七年级数学导学案第六章.doc

6.1 从实际问题到列方程知识目标： 通过对多个实际问题的分析，使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。 能力目标:使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题;会判断一个数是不是某个方程的解。 情感目标:经历用列方程的方法解决实际问题的过程，体会现实生活与数学密不可分的关系学习重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。 学习难点：弄清题意，找出“相等关系”。学习方法:探索发现问题,学会解决实际应用问题一、新知导入（忆旧）1、等式：用等号“=”来表示相等关系的式子叫做等式。2、方程：含有未知数的等式叫做方程。引例：判断下列各式是不是方程，若是说出未知数和已知数；若不是说明理由。(1)3t-11-t;(2)2-(-3)=-1+6;(3);(4)3x-y=0;(5)6+3x+7二、新知导航知识点1.分析实际问题中的数量关系，列出方程例1：一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个角的度数？回忆：小学已经学过列方程的解法，不妨试一下：设这个角为x，则这个角的余角为90-x，补角为180-x，则可列方程为： 例2：一块长方形土地的周长是1800米，已知这块地的宽是150米，求这块地的长。 因为长方形的周长=2（长+宽），所以可设这块地的长为x米，那么2（150+x）米就是1800米，于是可得方程为： 课堂练习 设某数为x，根据下列条件列出方程 1：某数的一半减去该数的 等于6， 2：某数比它的倒数小1， 3：某数的3倍与-4的绝对值的差等于6， 4：某数比它的相反数大5， 5：某数与2的差的平方等于该数与2的平方差， 知识点2. 运用小学知识，尝试求解方程 试解：44x+64=328 从这个等式可知：328减去64所得的差，恰好是44的倍数，其差为264，264除以44，其商为6，所以x等于6。知识点3.方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫方程的根。 例3：检验下列各数是不是方程2x-3=5x-15的解：（1）x=6；（2）x=4 例4：已知x=-3，满足方程 x-kx=7，则k= 温馨提示：对于某数“适合方程”，“满足方程”都是对方程的解的语言理解，即指这个数是方程的解，它能使方程的左右两边相等。快乐直通车1：下列方程中解是4的方程是 （ ）A：2x+5=10 B:-3x-8=4 C:x+3=2x-3 D:2(x-1)=3x-52:下列说法错误的是 （ ）A：3x-2x=5x是方程 B：x=0是方程C： 2x-3x=1是方程 D： =3.14是方程3：方程x-1=2(3+x)的解是 （ ）A：x=-1 B:x=-3C: x=-5 D:x=-74:下列方程中，解为的方程为 （ ）A：5（x-1）+2=x-2 B：x-1=0C：3x-2=4（x-1） D：3（x-1）=x-25：小刚的妈妈今年50岁，比小刚的年龄的2倍还多12岁，设小刚今年的年龄为x岁，根据题意列出的方程为（ ）A：2x-12=50 B：2x+12=50C：2（x+12）=50 D：2（x-12）=50 6：检验下列括号里的各数，是否是相应方程的解。-2x=3 （0，-1，3） 7：一个村共有耕地3140亩，水浇地比旱地多720亩，设旱地有x亩，则可得方程为 。6.2.1方程的简单变形知识目标:1.理解并掌握方程的两个变形规则； 2.了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程； 3.运用方程的两个变形规则解简单的方程能力目标:1.通过实验操作，经历并获得方程的两个变形过程； 2.体会移项法则：移项后要变号情感目标:通过对方程的两个变形和等式的性质的比较，感受新旧知识的联系和迁移学习重点：方程的两种变形。