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桂林航天工业学院“机械设计分析和MATTLAB应用”课程论文授课学期 2012 学年至 2013 学年 第 一 学期 专 业 机械设计制造及其自动化 学号 201013201264 姓名 李 宽 任课教师 嵇 建 波 交稿日期 2012-11-16 成绩 阅读教师签名 日 期 题目浅谈MATLAB在齿轮减速器中的优化设计（ On MATLAB in gear reducer in optimizing design）姓名：李 宽 学号：201013201264摘要 :随着科学技术和国民经济的发展，市场对齿轮减速器的需求量越来越大，且对质量的要求越来越高，在减速器中直齿圆柱齿轮承载能力计算涉及齿轮的设计、制造工艺和检验等方面的因素，在减速器设计中齿轮参数的计算十分繁琐。Matlab软件是MathWorks公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件，它拥有强大的数值分析、矩阵运算、信号处理、图形显示、动态系统仿真和最优化设计等功能及交互性强的特点。在齿轮减速器优化设计中，齿轮优化计算最为复杂，在Matlab软件平台上通过编写M文件完成相关设计计算来实现对齿轮减速器的优化设计问题。 关键词： 齿轮传动；强度校核；优化设计；参数化造型 Abstract along with the science and technology and development of national economy, market demand for gear reducer is more and more big, the quality and the demand is higher and higher, in the reducer ZhongZhi tooth cylindrical gear bearing capacity calculation in gear design, manufacturing process and inspection and other factors, in the design of the reducer gear parameter calculation is very tedious. MATLAB software is MathWorks company launched a set of efficient numerical calculation and visualization software, it has a strong numerical analysis, matrix operation, signal processing and graphic display, dynamic system simulation and optimization design function and interactive strong characteristics. In the optimal design of gear reducer, gear optimization calculation is the most complex, in the Matlab software platform through the write M documents complete the relevant design calculation to realize the optimal design of the gear reducer. keywords: gear drive; Strength check; Optimization design; Parametric modeling前言我们知道传统的齿轮工作效率不高，工作耐久性不好，维护不方便。现在信息产业的高速发展对全球经济的增长起着巨大的推动作用，特别是对制造业的发展产生了极大的影响，同时也使传统产业面临新的挑战。制造业的信息化，即利用信息技术改造传统产业，对国民经济的发展具有深远的战略意义。如今，为了满足不同功能和性能的要求，快速而又经济地开发出更多的变型产品，模块化和系列化的设计方法在生产中的应用日趋广泛。随着工业化的不断进行，机器在我们每个人的生活中扮演着不可或缺的角色，我们都知道现在人们对齿轮的要求越来越高在机械设备中齿轮能否高效完好的执行运动则决定了这台机械设备的性能。本课题的研究意义在于改变传统的齿轮减速器设计方式，提高企业的经济效益及其在市场上的竞争力。齿轮减速器以其效率高，工作耐久，维护方便，而得到广泛应用。MATLAB具有程序流程控制结构、数据结构、输入输出和面向对象等程序设计语言特征，包含丰富的库函数可供直接调用，避免了对大量算法的重复编程；并且允许用户使用数学形式的语言编写程序，更加符合科技人员对数学表达式的书写格式，被誉为高级“数学演算纸和图形显示器”科学算法语言。MATLAB具有强大的计算和绘图功能、大量稳定可靠的算法库和简洁高效的编程语言，已成为数学计算工具方面事实上的标准。正文1、齿轮的相关参数分析1.1 直齿圆柱齿轮受力分析进行齿轮传动的强度计算时，首先要知道轮齿上所受的力，这就需要对齿轮传动作受力分析。当然，对齿轮进行受力分析也是计算安装齿轮的轴及轴承时所必需的。一对齿轮传递动力时，齿面间既有正压力又有摩擦力，但齿轮传动一般均加以润滑，齿面间的摩擦力比正压力小得多，为了简便起见，在力分析时忽略不计，只考虑正压力。