第4章 不定积分 习题 4- (2).pdf

1 第二节 不定积分的换元积分法 习题 4 2 1 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数 使等式成立 例 如 1 dd 38 3 xx 1 d d 67 xx 2 d d 6 x x x 3 2 11 d d x xx 4 3 2 d d 5 x xx 5 2 d d 34 x xx 6 23 d d 7 xxx 7 34 d d 56 xxx 8 sin2 d d cos2 x xx 9 77 cosd d 5sin 33 x xx 10 2 cscd d cot x xx 11 d d 5ln x x x 12 66 e d d e6 xx x 13 55 ed d 2e xx x 14 2 d d 2arcsin 1 x x x 15 2 2 d d 1 1 x xx x 16 2 2 2 d d 1 1 x xx x 17 2 d d arctan2 14 x x x 18 2 d d arccos23 14 x x x 19 2 csc 9 d d cot9 x xx 20 2 sec 3 d d tan3 x xx 解 1 1 dd 67 6 xx 2 d 2d 6 x x x 3 2 11 d1d x xx 4 3 2 2 dd 5 3 x xx 5 2 1 dd 34 6 x xx 6 23 1 dd 7 3 xxx 2 7 34 1 dd 56 20 xxx 8 1 sin2 dd cos2 2 x xx 9 737 cosdd 5sin 373 x xx 10 2 cscd1d cot x xx 11 d 1d 5ln x x x 12 66 1 e dd e6 6 xx x 13 55 ed5d 2e xx x 14 2 d 1d 2arcsin 1 x x x 15 2 2 d1d 1 1 x xx x 16 2 2 2 d2d 1 1 x xx x 17 2 d1 d arctan2 214 x x x 18 2 d1 d arccos23 2 14 x x x 19 2 1 csc 9 dd cot9 9 x xx 20 2 1 sec 3 dd tan3 3 x xx 2 求下列不定积分 1 74 dx x 2 3 1 d 23 x x 3 d 52 x x 4 1 3 ed x x 5 sh 51 dxx 6 1 ch 1 d 2 xx 7 2 1 d sin 8 x x 8 tan 35 dxx 9 2 d 23 x x x 10 2 d 1 x x x 11 2 3 2 d 4 x x x 12 2 33 d 1 x x x 13 2 2 ed x xx 14 e ed x x x 15 e sine d xx x 16 2 e1d e x x x 17 ln ln d ln x x xx 18 1ln d x x x 3 19 2 1 sin d x x x 20 2 11 1 sin dxx xx 21 2 2 1 sec d x x x 22 1 2 d x a x x 23 32 10d x x 24 2 2 arctan d 1 x x x 25 2 arcsin d 1 x x x 26 2 d cos1tan x xx 27 22 d arcsin 1 x xx 28 4 cosdx x 29 cos3 cos4 dxx x 30 2 d 1 23 x x 31 cossin d cossin xx x xx 32 2 22 d 29 x x xx 33 lntan d sin cos x x xx 34 2 2 d 1 x x x 35 2 d 925 x x 36 2 2 sec d 2tan x x x 37 d 1ln x xx 38 arctan d 1 x x xx 39 2 2 d 4 x x x 40 2 d 9 x xx 41 22 2 d 0 ax xa x 42 2 25dttt 43 2 d 49 x x 44 222 d 0 x a xax 45 2 2dx x x 46 2 21 d 94 x x x 47 2 d 22 x x xx 48 e1d e1 x x x 4 解 1 13 22 11 74 d 74 d 74 74 46 x xxxxC 2 12 33 3 111 d 23 d 23 23 3223 xxxxC x 3 d1d 52 1 ln 52 525525 xx xC xx 4 1 31 31 3 11 eded 13 e 33 xxx xxC 5 11 sh 51 dsh 51 d 51 ch 51 55 xxxxxC 6 1111 ch 1 d2 ch 1 d 1 2sh 1 2222 xxxxxC 7 22 2 111 dcsc 8 dcsc 8 d 8 cot8 88sin 8 xx xxxxC x 8 sin 35 11 tan 35 dddcos 35 cos 35 3cos 35 x xxxx xx 1 ln cos 35 3 xC 9 2 2 22 d1d 23 1 23 42 2323 x xx xC xx 10 22 22 111 dd 1 ln 1 2211 x xxxC xx 11 2 323 3 23 11 d 4 d 4 3 4 3 4 x xxxC xx 12 12 2 333 33 33 11 d 1 d 1 1 32 1 x xxxxC x 13 222 2 2 eded e xxx xxxC 14 eeee edee de dee xxxx xxx xxC 15 e sinesine decose xxxxx dxC 16 2 e1d ee de ded e x xxxx x xxxx eed xx x 5 ee xx C 17 ln ln ln ln ddlnln ln dln ln lnln xx xxxx xxx 2 1 lnln 2 xC 18 3 2 1ln2 d1ln d 1ln 1ln 3 x xxxxC x 19 2 1 sin 111 dsindcos x xC xxxx 20 2 11111 1 sin dsin d cos