霓虹的成因.docx

霓虹的成因虹：太陽光從水滴的頂部射入，經兩次折射和一次反射後射出，發散成七彩的各色光，其中紅光偏向角最小，紫光最大。紅光的仰角約42，在外側；紫光的仰角約40，在內側。霓：在虹的外圍，但光度較弱，與虹成因相似，不同處在於太陽光是從水滴的底部射入，而虹是從水滴的頂部射入。太陽光從水滴的底部射入，經兩次折射和兩次反射後射出，發散成各色光。內紅外紫，恰好與虹的顏色排列相反。呵呵，再問一個似乎理所當然的問題彩虹為什麼是圓的？雨後經常可以看到的彩虹，是因為空中飄浮的小水滴就像一個個的球形透鏡，陽光射入水滴後，經過折射、反射再折射出來，進到我們的眼睛。本來的白光進入水滴後，會像牛頓的三棱鏡實驗一樣，因為折射而分成不同的色光，所以彩虹才有不同的顏色。但是如果空氣中佈滿水滴，為什麼我們只看到一道彩虹，而不是到處都有彩虹呢？這是因為光線入射水珠的位置，只有一個角度會讓折射出的光線強度最大（見圖A）這就是解讀彩虹現象的最基本原理：入射光和眼睛見到色光的視線間有一個固定的夾角。因此，並不是只有空中某些特別的水珠會產生彩虹，而是只有在特定角度的水珠所折射出來的色光才能進到我們的眼睛。這個角度和不同色光的折射率有關，例如紅光的折射率較小，夾角較大（約4213）；反之，紫光折射率小，夾角就較小（約4030），這就造成紅色在上、紫色在下的彩虹。因為陽光是平行入射，由上述原理和平行線同位角相等的定理，進到眼中的色光會因為空氣中的水珠層厚度的增加而加強，這就是為什麼大雨後的彩虹較清楚、小雨後的較淡薄的原因。由於基本原理中固定夾角的限制，當太陽在我們頭上時（例如正午），折射的光線進不到眼睛，所以看不到彩虹。必須到約下午4點以後，彩虹才會在山巒或城市的天際線上出現，而且隨著時間越接近傍晚，彩虹的位置會越高，這也是基本原理的應用。根據同樣的原理，考慮以通過眼睛平行於入射陽光之直線為轉軸，旋轉在你眼中造成彩虹的入射光線，這時進到你眼睛的折射色光，會轉出一個圓錐面。如果入射光不平行於地面（例如下午4點時），這個圓錐面投射到我們眼裡，看起來只是一段短圓弧。但是到了傍晚陽光平行於地面時，我們眼中的彩虹，就幾乎是正半圓圖B（見圖B）。關於如何利用微積分推導彩虹基本原理，可參看下述網頁：.tw/articles/mm/mm_13_2_15/index.html。（已經摘錄在本文檔彩虹中的數學請繼續往下看）大家記憶裡最深刻、最令人讚歎的彩虹，都發生在大雨後的傍晚，顏色分明的一道彩虹，圓圓高掛在天邊，從一座山跨到另一座山。看過上面的說明，讀者應該能夠自行解釋了吧。彩虹是非常有趣的哲學對象，既不真的存在於外界，也不只是人類心靈的想像，它是主客互動的產物。下次和友人看到彩虹時，請記得你們共享的是空靈大氣、好風好雨；至於彩虹，是無法共享的。和友人看到彩虹時，請記得你們共享的是空靈大氣、好風好雨 學習科學，心情也可以很美呢！彩虹中的數學作者：Joe Dan Austin；F. Barry Dunning翻譯：怡萱你可曾想過彩虹是怎麼來的？為什麼它的內側比外側亮呢？為什麼有時會出現兩條呢？這些問題的答案涉及了光學、幾何、三角以及微積分，這篇文章將介紹一些有關的光學和數學。反射律和折射律彩虹是由於陽光在水珠中折射和反射所造成的。圖1表示光線射入空氣和水的交界處的情形，有些光線被反射，有些被折射，而產生反射線和折射線，這些光線都遵守下面這些光學基本原則：圖1l 入射線、反射線、折射線和法線在同一平面上。l 入射角i等於反射角r（反射律）。l 入射角i和折射角r有下面的關係： sin in sin t其中n是水的折射率（折射律）。