 先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界 2 由小到大分别标出起始 终止边界对应的一个角 当角的范围不含x的非负半轴时 一般在0 360 内找一个 当角的范围含x的非负半轴时 一般在 180 180 内找一个 写出所有与 终边相同的角 3 用不等式表示区域内的角 组成集合 2 各象限角的表示第一象限 s k 360 90 k 360 k z 第二象限