齿面间的正压力为一沿接触线的分布力，为了简便，把简化为一集中力，且作用在齿宽中间平面内。沿啮合线作用在齿面上的正压力F垂直于齿面，将正压力F在节点处分解为两个相互垂直的分力，即切于节圆的圆周力F和半径方向的径向力F。由此可得：式中：-小齿轮传递的转矩，Nmm；-小齿轮的节圆直径，对于标准齿轮即为分度圆直径，mm；-啮合角，对于标准齿轮，=20。根据作用力和反作用力的关系：作用在主动轮和从动轮上的各对力大小相等；方向相。各轮的受力方向是：主动轮上的圆周力与其回转方向相反；从动轮上的圆周力与其回转方向相同；径向力分别指向各自轮心；正压力通过节点与基圆相切。1.2 齿轮传动的失效形式齿轮传动的失效主要是轮齿的失效。至于齿轮的其他部分（如齿圈、轮辐、轮毂等），除大型齿轮外，通常是按经验设计，所定的尺寸对强度和刚度来说均较富裕，实践中极少失效。国家标准GB3481-83中，将齿轮失效形式分为五大类：轮齿折断、吃面磨损、点蚀、胶合及塑性变形。1.3 齿轮传动的设计准则轮齿失效的形式虽然很多，但对于某一种具体情况来说，这些失效形式并不一定会同时发生。对于开式齿轮传动，由于磨损严重，在齿面还没有来得及形成疲劳点蚀以前，这一表层已被磨掉。故开式齿轮传动主要的失效形式是齿面磨损和轮齿折断。因此，以保证齿根弯曲疲劳强度作为设计准则。对于闭式齿轮传动，当齿面硬度较低（HB350）时，齿面易于出现疲劳点蚀破坏。设计时，就应该首先考虑满足齿面的接触疲劳强度要求。当齿面硬度较高（HB350）时，轮齿抗弯曲疲劳能力相对地弱于齿面的抗疲劳点蚀能力，易于出现的损坏形式是齿的折断。因此，在这种情况下，就应该考虑首先满足轮齿的抗弯曲疲劳强度要求。1.4 齿轮传动的精度一般机械制造常用6-9级，根据齿轮的使用要求，对齿轮的制造精度有三个方面的要求： （1）传递运动的准确性 要求加工出来的齿轮，在传动时从动轮在一转的范围内，其回转误差的最大值不超过允许的限度。 （2）传动的平稳性 要求加工出来的齿轮，在传动时瞬时传动比的变化不超过允许的限度。 （3）载荷分布的均匀性 要求加工出来的齿轮，在传动时齿面上的实际接触面积符合传递动力大小的要求。2、建立数学模型这里以两级直齿圆柱齿轮减速器如图1中心距最小建立数学模型。设两级直齿圆柱齿轮减速器输入功率P、转速n、总传动比i和工况均为已知。齿轮材料及热处理方式由设计人员选定。2.1 确定设计变量两级标准直齿圆柱齿轮传动装置的基本参数主要有：高速级齿轮模数m1，齿数z1、z2，齿宽b1、b2，传动比i1；低速级齿轮模数m2，齿数z3、z4，齿宽b3、b4，传动比i2。由i=i1i2可知，传动比中只有i1(或)i2是独立参数;又由i1=z2/z1,i2=z4/z3可知，齿数中只有z1和z3是独立参数；当齿宽系数d预先选定后，齿宽为b2=dd1=dm1z1，b4=d*d2=dm2z3，而b1和 b3可根据经验取为b1=b2+(510)，b3=b4+(510)。综合以上分析，优化设计的设计变量可取为X=x1 x2 x3 x4 x5=m1 z1 i1 m2 z3 2.2 建立目标函数以减速器中心距最小为设计目标，目标函数为：a= 0.5d1(1+i1)+0.5d3(1+i/i1) = 0.5m1z1(1+i1)+0.5m2z3(1+i/i1)2.3 确定约束条件（1） 高速级齿轮传动接触强度限制 (公式1) (公式2)（2） 低速级齿轮传动的接触强度限制 (公式3)（3） 高速级齿轮传动弯曲强度限制 (公式4) (公式5 ) (公式6) (公式7) (公式8)（4） 低速级齿轮传动的弯曲强度限制 (公式9) (公式10) (公式11) (公式12) (公式13)3、低速级齿轮基本参数的确定3.1载荷系数K2的计算载荷系数计算公式： (公式14)式中：-工作情况系数，见表1； -动载荷系数； -齿对间载荷系数，为安全起见，一般取=1； -载荷分布不均匀系数,见图2、图3。在MATLAB中K2程序为:k2=kA2.*kv2.*kalf.*khb2; 3.2 工况系数KA2的计算在MATLAB中KA2程序为unction ka2=gearkA2(f1,f2)global f1global f2k=1.00 1.25 1.50 1.75;1.10 1.35 1.60 1.85;1.25 1.50 1.75 2.0;1.50 1.75 2.0 2.25;ka2=k(f1,f2);3.2 工况系数KA2的计算在MATLAB中KA2程序为unction ka2=gearkA2(f1,f2)global f1global f2k=1.00 1.25 1.50 1.75;1.10 1.35 1.60 1.85;1.25 1.50 1.75 2.0;1.50 1.75 2.0 2.25;ka2=k(f1,f2);3.3 动载荷系数Kv2的计算在MATLAB中Kv2程序为function kv2=gearKV2(jd,v2)global jdglobal v2if jd350时，在MATLAB中程序为：close allclcclearhold onx=0.4:0.2:1.2x=0.4 0.6 0.8 1 1.2 y1=1.41 1.62 1.82 2.02 2.22y2=1.23 1.41 1.58 1.75 1.92y3=1.14 1.20 1.27 1.36 1.48y4=1.1 1.15 1.205 1.27 1.35y5=1.038 