介質的折射率是光在真空中的速度和在介質中的速度之比；我們假設空氣的折射率為1，Hecht和Zajac曾證明光線遇到界面時，反射或穿過的量之比值，決定於i和入射光的偏光性（參考），事實上彩虹是有偏光性的（參考）。水珠裡的反射在談水珠反射之前，我們假設：l 水珠是球形的。l 光速極快，光線在水珠內的時間可以不計。l 太陽光互相平行。最基本的彩虹是在水珠中，經過一次反射形成的（見圖2），試想光線由P點射入水珠，入射角為i。P點（或水珠面上任一點）的法線，通過球心O。折射線的折射角為t在Q點被反射，反射線又在R點遇到水珠面，而穿出水珠面，產生一條折射線，這折射線比原來的的入射線弱，因為每次光線遇到介面時，都有一部份反射，另一些折射（見圖3）。圖2圖3在P點的入射線和R點的折射線間的夾角，可以應用反射律、折射律及幾何學來求它，由水珠的球心O作PQO和RQO（見圖2），它們都是等腰三角形，因為OP，OQ和OR都是球半徑，又根據反射律，PQORQO，所以兩個三角形全等。其中頂點在球上的角就都等於t，如果延長入射線和最後的折射線，交於S，則其夾角就等於2(2ti)這夾角和半徑（水珠的大小）無關。現在假如有一束平行的太陽光，由水球上的不同點射入水珠，入射角當然也不同。根據反射律和折射律， 它們的路徑可以圖4表示。經過球心的入射線，反射後還是它自己，而形成一條軸，由軸上方射入的光線，射出時在軸下方，但是並不是每個角度的反射線都能折射出去，入射線和最後的折射線的夾角有個最大值max。圖4 顯示接近角max的反射線有集中的趨勢，於是在這個角附近造成特別強的反射光，就是這些集中的反射線造成了彩虹。圖4為了求max，我們讓對i的微分為0別忘了i也是j的函數，所以當max時，420或把對i微分，得到cos in(cos t)將代入，然後平方得到4cosincost利用cost1sint1產生了4cosinsini以1cosi代替sini然後化簡成3cosi1n解cos i，得max時，cos i由此式，用我們下一節的算法，可以算出n和max許多水珠的反射圖5中觀察者在O點觀看雨中的水珠，經過1號水珠反射的光線，必須偏了角，才能到達O點，而且得小於或等於max，也就是陽光必須以小於max的角射入。只有當太陽在你的後方較低的天空，彩虹才可能出現，如果max，所有經水珠反射的光線就比較高，無法在地面上看見了，不過可以從飛機上看到。由其他水珠反射的光線，必須經過的反射角，愈來愈大，直到nmax。到這時，就產生了一個很明顯的界線，因為其他的水珠無法把光線反射到O點，以經過O點的入射陽光為軸，把這圖繞軸旋轉，保持所有角不變。所以在角max附近的強反射光，在觀察者看來像天空中有一條耀眼的圓弧，它有個很明顯的外緣（在max時），而內側則較淡。圖5畫的是一列水珠反射的情形，隨意排列的水珠也產生同樣的明顯的圓弧，因為主要關鍵在觀察者和水珠之間的角度，而非距離。圖5顏色前面的討論，只說明了陽光反射後形成了一條特別亮的圓弧，卻沒解釋為什麼虹是彩色的。彩虹有顏色是因為陽光是由不同顏色（由紅到紫）的光線組成的，更由於不同顏色的光線在水中的速度不同，於是它們的折射率也就不同這是所謂色散。紅光的折射率n1.332，紫光的 n1.344，把n1.332代入，為最大值時對應的入射角i必須有cos i0.5080。所以i5928。於是sin i0.8614，利用折射律（式），得到sin t0.6467t4017由：max2(2ti)4213用類似的方法，可以求n1.344時的max4030，其他角則介於兩者之間，於是由不同顏色產生的最亮的圓弧，每條稍微移動些，就成了一列圓弧彩虹！