清华大学经济博弈论期末考试.pdf

姓名 班级 学号 经济博弈论 04 秋 经济博弈论 经济博弈论 2004 年秋季学期 期末测验题年秋季学期 期末测验题答案答案 注意 请将所有题目的答案写在答题册上 写在本试题页上一律无效 注意 请将所有题目的答案写在答题册上 写在本试题页上一律无效 1 20 points Lucy offers to play the following game with Charlie Let us show pennies to each other each choosing either heads or tails If we both show heads I pay you 3 If we both show tails I pay you 1 If the two don t match you pay me 2 Charlie reasons as follows The probability of both heads is 1 4 in which case I get 3 The probability of both tails is 1 4 in which case I get 1 The probability of no match is 1 2 and in that case I pay 2 So it is a fair game Is he right If not a why not and b what is Lucy s expected profit from the game game table 5 points solutions 7 points a 4 points b 4 points 20 分 露西提出与查理玩下面的游戏 让我们互相向对方亮出硬币 每个人可 以选择正面或者背面 如果双方亮出的都是正面 我给你 3 美元 如果双方亮出的是背 面 我给你 1 美元 如果两枚硬币正背面不同 你给我 2 美元 查理做了这样的推理 两枚硬币都是正面的概率是 1 4 如此我得到 3 美元 都是背面的概率为 1 4 如此我 得到 1 美元 正背面不同的概率为 1 2 如此我付出 2 美元 因此这是一个公平游戏 他的想法是否正确 如果不正确 a 为什么不正确 b 露西从游戏中得到的期望 利润是多少 博弈表博弈表 5 分 解解 7 分 a 问 4 分 b 问 4 分 解答 解答 该博弈为零和博弈 博弈表如下 5 分 CHARLIE Head Tail Head 3 2 LUCY Tail 2 1 求解博弈 容易看出 该零和博弈没有纯策略纳什均衡 1 分 只有一个混合策略的纳什均衡为 露西和查理均以 3 8 的概率出正面 5 8 的概率出背面 6 分 a 查理的推理不对 因为双方实际 策略性 选择的 出硬币的正背面的概率不同于完 全随机选择的概率 后者正背面概率各为 1 2 查理错误地将一个混合策略的博弈情境当成 了随机选择的 赌博 情境 4 分 b 露西的期望利润为 1 8 4 分 相应的 查理的期望利润为 1 8 不要求 2 20 points You have to decide whether to invest 100 in a friend s enterprise where in a year s time the money will increase to 130 You have agreed that your friend will then repay you 120 keeping 10 for himself But instead he may choose to run away with the whole 130 Any of your money that you don t invest in your friend s venture you can invest elsewhere safely at the prevailing rate of interest r and get 100 1 r next year a Draw the game tree for this situation and show the rollback equilibrium 8 points Next suppose this game is played repeatedly infinitely often That is each year you have the 1 姓名 班级 学号 经济博弈论 04 秋 opportunity to invest another 100 in your friend s enterprise and the agreement is to split the resulting 130 in the manner already described From the second year onward you get to make