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1 概率论试题 一 附答案 概率论试题 一 附答案 一 填空题 每小题 3 分 共 15 分 1 设事件BA 仅发生一个的概率为 0 3 且5 0 BPAP 则BA 至少有一个不发 生的概率为 2 设随机变量X服从泊松分布 且 2 4 1 XPXP 则 3 XP 3 设随机变量X在区间 2 0 上服从均匀分布 则随机变量 2 XY 在区间 4 0 内的概率 密度为 yfY 4 设随机变量YX 相互独立 且均服从参数为 的指数分布 2 1 eXP 则 1 min YXP 解答 解 1 3 0 BABAP 即 25 0 3 0ABPABPBPABPAPBAPBAP 所以1 0 ABP 9 0 1 ABPABPBAP 2 eXPeeXPXPXP 2 2 1 0 1 2 由 2 4 1 XPXP知 eee 2 2 即012 2 解得1 故 1 6 1 3 eXP 3 设Y的分布函数为 Y FyX的分布函数为 X Fx 密度为 X fx则 2 YXX FyP YyP XyPyXyFyFy 因为 0 2 XU 所以 0 X Fy 即 YX FyFy 故 1 04 1 4 2 0 YYX y yfyFyfy y 其它 另解在 0 2 上函数 2 yx 严格单调 反函数为 h yy 所以 1 04 1 4 2 0 YX y yfyfy y 其它 4 2 1 1 1 P XP Xee 故2 min 1 1 min 1 PX YPX Y 1 1 1 P XP Y 4 1 e 2 二 单项选择题 每小题 3 分 共 15 分 1 设 A B C为三个事件 且 A B相互独立 则以下结论中不正确的是 A 若 1P C 则AC与BC也独立 B 若 1P C 则AC 与B也独立 C 若 0P C 则AC 与B也独立 D 若CB 则A与C也独立 2 设随机变量 0 1 XNX的分布函数为 x 则 2 PX 的值为 A 2 1 2 B 2 2 1 C 2 2 D 1 2 2 3 设随机变量X和Y不相关 则下列结论中正确的是 A X与Y独立 B D XYDXDY C D XYDXDY D D XYDXDY 4 设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1111 69183 X Y P 若 X Y独立 则 的值为 A 21 99 A 12 99 C 11 66 D 51 1818 解答 解 1 因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立 所以 A B C 都是正确的 只能选 D 事实上由图可见 A 与 C 不独立 2 0 1 XN所以 2 1 2 1 22 PXPXPX 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 应选 A 3 由不相关的等价条件知应选 B 4 若 X Y独立则有 2 2 2 2 P XYP XP Y 112 1 393 9 S A B C 123 1111 1 69183 11 2 33 111 2918 Y X 3 2 9 1 9 故应选 A 三 7 分 已知一批产品中 90 是合格品 检查时 一个合格品被误认为是次品的概率为 0 05 一个次品被误认为是合格品的概率为 0 02 求 1 一个产品经检查后被认为是 合格品的概率 2 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率 解 设A 任取一产品 经检验认为是合格品 B 任取一产品确是合格品 则 1 P AP B P A BP B P A B 0 9 0 950 1 0 020 857 2 0 9 0 95 0 9977 0 857 P AB P B A P A 四 12 分 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗 假设在各个交通岗遇到红灯的事 件是相互独立的 并且概率都是 2 5 设X为途中遇到红灯的次数 求X的分布列 分 布函数 数学期望和方差 解 X的概率分布为 3 3 23 0 1 2 3 55 kkk P XkCk 即 0123 2754368 125125125125 X P X的分布函数为 0 0 27 01 125 81 12 125 117 23 125 1 3 x x F xx x x 26 3 55 EX 2318 3 5525 DX 五 10 分 设二维随机变量 X Y在区域 0 0 1 Dx yxyxy 上服从均 匀分布 求 1 X Y关于X的边缘概率密度 2 ZXY 的分布函数与概率密 4 度 解 1 X Y的概率密度为 2 0 x yD f x y 其它 22 01 0 X xx fxf x y dy 其它 2 利用公式 Z fzf xzx dx 其中 2 01 01 0 xzxx f x zx 其它 2 01 1 0 xxz 其它 当0z 或1z 时 0 Z fz 01z 时 0 0 222 z z Z fzdxxz 故Z的概率密度为 2 01 0 Z zz fz 其它 Z的分布函数为 2 0 0 0 0 0 2 01 01 1 1 1 1 zz ZZ z z fzfy dyydyzzz z z 或利用分布函数法 1 0 0 2 01 1 1 Z D z FzP ZzP XYzdxdyz z 2 0 0 01 1 1 z zz z 2 01 0 ZZ zz fzFz 其它 六 10 分 向一目标射击 目标中心为坐标原点 已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相 互独立 且均服从 2 0 2 N分布 求 1 命中环形区域 22 12 Dx yxy 的 x z z x 1 D 01z x y x y 1 x y z D1 5 概率 2 命中点到目标中心距离 22 ZXY 的数学期望 解 1 D P X YDf x y dxdy 222 22 88 01 11 248 xyr D edxdyerdrd 22 2 112 2 88