北京市各区2012届高三上学期期中、期末考试分类解析(18)：空间几何体.doc

拥有学而优 轻松高考我无忧北京市各区2012届高三上学期期中、期末末数学分类解析十八、空间几何体第一部分 三视图1（2012年东城区高三期末考试理4）一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的面积为（ C ）A. B. C. D.2（2012年东城区高三期末考试文3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A ） a a a 正（主）视图 俯视图 侧（左）视图 A. B.C. D. 3（2012年丰台区高三期末考试理4）若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ C ） A. B. C.2 D.64（2012年丰台区高三期末考试文5）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ C ） A. B. C.1 D. 25主视图22左视图2俯视图（2012年昌平区高三期末考试理4）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ D ）A.12B.8C.6 D.46（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示文4）在三棱锥中，平面, . 若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为( D ) A. B. C. D. 俯视图主视图7（2012年西城区高三期末考试理7）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ D ）A B C D 8（2012年西城区高三期末考试文5）一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个 主视图左视图几何体的俯视图不可能是（ D ）A B C D 9主视图俯视图32222侧视图（2012年朝阳区高三期末考试理10）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 .答案：10（2012年海淀区高三期末考试理14）已知正三棱柱的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设的中心分别是，现将此三棱柱绕直线旋转，射线旋转所成的角为弧度（可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为，则函数的最大值为 ；最小正周期为 . 说明：“三棱柱绕直线旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，旋转所成的角为负角.答案：11（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)理12）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 答案：1。第二部分 立体几何1（2012年东城区高三期末考试理3）下列命题中正确的是（ D ）A如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面2（2012年昌平区高三期末考试理6）已知、是两个不同平面，、是两条不同直线，下列命题中假命题是（ B ） A若, 则 B若, 则 C若, 则 D若, 则3（2012年海淀区高三期末考试理4）已知平面，直线，若，则 ( D ) A垂直于平面的平面一定平行于平面 B垂直于直线的直线一定垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直线 D垂直于直线的平面一定与平面,都垂直4（2012年朝阳区高三期末考试理7）已知正方形的边长为，将沿对角线折起，使平面平面，得到如图所示的三棱锥若为边的中点，分别为线段，上的动点（不包括端点），且.设，则三棱锥的体积的函数图象大致是（ B ） A BC DAADABANAMAOACA5（2012年丰台区高三期末考试理8）如图，P是正方体ABCDA1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是（ A ）A B C D 6（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)文3）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中，分别是，的中点，是上的一动点.（）求该几何体的体积与表面积；（）求证：； （）当时，在棱上确定一点，使得/平面，并给出证明.a侧视图正视图aa俯视图 （）解：由三视图可知直观图为直三棱柱， 底面中， 该几何体的体积为，表面积为. 4分（）证明：连接，可知，共线，且. 又 ， ， 面. 又面 . 又 ， 面 又， . . .8分 （）点与点重合时，面. . 10分证明：取中点，连接 .是的中点 . 是的中点 . / 且 = 四边形是平行四边形./ . 又面，面 ， /面 即GP/面. . .13分7（2011年东城区高三示范校高三综合练习(一)理16）如图，四边形为正方形，平面，=（I）证明：平面平面；（II）求二面角的余弦值解：（I）如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系. 依题意有（1，1，0），（0，0，1），（0，2，0）.则.所以.即,故平面.又平面，所以平面平面. 6分 （II）依题意有（1，0，1），,.设是平面的法向量，则即因此可取.设是平面的法向量，则可取,所以. 故二面角的余弦值为. 