更由於紅色的max值比紫色的大，由O點看來，紅色圓弧在天空中的位置較高，成了彩虹的外圈，紅色和紫色的max值之差，143就是彩虹的寬。虹與霓到目前為止，我們只考慮了光線在水珠中反射一次的情形。不過，光線也可能經過數次反射後，才離開水珠。圖6顯示的是經過兩次和三次反射的情形，要算出多次反射時，入射光線和最後射出的光線間之夾角，並不困難（見圖6）。入射光線經過一次折射後，角度偏了it，用圖2所用的類似證法，在水珠內的所有反射角度最都是t，所以每次反射都使光線偏了1802t。由於光線進出水珠時，各經過一次折射，所以角度總共偏離的度數D是：D2(it)N(1802t)圖6其中N為反射的次數，你可以用D180代入來檢查N1的情況。對每個N值，反射光線還是只在有限的角度內。當最大值或最小值時2(1)2N()0而且將代入然後平方，得到(1N)cosincost把cost1sint1sini/n代入，得到(1N)cosinsini解cos i，得到DDext時(D的極大或極小值)的cos i：cos i讓式中N1和式比較一下。對每個N，反射光線的角度在極值Dext附近比較集中，這現象加上n值對顏色的影響，造成了另一條彩虹（霓）。對於兩次反射後產生的霓，N2，Dext232，如圖6知入射光線和出來的光線所夾角為D180，所以為52因此第二條彩虹（霓）比第一條更高，由於每次反射都失去了些光線，所以第二條較暗，此時在數學上可以證明（詳情可參閱附錄）在Dext時，不是最大而是最小角。所以第二條彩虹的內圈較亮，而且分別計算紅到紫的Dext發現第二條的顏色次序是倒過來的。第三條彩虹，N3，Dext319，139，如果有第三條出現，它必定在太陽附近！N更大時，反射過程中光線損失太多，除非在實驗室中，否則沒法看到。歷史許多有名的數學家都曾試圖解釋彩虹的秘密，解析幾何的創始人笛卡兒在1637年發表了折射律；（Snell 在1621年最先發現這定律，不過他未曾發表他的結果），笛卡兒畫了個圖（類似圖4），他發現陽光和彩虹的夾角約在41到42度之間，他沒法解釋顏色微積分的創始人牛頓，用棱鏡證明了白光是由不同顏色的光合成的，1704年他發表了他的結果，他指出折射率決定於光的顏色，並解釋了彩虹的成因，到1700年因發現哈雷慧星而成名的哈雷，才第一個求出出現在太陽附近的第三條彩虹的角度，原來大家都找錯方向了！附錄如果入射光線，與平行它且過水珠中心的軸之間的垂直距離為x從與x之間密切的關係，可以顯示出在所謂彩虹角max附近的角，其反射光線集中的情形（見圖7）。入射角為isin1 (A1)其中R為水珠半徑。由式tsin1 ()sin1 (A2)考慮在水珠中反射一次的情況。由方程式得到2(2sin1 sin1 )(A3)圖7將此關係在圖7中描出0xR的部份。用一般常用的水折射率n1.336。的極大值顯然在 41附近。x值在某一範圍的入射光線，其值都集中在極大值附近，使得這個角度特別亮。而霓（經兩次反射）：D1801802(3ti)(A4)用和前面圖2類似的方法，可證出(A4)，不妨作為練習。用(A1)、(A2)可以得出1802(3sin1 sin1 )(A5)把這些角描出（在圖7中），可以看出有極小值。圖7也顯示很少反射光線的值在41和52之間。所以在虹和霓之間的天空滿暗的，稱為亞歷山大黑暗帶。1Boyer, Carl B.: The Rainbow, New York: