高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式 变更命题法在数学归纳法中应用素材 新人教A版选修4-5.doc

变更命题法在数学归纳法中应用数学归纳法在高考试题中，常以解答题形式出现，最常见的是用数学归纳法证明数列不等式，这虽然是一个行之有效的基本证题方法，但运用这种方法证明数列不等式时，有好多时候在证k到(k1)的过程中，卡了壳，断了思路，这是一种普遍现象而此时证明与原不等式等价的命题倒显得轻松自然下面介绍几例一、转化等价命题 转化等价命题的目的，首先是使问题明朗化，从而便于寻求解题途径或者简化解题过程例1 已知数列满足：，且=(n2，nn*)求数列的通项公式；证明：对一切正整数n，不等式aa2n!恒成立分析：据得=，所以有aa=，为证aa2n!，即证2n!，两边同除n!再变形，只要证nn*时有(1)(1)(1)但是，由于变形后的不等式右边是一个与n无关的常数，若用数学归纳法证明，从k到(k1)右边常量不变，左边在变，这样，无法使用归纳假设根据不等式的传递性，此时若把右边的用含有变量n的、比大的、且与左边有着密切联系的式子代替，就可以直接使用数学归纳法了1=1=；(1)(1) = 1()1() =，猜想对每个nn*，(1)(1)(1)1() =11 = 解：将条件变为：1=(1)，因此，1为一个等比数列，其首项为1=，公比为，从而有1=，据此得=(n1)据得aa=，为证aa2n!，只要证nn*时有(1)(1)(1)显然，左边每个因式皆为正数，先证明，对每个nn*，(1)(1)(1)1()用数学归纳法证明式：当n = 1时，式显然成立，设n = k时，式成立，即(1)(1)(1)1()，则当n = k1时，(1)(1)(1)(1)1()(1)，=1()()1()则当n = k1时，式也成立故对一切nn*，式都成立利用得，(1)(1)(1)1() =1 = 11 =故式成立，从而结论得证评析：在用数学归纳法证明数列不等式时，需要从问题要证的结论出发去寻找出过渡命题，探索并证明过渡命题成为此类问题的中心环节，而这一过渡命题又恰好是证明原命题的关键这就说，为方便用数学归纳法证明不等式，有时需要运用“变更命题”的技巧，这在证明不等式问题中经常用到二、强化命题结论如果c是与n无关的常数，用数学归纳法证明c (或c)一类不等式时，从k到(k1)的归纳过渡最容易卡壳断思路此时利用= c且c (或c)把命题结论强化，即把c换成例2 设nn*，求证：分析：此题直接用数学归纳法时，从k到(k1)思路肯定受阻原因在于2是一个常数，从k到(k1)右边常量不变，左边增加一项正数整个和式在变大，这样是无法使用归纳假设证明的，只有把换成一个n有关的，且比大的一个式子，才能使用数学归纳法再借用不等式的传递性完成证明由于=1是大家十分熟悉的结论，就利用这一结论，显然=，并且当注意到n = 1时，=，也满足要求因此不妨把结论强化为： 证明：当n = 1时，不等式成立设n = k (k1)时不等式成立，即，那么，当n = k1时，= () =(1) =即当n = k1时，不等式成立所以有评析：由于归纳假设也随之加强，这样强化了的命题更易于归纳法证明三、寻找过渡条件在证由k到(k1)的证明过程中，要学会从问题的条件或结论出发，寻找出原题未明确给出的某些结论，且这些结论又正是从k到(k1)时所必需的，这样证题思路才会畅通例4 设0a1，a= 1a，=+ a，求证：1对一切nn*都成立思路受阻过程：由0a1，a= 1a1是显然的设n = k (k1)时不等式成立，即1，那么，当n = k1时，=a，因为1，1，所以由递推式=a推不出1，这样，从k到(k1)思路受阻受阻原因分析：由于=a，出现在分母上，要得到成立，归纳过渡所必需的条件是，寻找出小于某个数值即要证=+ a1，势必要证对一切nn*都成立，这样，问题转化成只需用数学归纳法证明：1对一切nn*都成立证明：当n = 1时，a= 1a1，而1a1，1a，即1a成立设n = k (k1)时不等式成立，即1，那么，当n = k1时，=a1aa = 1，而1，1，=a1a，因为1a1，1a，所以1a由(i)、(ii