高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法 2.2.2 分析法课堂导学案 新人教A版选修4-5.doc

2.2.2 分析法课堂导学三点剖析一,利用分析法证明不等式【例1】 (1)设ab0,求证:.(2)已知0b0,有0,需证()3()3,展开得a-ba-+,即证明0,也就是证0,在题设条件下这一不等式显然成立,原不等式成立.(2)要证2sin2cot,由00,只需证2sinsin21+cos,即证明4sin2cos-(1+cos)0,也就是证(1+cos)4(1-cos)cos-10,而1+cos0,于是只要证-4cos2+4cos-10,即-(2cos-1)20,就是(2cos-1)20,这是显然的.2sin2cot,等号在2cos=1,=时取得.各个击破类题演练1若a,b,c三数均大于1,且ab=10,求证:logac+logbc4lgc.证明:由于a1,b1,要证logac+logbc4lgc,需证4lgc,而lgc0,因此只要证4,即证4.ab=10,有lga+lgb=1,于是只需证lgalgb,而lgalgb()2=.不等式logac+logbc4lgc成立.变式提升1已知a0,-1,求证:.证明:要证,只要证,即证(1+a)(1-b)1,就是证a-b-ab0.而已知条件a0,-1b0,且a-bab,可知式成立,成立.二、分析法和综合法的综合运用【例2】 a0,b0,ab,且a3-b3=a2-b2,求证:1a+b1是件容易的事,如何证a+ba2+ab+b2=(a+b).a+b1.要证a+b,需证3(a+b)4,于是证3(a+b)24(a+b).又由式可知,必须证3(a2+b2+2ab)0,即证(a-b)20,而这一结论在ab时是恒成立的.a+b.由知1a+b0,b0,求证:(a+)2+(b+)2.证明:要证(a+)2+(b+)2,只要证(a2+b2)+(+)+4,只要证(a2+b2)+(+).ab()2=,4.+8.又a2+b2=,(a2+b2)+(+).(a+)2+(b+)2.当且仅当a=b时，取等号.变式提升2已知x0,y0,求证:(x2+y2)(x3+y3).证法一:要证(x2+y2)(x3+y3),只要证(x2+y2)3(x3+y3)2,即证x6+3x4y2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6.x0,y0,即证3x2+3y22xy,3x2+3y2x2+y22xy,即3x2+3y22xy,(x2+y2)(x3+y3).以上证法显然是分析法.倒着写回去就是综合法.证法二:由x0,y0,3x2+3y2x2+y22xy,即3(x2+y2)x2y22xyx2y2.3x4y2+3x2y42x3y3.两边都加上x6+y6,得x6+y6+3x4y2+3x2y4x6+y6+2x3y3,即(x2+y2)3(x3+y3)2.两边开6次方得(x2+y2)(x3+y3).三、多种证明方法的比较【例3】 已知a0,b0,求证:.分析一:比较法是证明不等式的最基本的方法.作差后,注意到,提出公因式a-b,即可证明此不等式.证法一：a0,b0,()-()=()+()=0.分析二:此不等式中含有根式,因此可以考虑先去根式再予以证明.事实上,两边平方即可去根式.证法二:a0,b0,要证明,只需证明()2()2,展开得,即a+b.注意到a0,b0,上式变形得a3+b3ab(a+b),即(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b),两边除以a+b,得a2-ab+b2ab,即(a-b)20.此式显然成立,.分析三:对根式进行整体换元,也可达到去掉根式的目的.证法三:令=c,=d,a0,b0,c0,d0,原不等式即c+d.式与证法二中的式结构完全相同,故后面的证明从略.分析四:注意到所证不等式左边是分式,而右边为整式,故还可考虑去分母,转化为整式不等式再予以证明.证法四:a0,b0,要证不等式,只需证明()3+()3(+),即证(+)(a-+b)(+),即a-+b,即(-)20.此式显然成立,.分析五:我们还可借助于均值不等式,即由,+,而巧妙地达到化分式为整式的目的.证法五:a0,b0,+,两式相加得()+(+)+,从而.分析六:由证法五的启示,还可在原不等式的两边同时乘以不等式的右边的式子,即转化为证明不等式(+)()(+)2,将不等式的左这展开并利用均值不等式即可获证.证法六:a0,b0,(+)()=+a=a+b+a+b+=(+)2,+.温馨提示 比较法是证明不等式最基本的方法,通常在作差(或作商)后,通过运用不等式的性质,推论来判断差式的符号(或商式与1的大小关系).分析法和综合法既是证明不等式的常用方法,也是分析,解决问题的重要的数学思维方法.证明不等式的方法灵活多样,在证明过程中,要注意观察不等式的结构特点,把握问题的实质,才能合理选择证明方法,创造出一些巧法,妙法.类题演练3已知a,b都为正实数，且a+b=1,求证:(a+)(b+).证法一:(a+)(b+)=ab+,由于+2,故只要证明ab+,即证4a2b2-17ab+40,即(4ab-1)(ab-4)0.由条件a+b=1,得ab()2=,4ab-10,ab-40.(4ab-1)(ab-4)0.4a2b2-17ab+40.4ab-17+0,即ab+.又+2,ab+2+=.(a+)(b+).证法二:a+b=1,(a+b)2=1,即a2+b2=1-2ab.要证(a+)(b+),只要证明4(a2+1)(b2+1)25ab,即4a2b2+(4a2+4b2)+425ab,即4a2b2+4(1-2ab)+4-25ab0.整理得4a2b2-33ab+80.只需证明(4ab-1)(ab-8)0.(*)ab()2=,4ab-10,ab-80.(4ab-1)(ab-8)0成立.其中当且仅当a=b=时取“=”.(a+)(b+).变式提升3(1)求证:(n1).证法一:(分析法)要证原不等式成立，只需证.展开得 (n+1)+(n-1)+4n,即n.只要证明n2-1n2,即-1log(n+1)(n+2),其中nn*且n1.证明:欲证logn(n+1)log(n+1)(n+2)(其中nn*且n1),只需证,只需证lgnlg(n+2)lg2(n+1),而lgnlg(n+2)log(n+1)(n+2)成立.(3)已知a,b,cr+,且a+b+c=1.求证:a2+b2+c2.证法一:1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),又2aba2+b2,2bcb2+c2,2cac2+a2,2(ab+bc+ca)2(a2+b2+c2).a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(a2+b2+c2).a2+b2+c2.证法二:(