xxxxxC xxxxx 21 2 2 2 1 sec 111 dsecdtan x xC xxxx 22 11 1 2 1 dd ln xx x aa xaC xax 23 32 3232 110 10d10d 32 33ln10 x xx xxC 24 2 23 2 arctan 1 d arctan darctan arctan 31 x xxxxC x 25 3 2 2 arcsin2 darcsin darcsin arcsin 31 x xxxxC x 26 1 2 2 d 1tan d 1tan 2 1tan cos1tan x xxxC xx 27 2 22 ddarcsin1 arcsin arcsin arcsin 1 xx C xx xx 28 4222 1 cosd cos d 1cos2 d 4 x xxxxx 2 1 12cos2cos 2 d 4 xxx 11cos4 sin2d 42 x xxx 6 1111 sin2 sin4 4484 xxxxC 311 sin2sin4 8432 xxxC 29 1 cos3 cos4 d cos7cos d 2 xx xxxx 11 sincos7 d 7 27 xxx 11 sinsin7 214 xxC 30 22 d1d 23 1 arctan 23 221 23 1 23 xx xC xx 31 cossin1 dd cossin cossincossin xx xxx xxxx ln cossinxxC 32 22 22 221 dd 29 ln 29 2929 x xxxxxC xxxx 33 2 lntanlntan dd sin costancos xx xx xxxx lntan dtan tan x x x lntan dlntanxx 2 1 lntan 2 xC 注意 被积函数较复杂是积分时的困难之处 注意到 2 sin costan cosxxxx 且 2 1 tan cos x x 所以可凑成微分 2 1 ddtan cos xx x 34 22 222 1 11 dd 1 darctan 111 xx xxxxxC xxx 35 2 22 d1d115 d 55 9153925 1 1 33 xx x x xx 15 arctan 153 xC 36 2 22 2 sec121tan ddtand tan 22tan2tan2 1 2 xx xx x xx 2tan arctan 22 x C 7 37 dd 1ln ln 1ln 1ln 1ln xx xC xxx 38 arctanarctan d2d2 arctand arctan 1 1 xx xxxx xxx 2 arctan xC 39 令 2sin d2cos d 22 xtxxt t 2 2 d 4 x x x 2 4sin 2cos d2 1cos2 d 2cos t t ttt t 1 2 sin2 2 ttC 2sin costttC 2 2arcsin4 24 xx xC 注意 将原函数还原为x的函数时 碰到较复杂的形式如 1 sin2 2 t 就易出错 这时应 将2倍角的形式化为单角形式 利用直角三角形 40 令 3sin 22 xtt d3cos dxtt 2 d 9 x xx 11 3cos dcscd 3sin3cos3 t tt t tt 2 1csccsc cot d 3csccot ttt t tt 1d csccot 3csccot tt tt 1 ln csccot 3 ttC 2 139 ln 3 x C xx 8 2 1 ln 3 39 x C x 41 令 sin 22 xatt dcos dxat t 22 2 d ax x x 2 22 cos cos dcot d sin at at tt t at 2 csc1 dtt cotttC 22 arcsin axx C xa 42 13 2222 22 11 25d 25 d 25 25 23 ttttttC 43 令 3 tan 2 xt 2 3 dsecd 2 xt t 2 d 49 x x 2 131 secdsec d 3sec 22 t tt t t 2 1secsectan d 2sectan ttt t tt 111 d sectan ln sectan 2sectan2 tttt tt 2 2 1 14921 lnln492 2332 xx CxxC 44 令 2 tan dsecdxatxat t 222 dx xax 2 2222 sec1cos dd tansecsin att tt at atat 22 11 dsin sin t at 2 1 sin C at 22 2 ax C a x 45 令2sec 0 d2sec tan dxttxtt t 9 2 2dx x x 2 2 tan 2sec tan d2 tand 2sec t tt tt t t 2 2 sec1 dtt 2 tan ttC 2 22 2 arccos 2 x C x 2 2 22arccosxC x 46 令 22 sec 0 dsec tan d 33 xttxtt t 2 21 d 94 x x x 2 4 sec1 241 3 sec tan dsecdsec d 2tan393 t tt tt tt t t 2 41secsec tan tand 93sectan ttt tt tt 41d sectan tan 93sectan tt t tt 1 41 tanln sectan 93 tttC 2 2 1 21394 94ln 9322 xx xC 22 21 94ln 394 93 xxxC 47 令 2 1tan dsecdxtxt t 2 d 22 x x xx 2 2 tan1 dsecd sec 1 1 xt xt t t x tan sec dsec dtt tt t sec sectan secd sectan ttt tt tt 1 secd sectan sectan ttt tt secln sectantttC 10 22 1 1ln 1 11xxxC 22 22ln221xxxxxC 48 e1e1e1ee