2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换教学案新人教A版.docx

5.5.2简单的三角恒等变换(教师独具内容)课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及证明三角恒等式教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明教学难点：利用三角恒等变换来解决问题.【知识导学】知识点一半角公式知识点二积化和差与和差化积公式(1)积化和差公式sincossin()sin()cossinsin()sin()coscoscos()cos()sinsincos()cos()(2)和差化积公式sinsin2sincos.sinsin2cossin.coscos2coscos.coscos2sinsin.【新知拓展】辅助角公式辅助角公式：asinxbcosxsin(x).推导过程：asinxbcosx.令cos，sin，则asinxbcosx(sinxcoscosxsin)sin(x)，其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan确定或由sin和cos共同确定1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知cos，(0，)，则sin.()(2)cos2.()(3)函数f(x)sinxcosx(xR)的最小正周期为.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)若cos，(0，)，则cos的值为()A. B C D(2)已知cos，则sin等于()A B. C. D(3)函数f(x)sin2xsinxcosx在区间上的最大值是()A1 B. C. D1(4)若tan2，则tan_.答案(1)A(2)B(3)C(4)题型一 利用半角公式求值例1已知sin，求sin，cos，tan的值解，sin，cos，且，sin，cos，tan2.金版点睛由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论一般讨论角所在象限(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：先化简所求的式子观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)将已知条件代入所求式子，化简求值已知sincos，450540，求tan的值解由题意，得2，即1sin，得sin.450540，cos，tan2.题型二 三角函数式的化简例2化简：(2)解原式.又2，cos0，原式cos.变式探究将本例改为化简：(180360)解原式.180360，900，原式cos.金版点睛化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径如升幂、降幂、配方、开方等化简：(1)；(2).解(1)原式，2，0sin，1cos，从而sincos0.原式2sin.(2)原式cos2cos2tancossinsin2.题型三 三角恒等式的证明例3求证：tantan.证明证法一：tantan.原式成立证法二：tantan.原式成立金版点睛在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法.求证：1.证明证法一：左边11右边原等式成立证法二：右边1左边原式成立.题型四 利用辅助角公式研究函数性质例4已知函数f(x)sin2sin2(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合解(1)f(x)sin2sin2sin1cos212sin12sin1，f(x)的最小正周期为T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k，即xk(kZ)，所求x的集合为x.金版点睛(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.已知函数f(x)4cosxsin1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)4cosxsin14cosx1sin2x2cos2x1sin2xcos2x2sin，所以f(x)的最小正周期为.(2)因为x，所以2x.于是当2x，即x时，f(x)max2；当2x，即x时，f(x)min1.题型五 三角变换的实际应用例5如图，A，B是半径为1的圆O上任意两点，以AB为一边作等边三角形ABC.当点A，B处于怎样的位置时，四边形OACB的面积最大？最大面积是多少？解如图，设AOB(0)，四边形OACB的面积为S.取AB的中点D，连接OD，CD，则ODAB，CDAB.在RtODA中，OA1，AOD，所以ADOAsinAODsin，ODOAcosAODcos，所以AB2AD2sin.因为ABC为等边三角形，所以CDACsinCAB2sinsin60sin.所以SSABCSAOBCDABODABsin2sincos2sinsin2sinsinsincossin.因为0，所以.所以当，即时，S取得最大值1.所以当OA与OB的夹角为时，四边形OACB的面积最大，最大面积是1.金版点睛解答此类问题，关键是合理引入辅助角，先将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中，要注意角的取值范围.有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD建为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，才能使矩形ABCD的面积最大？解画出图形如图所示设AOB，则ABasin，OAacos.设矩形ABCD的面积为S，则S2OAAB2acosasina22sincosa2sin2.因为，所以2(0，)当2，即时，Smaxa2，此时点A，D距离点O均为a.1已知sin，则cos等于()A. B C D.答案D解析sin且0，cos.又cos2cos21，cos2，0，cos.2.等于()Atan Btan2 C1 D.答案B解析原式tan2.3函数y3sinxcosx，x的值域为_答案3,2解析函数y3sinxcosx2sin，又x，x，sin，2sin3,24求值：_.答案1解析1.5已知函数f(x)sinsin2cos2x1，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在