初三第5课 梅涅劳斯定理和塞瓦定理.doc

第5课 梅涅劳斯定理和塞瓦定理梅内劳斯是大约公元1世纪的希腊数学家兼天文学家，发现了以自己命名的定理，对于解决共点线问题很有用处。该定理后来被人遗忘，直到1678年才由意大利数学家塞瓦重新发现，他把该定理和自己发现的塞瓦定理一并发表，并为世人熟知。1、梅内劳斯(Menelaus)定理在ABC的三边BC、CA、AB(或其延长线)上有三点X、Y、Z，且三点共线，则；反之，如果满足，则X、Y、Z三点共线.证明：(1)如X、Y、Z三点共线，作CDYZ交AB于D，则，故；(2)设，若BC与ZY交于,则，因此=，即与X重合，所以X、Y、Z三点共线.2、塞瓦(Ceva)定理设X、Y、Z是ABC的三边上的点，若AX、BY、CZ三线交于一点O，则；反之，对ABC的三边上的点X、Y、Z，若，则AX、BY、CZ相交于一点.证明：(1) 若AX、BY、CZ三线交于一点，则，同理 ，因此 ；(2)若，设BY与CZ相交于点O，连接AO交BC于,则，与已知条件比较得到=，表明X与重合，于是AX、BY、CZ相交于一点.塞瓦定理有一种特殊情况，就是AXBYCZ,这时也有等式成立，我们认为三条平行线交于无穷远点，初等几何中一般不研究这种特款。我们在使用这两个定理解题时，要选择恰当的三角形，以便于巧妙地使用定理的条件。例1、求证：三角形的三条中线交于同一点.练习：利用梅涅劳斯定理证明：三角形的重心把中线分成1：2的两部分。例2、证明：三角形的内角平分线交于同一点. 例3、证明：三角形的三条高线交于同一点. 例4、在ABC中，D是BC中点，过D作任一直线，交另外两边或其延长线于E、F，求证：.例5、ABC中，A的外角平分线交BC延长线于点D，B、C的平分线交对边于E、F，求证：D、E、F三点共线。例6、AG是ABC的角平分线，D是BC中点，DGAG交AB于E，交AC延长线与F，求证：BE=CF= 例7、 (梯形的施泰纳(Steiner)定理)梯形ABCD中，ABCD，AC、BD交于点E，BC、AD的延长线交于点F,EF分别交AB、CD于N、M,求证：AN=NB.例8、ABC中，D在BC上，BC:DC=2:1,E在AC上，CE:EA=3:2,BE、AD交于点O，CO与AB相交于点F，求AF:FB.例9、设分别为ABC三边BC、CA、AB的中点，P为内一点，分别交于L、M、N，求证：AL、BM、CN三线共点。 练习1、已知：AJ、BK、CL是ABC的三个外角平分线，J、K、L是这些线与ABC三边所在直线的交点，求证：J、K、L三点共线。(提示：运用角平分线定理)2、ABC三边BC、AB、CA的中点分别是D、E、F，设AD与EF交于P，连接CP交AB于Q，求证：AB=3AQ.3、ABC的两边AB、AC上分别取点Q、R,满足AQ:QB=2:1,AR:RC=1:2,连接QR交CB延长线于P，那么PC:PB=_.4、ABCD为平行四边形，BC=12,DC=10,对角线AC与BD交于O,E是BC延长线上一点，且CE=4,OE交DC于F，那么CF=_.5、