your decision of whether to invest with your friend in the light of whether he made the agreed repayment all the preceding years The rate in interest between any two successive periods is r the same as the outside rate of interest and the same for you and your friend b For what value of r can there be an equilibrium outcome of the repeated game in which each period you invest with your friend and he repays as agreed Hint only check a single deviation of your friend when both of you always agreed previously 8 points c If the rate of interest is 10 per year can there be an alternative profit splitting agreement which is an equilibrium outcome of the infinitely repeated game where each period you invest with your friend and he repays as agreed 4 points 20 分 你必须决定是否将 100 美元投资于一个朋友的企业 在那里 这笔钱一年之 后就会增值为 130 美元 你已经同意 你朋友到那时会偿付给你 120 美元 他自己留下 10 美元 不过 也有可能的是 他携全部 130 美元潜逃 如果你不把钱投到你朋友的企业里 你可以把它以市面上的利率 r 投到任何其他安全的地方 来年获得 100 1 r a 画出这一情形下的博弈树 表示出反转均衡 8 分 现在假定这一博弈是无限期重复进行的 也就是说 每年你都有机会再将 100 美元投 入你朋友的企业 达成的协议还是按照前面描述的方式来分得到的 130 美元 从第二年往后 你将根据你朋友在过去的所有各年里是否按协议进行了偿付 来决定是否继续投资于他 连 续两年之间的利率为 r 与外界的利率相同 而且你和你朋友都同样面对这一利率 b 对于怎样的 r 值 能够存在一个重复博弈的均衡结果 使得每一时期你都投资于 你的朋友 而且他也如约偿付 提示 只考虑以往双方都履约情况下你朋友单独一次的偏 离 8 分 c 如果利率为每年 10 是否存在其他的利润分配协议 使得存在一个无限期重复 博弈的均衡结果 每个时期你都投资于你的朋友 他也如约偿付 4 分 解答解答 a 如图所示 4 分 反转均衡为你和你朋友各自的策略为 投资另处 elsewhere 潜逃 Run away 均衡结果为你得 100 1 r 你的朋友得 0 4 分 2 姓名 班级 学号 经济博弈论 04 秋 b 在过去都履约的情况下 你朋友单独一次偏离 潜逃 会带给他一个时期的额外 的 130 10 120 美元的收益 而额外 的损失则为从这以后第二个时期开始的每一时期 10 0 10 美元 此后你永远不投资于你的朋友 这一额外损失的现值为 10 1 r 2 10 1 r 3 10 r 美元 如果该偏离的额外收益小于额外损失 你朋友就不会选择偏离 因此双方履约就是一 个均衡结果 这要求 120 10 r 或者 r 1 12 8 3 当 r 1 12 或 8 3 时 存在一个合作的无限期重复博弈的均衡 8 分 c 假设你给你的朋友每一时期 b 美元 根据与 b 类似的推理 这一数额在满足下列条件 时可以促成一个合作的均衡 130 b b r 或 130 b 130 11 11 8 即你需要分给朋友至少每期 130 11 或 11 8 美元的利润 才能维持合作 4 分 3 20 points Suppose a class of 100 students is comparing the choice between two careers lawyers or engineers An engineer gets a take home pay of 100 000 per year irrespective of the numbers who choose this career Lawyers make work for one another so as the total number of lawyers increases the income of each lawyer increases up to a point Ultimately the