13分8（2012年西城区高三期末考试文17）如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点（）求证：平面； （）求证：平面；（）求三棱锥的体积 （）证明：因为是正三棱柱，所以 平面.又 平面，所以 . 3分因为 是正三角形，是的中点，所以 ， 4分所以 平面. 5分（）证明：连结，交于点，连结.由 是正三棱柱，得 四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以 ， 8分因为 平面，平面， 所以 平面. 10分（）解：因为 ， 12分所以 . 14分9（2012年西城区高三期末考试理17）如图，在直三棱柱中，是的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由 （）证明：连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，得 四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以 ， 2分因为 平面，平面， 所以 平面. 4分（）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.如图建立空间直角坐标系. 5分设，则.所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得. 7分易知平面的法向量为. 8分由二面角是锐角，得 .9分所以二面角的余弦值为.（）解：假设存在满足条件的点.因为在线段上，故可设，其中.所以 ，. 11分因为与成角，所以. 12分即，解得，舍去. 13分所以当点为线段中点时，与成角. 14分10（2012年昌平区高三期末考试文17） 如图在四棱锥中，底面是正方形，垂足为点，,点，分别是，的中点（I）求证: ；（II）求证:平面；（III）求四面体的体积.证明：（I）连接. 4分(II) ， 又 7分在，点，分别是，的中点. 9分（III）由11分 12分 . 14分11（2012年丰台区高三期末考试文16）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1底面ABC，AC=BC，M，N分别是CC1，AB的中点（）求证：CNAB1；（）求证：CN /平面AB1M 证明：（）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1底面ABC，所以BB1平面ABC， 所以BB1CN1分因为AC=BC，N是AB的中点，所以CNAB 3分因为ABBB1=B， 4分所以CN平面AB B1A1 5分所以CNAB1 6分（）（方法一）连结A1B交AB1于P 7分因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以P是A1B的中点 因为M，N分别是CC1，AB的中点，所以NP / CM，且NP = CM， 9分所以四边形MCNP是平行四边形， 10分所以CN/MP 11分因为CN平面AB1M，MP平面AB1M， 12分所以CN /平面AB1M 14分（方法二）取BB1中点P，连结NP，CP 7分因为N，P分别是AB，BB1的中点，所以NP /AB1 因为NP平面AB1M，AB1平面AB1M，所以NP /平面AB1M 10分同理 CP /平面AB1M 11分因为CPNP =P， 所以平面CNP /平面AB1M 13分因为CN平面CNP，所以CN /平面AB1M 14分12（2012年朝阳区高三期末考试文16）如图，在四棱锥中，平面平面四边形为正方形，且 为的中点，为的中点MSDBCAPQ（）求证：平面；（）求证：平面；（）若，为中点，在棱上是否存在点， 使得平面平面，并证明你的结论.证明：（）因为四边形为正方形，则. 1分又平面平面，且面面，所以平面. 3分MSDBCAPQR(N)O（）取SC的中点R，连QR, DR 由题意知：PDBC且PD=BC4分 在中，为的中点，R为SC的中点， 所以QRBC且QR=BC 所以QRPD且QR=PD， 则四边形为平行四边形. 7分所以PQDR.又PQ平面SCD，DR平面SCD， 所以PQ平面SCD 10分（）存在点为中点，使得平面平面11分连接交于点，连接、，因为，并且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为为中点，所以12分因为平面平面，平面平面=，并且，所以平面，所以平面， 13分又因为平面，所以平面平面14分13（2012年海淀区高三期末考试文17）在四棱锥中，底面是菱形，.（）若，求证：平面； （）若平面平面，求证：；（）在棱上是否存在点（异于点）使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.（）证明：因为 底面是菱形所以 . 1分因为 ，所以 平面. 3分（）证明：由（）可知.因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 5分因为 平面，所以 . 7分因为 底面是菱形，所以 . 所以 . 8分（）解：不存在. 下面用反证法说明. 9分假设存在点（异于点）使得平面.在菱形中，因为 平面，平面，所以 平面. 11分因为 平面，平面，所以 平面平面.13分而平面与平面相交，矛盾. 14分14（2012年昌平区高三期末考试理17）如图在四棱锥中，底面是正方形，垂足为点，,点，分别是，的中点（I）求证: ；（II）求证:平面；（III）若 ,求平面与平面所成二面角的余弦值.证明：（I）连接. 4分(II) ， 又 7分xyz在，点，分别是，的中点 . 