1.055 1.070 1.09 1.11p1,s=polyfit(x,y1,2)p2,s=polyfit(x,y2,2)p3,s=polyfit(x,y3,2)p4,s=polyfit(x,y4,2)p5,s=polyfit(x,y5,2)khbeta21=polyval( -0.0357 1.0671 0.9900,x)khbeta22=polyval( -0.0357 0.9171 0.8700,x)khbeta23=polyval( 0.2500 0.0200 1.0940,x)khbeta24=polyval( 0.1250 0.1100 1.0370,x)khbeta25=polyval( 0.0196 0.0581 1.0120,x)plot(x,y1,r,x,khbeta21,k)plot(x,y2,r,x,khbeta22,k)plot(x,y3,r,x,khbeta23,k)plot(x,y4,r,x,khbeta24,k)plot(x,y5,r,x,khbeta25,k)xlabel(d)ylabel(kh)title(齿轮传动的不均匀系数)gtext(1)gtext(2)gtext(3)gtext(4) gtext(5)其运行结果如图1图1. 载荷分布不均匀系数的啮合曲线4.2对其进行误差分析。对于曲线1，其误差向量如下：s =R: 3x3 double df: 2 normr: 0.0034由此可见，曲线1的啮合误差很小。对于曲线2，其误差向量如下：s =R: 3x3 double df: 2 normr: 0.0034由此可见，曲线2的啮合误差很小。对于曲线3，其误差向量如下：s =R: 3x3 double df: 2 normr: 0.0063由此可见，曲线3的啮合误差很小。对于曲线4，其误差向量如下：s =R: 3x3 double df: 2 normr: 0.0032由此可见，曲线4的啮合误差很小。对于曲线5，其误差向量如下：s =R: 3x3 double df: 2 normr: 0.0016由此可见，曲线5的啮合误差很小。当HBS1和HBS2350或HBS1350,HBS2350时，在MATLAB中程序为close allclcclearhold onx=0.4:0.2:1.6y1=1.17 1.30 1.42 1.54 1.65 1.76 1.86 y2=1.12 1.20 1.27 1.34 1.41 1.48 1.55 y3=1.06 1.09 1.13 1.16 1.2 1.25 1.3y4=1.04 1.05 1.07 1.09 1.11 1.13 1.16 y5=1.025 1.03 1.038 1.05 1.065 1.085 1.11 p1,s=polyfit(x,y1,2)p2,s=polyfit(x,y2,2)p3,s=polyfit(x,y3,2)p4,s=polyfit(x,y4,2)p5,s=polyfit(x,y5,2)khbeta11=polyval( -0.0655 0.7060 0.8986,x)khbeta12=polyval( -0.0149 0.3851 0.9707,x)khbeta13=polyval( 0.0506 0.0970 1.0143,x)khbeta14=polyval( 0.0298 0.0405 1.0179,x)khbeta15=polyval(0.0494 -0.0288 1.0291,x)plot(x,y1,r,x,khbeta11,k)plot(x,y2,r,x,khbeta12,k)plot(x,y3,r,x,khbeta13,k)plot(x,y4,r,x,khbeta14,k)plot(x,y5,r,x,khbeta15,k)xlabel(d)ylabel(kh)title(齿轮传动的不均匀系数)gtext(1)gtext(2)gtext(3)gtext(4)gtext(5)其运行结果如下图2图2.载荷分布不均匀系数啮合曲线下面进行误差分析对于曲线1，其误差向量如下：s = R: 3x3 double df: 4 normr: 0.0031由此可见，曲线1的啮合误差很小。对于曲线2，其误差向量如下：s = R: 3x3 double df: 4 normr: 0.0049由此可见，曲线2的啮合误差很小。对于曲线3，其误差向量如下：s =R: 3x3 double df: 4 normr: 0.0072由此可见，曲线3的啮合误差很小。对于曲线4，其误差向量如下：s = R: 3x3 double df: 4 normr: 0.0049由此可见，曲线4的啮合误差很小。对于曲线5，其误差向量如下：s =R: 3x3 double df: 4 normr: 0.0013由此可见，曲线5的啮合误差很小。function khb1,khb2=gearkhb(yd1,yd2,yd3,yd4,zhch1,zhch2,fd)if yd1350&yd2350 %计算载荷分布不均系数khb1 if zhch1=1 khb1=khb21(fd) elseif zhch1=2 khb1=khb22(fd) elseif zhch1=3 khb1=khb23(fd) elseif zhch1=4 khb1=khb24(fd) elseif zhch1=5 khb1=khb25(fd) endelseif (yd1=350&yd2350&yd2350&yd4350 %计算载荷分布不