competition between them drives down the income of each Specifically if there are N lawyers each will get 100N N2 thousand dollars a year The annual cost of running a legal practice office space secretary paralegals access to online reference services and so forth is 800 000 So each lawyer takes home 100N N2 800 thousand dollars a year when there are N of them a Draw a graph showing the take home income of each lawyer on the vertical axis and the number of lawyers on the horizontal axis 2 points b When career choices are made in an uncoordinated way what are the possible equilibrium outcomes 9 points c Now suppose the whole class decides how many should become lawyers aiming to maximize the total take home income of the whole class What will be the number of lawyers 9 points 20 分 假定一个班有 100 个学生 他们正在比较两种职业选择 律师或工程师 一个工程师一年能够拿回家的收入为 100 000 美元 无论有多少人选择这一职业 律师可以 相互之间创造工作机会 因此 当律师总人数上升时 每个律师的收入也上升 直到某一 点 最终 他们之间的竞争使得每个人的收入都下降 特别地 如果总共有 N 个律师 每 人能够得到的年收入为 100N N2千 美元 开办律师业务的年成本 办公场所 秘书 助手 网上参考服务等 为 800 000 美元 因此每个律师拿回家的收入为每年 100N N2 800 千 美元 当总共有 N 个律师时 a 画一个图 用纵轴表示每个律师拿回家的收入 横轴表示律师人数 2 分 b 当职业的选择以一种未经协调的方式来进行 可能的均衡结果有哪些 9 分 c 假定整个班一起来决定多少人应该去当律师 以最大化整个班总的拿回家的收入 将 会有多少个律师 9 分 解答解答 a 见下图 2 分 b 如图 有两个稳定均衡结果 N 0 N 90 有一个不稳定的均衡结果 N 10 每个均 衡 3 分 3 姓名 班级 学号 经济博弈论 04 秋 d 全班总收入表示为 3 分 T N Np N 100 N s N N 100N N2 800 100 N 100 10 000 900N 100N2 N3 该总收入最大化的一阶条件为 3 分 T N 900 200N 3N2 0 N 62 or N 5 可以验证 当 N 62 时总收入最大 另一个解 N 5 得到总收入的一个局部极小值 T 62 100 272 千美元 即最大化本班收入的律师人数为 62 人 3 分 4 20 分 电影 天下无贼 讲述的是一个相信 天下无贼 的农村青年 在一对 神偷 夫妻 这对夫妻因为受他的恩惠决定保护他而不是偷窃他 的帮助下 与另一伙小偷周旋 最终将自己辛苦打工的几万元钱安全带回家的故事 考虑一个小偷 Thief 与你 You 的博弈 假设你的手上有价值为 V 的物品 或金钱 小偷有两种选择 偷 与 不偷 你也有两种选择 防 与 不防 小偷和你都无法事 先观察到对方的选择 如果你选择 防 而小偷选择 偷 小偷完全不能获得该价值的物 品 如果你选择 不防 而小偷选择 偷 则小偷会完全获得该价值的物品 再假设无论 小偷是否选择 偷 你选择 防 都要付出一个 额外的 成本 c1 而无论你是否选择 防 小偷选择 偷 也都要付出一个成本 c2 假设 c1 V c2 c d t 0 小偷不能成功侵入一个全是智者的种群 但可以成功入侵一个全是傻瓜的种群 2 分 f 写出按照第一标准 primary criterion 智者可以成功侵入一个全是小偷 All T 的种群 而傻瓜则不能成功侵入一个全是小偷的种群的条件 2 分 g 在满足第 e 和 f 问给出的条件下 找到所有 的 天下无贼 即不包含 小偷 T 的表现型 的演化稳定均衡 ESS 3 分 解答 解答 a 博弈表如下 3 分 你 防 不防 偷 c2 c1 V c2 V p 小偷 不偷 0 c1 0 0 1 p q 1 q 容易看出该博弈没有纯策略纳什均衡 只有一个混合策略纳什均衡 小偷以概率 p c1 V 选 择偷 