9分（III），以为原点，建立空间直角坐标系 由 可得设平面MNF的法向量为 n平面ABCD的法向量为 11分可得：解得： 令 n 13分 14分15（2012年丰台区高三期末考试理16）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1底面ABC，AC=BC=2，CC1=4，M是棱CC1上一点（）求证：BCAM；（）若M，N分别是CC1，AB的中点，求证：CN /平面AB1M；（）若，求二面角A-MB1-C的大小证明：（）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1平面ABC，所以CC1BC 1分因为AC=BC=2， 所以由勾股定理的逆定理知BCAC 2分因为ACCC1=C，所以BC平面ACC1A1 3分因为AM平面ACC1A1，所以BCAM 4分（）连结A1B交AB1于P 5分因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以P是A1B的中点 因为M，N分别是CC1，AB的中点，所以NP / CM，且NP = CM，所以四边形MCNP是平行四边形， 6分所以CN/MP 7分因为CN平面AB1M，MP平面AB1M， 8分所以CN /平面AB1M 9分（）因为BCAC，且CC1平面ABC， 以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C-xyz 因为，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，10分设平面的法向量，则，即 11分令，则，即又平面MB1C的一个法向量是，所以 12分由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以二面角A-MB1-C的大小为 14分16（2012年海淀区高三期末考试理17）在四棱锥中，底面是直角梯形，平面平面.（）求证：平面； （）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；（）在棱上是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （）证明：因为 ，所以 . 1分因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 3分（）解：取的中点，连接.因为， 所以 .因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 4分如图，以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系不妨设.由直角梯形中可得，.所以 ，.设平面的法向量.因为 所以 即令，则.所以 . 7分取平面的一个法向量n.所以 .所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小为.9分（）解：在棱上存在点使得平面，此时. 理由如下： 10分取的中点，连接，.则 ，.因为 ，所以 .因为 ，所以 四边形是平行四边形.所以 .因为 ，所以 平面平面. 13分因为 平面，所以 平面. 14分17（2012年朝阳区高三期末考试理17）如图，在四棱锥中，平面平面底面为矩形， ，（）求证：；（）求二面角的大小.证明：（）因为平面平面， ，且面面， 所以平面. 又因为平面 所以 6分 （）由（）可知，. 在中， 所以， 所以平面. 即，, 所以为二面角的平面角 在中， ， 所以二面角的大小 13分法二：取的中点, 的中点 在中，为的中点，所以， 又因为平面平面，且平面平面 所以，平面显然，有 1分 如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PE为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，则， 3分（）易知 因为， 所以 6分（）设为平面的一个法向量，则有， 即，所以 7分 显然，平面，所以为平面的一个法向量，所以为平面的一个法向量 9分 所以 ， 所以二面角的大小为 13分18（2012年东城区高三期末考试文17）FEDBAPC如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面， 是中点，为线段上一点.（）求证：； （）试确定点在线段上的位置，使/平面，并说明理由. 证明：（）因为平面， 所以 又四边形是正方形， 所以，所以平面, 又平面,所以. 7分 （）：设与交于，当为中点， 即时，平面 理由如下：连接，EDCBAFOP因为/平面，平面，平面平面，所以在中,为的中点，所以为中点在中,，分别为，的中点，所以又平面, 平面,故/平面. 14分19. （2012年东城区高三期末考试理17）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点，（）求证：平面；（）点在线段上，试确定的值，使平面； （）若平面，平面平面， 求二面角的大小证明：（）连接 因为四边形为菱形，所以为正三角形又为中点， 所以因为,为的中点，所以又， 所以平面 4分（）当时，平面下面证明：连接交于，连接 因为， 所以 因为平面，平面，平面平面，所以.所以所以，即 因为，所以所以， 所以.又平面，平面，所以平面 9分（）因为， 又平面平面，交线为， 所以平面 以为坐标原点，分别以所在的直 线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 由=2，则有， 设平面的法向量为=， 由，且，可得令得所以=为平面的一个法向量 取平面的法向量=， 则， 故二面角的大小为60 14分我们精挑细选推荐“品牌家教”你来优中选优“名师辅导”品牌家教名称及办学特色联系电话及办学地点精锐教育对家教办学特色：6对1服务+心理辅导北京400-690-3425转10364杭州400-690-3425转19734上海400-690-3425转19707南京400-690-3425转19739广州400-690-3425转16161苏州400-690-3425转19737京翰教育对家教办学特色：“N对1”教学模式提高快办学点多北京400-690-3425转16101长春400-690-3425转16431天津400-690-3425转16222哈尔滨400-