1 p 1 c1 V 的概率选择不偷 你以概率 q 1 c2 V 选择防 1 q c2 V 的概率选择不防 2 分 小偷的期望收益为 0 你的期望收益为 c1 而社会福利最大出现在小偷不偷 你不防的情况 下 为零 因此该均衡没有实现社会福利最大 1 分 b V 增加 q 增加 p 减少 即 当物品价值增加时 你选择防的概率增加 而小偷选择 偷的概率减少 而小偷并不倾向于偷的原因正好是你倾向于防 当 防 的成本 c1 增加 小偷倾向于偷 而 偷 的成本 c2 增加时 你倾向于不防 2 分 c 博弈表如下 3 分 COLUMN T W F T d d d h c e h d c W h c e d h t c h t c h t c h t c ROW F c h d h t c h t c h t c h t c d 根据第一标准 primary criterion 当一个傻瓜侵入一个全是智者的种群时 它遇到智 者得到 h t c 而一个智者遇到智者时也得到同样的收益 因此第一标准不能排除傻瓜的侵 入 考虑第二标准 secondary criterion 当傻瓜遇到傻瓜时 得到 h t c 智者遇到傻瓜时 收益相同 第二标准也不能排除傻瓜侵入 因此傻瓜可以成功侵入一个全是智者的种群 类 似的 一个智者也可以成功侵入一个全是傻瓜的种群 2 分 e 当小偷侵入一个全是智者的种群时 遇到智者它得到 d 而智者遇到智者则得到 h t c 如果 h t c d 或者 h c t d 时 根据第一标准 小偷无法成功侵入 当小偷侵入一个全是 傻瓜的种群时 遇到傻瓜它得到h d 而傻瓜遇到傻瓜得到h t c 如果h d h t c 或者c t d 0 5 姓名 班级 学号 经济博弈论 04 秋 则根据第一标准 小偷可以成功侵入 总之 条件为 h c t d 0 2 分 f 当智者侵入一个全是小偷的种群时 遇到小偷它得到 h c e 而小偷遇到小偷得到 d 智者成功侵入的条件 第一标准 为 h c e d 当傻瓜侵入一个全是小偷的种群时 遇到小 偷它得到 c 按照第一标准 傻瓜不能成功侵入的条件是 cd 注意到这一条 件可以从第 ii 问的条件 c t d 0 推出 2 分 g 考虑一个 天下无贼 的种群 即一个只包含智者和傻瓜的种群 假设智者的比例为 x 则傻瓜的比例为 1 x 我们要找到这一种群不能为小偷成功侵入的条件 当小偷侵入这 一种群时 在遇到已有种群的混合 它得到 x d 1 x h d 1 x h d 而已有种群当中的智者或者傻瓜 在遇到已有种群的混合时 得到 h t c 小偷不能成功侵入 只要 h t c 1 x h d 或者 x c t d h 注意到只有当条件 h c t d 0 满足时 这一不等式才有意义 因此 一个由智者的比例高于 c t d h 的智者与傻瓜组成的种群 就是 天下无贼 的所有 演化稳定均衡 3 分 5 20 分 一伙歹徒劫持了人质后与政府对峙 歹徒有两种选择 杀死人质与释放人质 政府也有两种选择 答应歹徒与拒绝 假定歹徒和政府的收益如下 歹徒最偏好的结果是释放人质同时政府答应 政府最偏好 的结果是拒绝同时歹徒释放人质 给定政府答应或拒绝 歹徒都倾向于释放人质 而给定歹 徒释放或杀死人质 政府都倾向于拒绝 与此同时 对歹徒而言 将政府答应同时 杀死人质 的结果 与政府拒绝同时 不杀死人质的结果比较 歹徒更偏好前者 对政府而言 将歹徒杀 死人质同时不答应的结果 与歹徒释放人质同时答应的结果相比较 政府偏好后者 称为 软弱 的政府 假定歹徒的收益分别以下四种之一 10 2 2 5 软弱政府的收益分别是以下 四种之一 2 4 8 10 a 考虑同时博弈 根据上面的叙述 从给出的数字中选择合适的表示每个参与者 在各种结果时的收益大小 从而画出博弈表 指出其纳什均衡 均衡下双方收 益各为多少 4 分 b 政府是否有动机改变上述同时博弈的结果 歹徒是否有动机改变 如果有 指 出其可以采取的策略性行动 strategic moves 及其结果 这里均假设策略性行 动是可信的 3 分 现在 考虑政府是强硬 的 而不是软弱的 对政府而言 将歹徒杀死人质同时不答应的 结果 与歹徒释放人质同时答应的结果相比较 政府偏好前 者 其余条件不变 强硬政 府的收益分别是以下四种之一 2 6 8 10 c 画出此时的同时博弈的博弈表 这一改变如何影响 a 中的均衡结果 这一改 变将如何影响 b 中任何一方采取策略性行动时的博弈结果 如果你认为 b 中任何一方存在策略性行动的动机的话 4 分 d 假定歹徒不确切地知道政府是否强硬 而只是知道其强硬的概率为 p 歹徒是 否可以使用边缘政策 Brinkmanship 如果是 画出博弈树 并指出这一政 策的有效性 effectiveness 与可接受性 acceptability 条件 根据这两个条件 写出在不同的 p 值下 歹徒的最佳策略 7 分 e 在现实中 歹徒如何使用这一策略 举例说明 为什么这一政策可能失败 失 败的结果是什么 2 分 6 姓名 班级