学习难点：由具体实例抽象出方程的两种变形。学习方法:自主探索,观察发现.课时安排:两课时第一课时学习过程一 创设情景，导入新课信息1：如果（一）班的学生=（二）班的学生。 现在每班增加两名学生，那么（一）班与（二）班的学生人数还相等吗？（）如果每班减少3名学生，那么（一）班与（二）班的学生人数还相等吗？（ ）信息2：如果甲筐米的重量=乙筐米的重量现把甲、乙两筐米分别倒出一半，那么甲、乙两筐米剩下的重量还相等吗？（ ）二.合作交流，共同探究读P4的联想，回答下列问题。图6.2.1中，从左图到右图说明了什么？ 图6.2.2中，从左图到右图说明了什么？ 图6.2.3中，从左图到右图说明了什么？ 知识点归纳 方程的变形规则：（1） （2） 三.动手动脑，学以致用例1.用适当的数或整式填空，使所得结果仍是整式，并说明是怎样变形的。（1）若5x+1=6,则5x=( ), ( 2 ) 若7x=4, 则x=( ), ( 3 ) 若0.5x=3, 则x=( ), ( 4 ) 若3x= ,则x=( ), 随堂练习 下列变形是否正确？为什么？你能改正吗（1）由3+x=5，得x=5+3;（2）由，得； （3）由，得；（4）由，得 。（5）由3=x-2， 得x=2+3 （6）由8x=2x-7, 得6x=7 （7）由6=8+2x, 得2x= -2 点睛概括移项：注意：移项时要注意改变这个项的 。读课文第页，完成下列各题。例2.读下列解方程，你能说出每一步是如何变形的吗？（1）； （2）； （3）四.课堂总结，重点再现本节课，你有哪些收获？五，跟踪反馈，基础过关：1.判断下列方程的解法对不对？如果不对，应怎样改正(1)9x = 4，得x = ；(2)，得x = 1；(3)，得x = 2；(4)，得y =；(5)3 + x = 5，得x = 5 + 3；(6)3 = x2，得x = 23 2.（口答）求下列方程的解(1)x6 = 6； (2)7x = 6x4；(3)5x = 60； (4)3.下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？(1)从7 + x = 13，得到x = 13 + 7；(2)从5x = 4x + 8，得到5x - 4x = 84.用方程的变形解方程： (1)、9x+5=7 (2)、2x-8+4x=7x2第二课时：方程的简单变形（2）1、 新知导入（忆旧）回顾训练：解方程(1) (2) (3) (4) （由四位同学上黑板计算，其他同学独立完成，并由学生分析矫正，达到复习巩固的目的）二、探究归纳例1求方程2x + 3 = 1的解解 2x = 13，移项； 2x = 2，合并同类项； x = 1未知数的系数化为1(1)第一步的依据是方程的变形：在方程的两边同时减去3；第二步的依据是合并同类项；第三步的依据是方程的变形：方程的两边同时除以2(2)解方程应得到x = a 的形式(3)解方程的一般步骤是：移项；合并同类项；系数化为1三、思维拓展：例2、应用与实践：解下列方程 （1） （2） （3） (4)3y2 = y + 1 + 6y观察以上解方程，请你总一总：解简易方程的一般步骤是什么呢？（1） （2） （3） 四.综合延伸，能力提高例3 已知y1 = 3x + 2，y2 = 4x当x取何值时，y1与 y2互为相反数？随堂练习1、 课本第7页练习（学生先独立解答，后口答）2、 列方程求下列各数：（小黑板或投影出示） （1）x与的和等于2； （2）x的3倍与9的差等于15； （3）x的等于x的 与2的和； （4）某数的5倍加上3，等于该数的7倍减去5。 （由4名学生板演，讲评时注意强调步骤以及纠正一些易犯的错误）五.课堂总结，重点再现本节课，你有哪些收获？跟踪反馈，基础过关：一. 填空。1.在等式3x+2=5的两边都 ，可以得到等式3x=3.2.若4x=3+3x,则4x =3. 3.在方程4x5y=6中，用含x的代数式表示y= ；用含y的代数式表示x= 。4.方程的两边都 ，得。5.当a,b满足关系式 时，等式a18=b18成立. 二 解方程1、0.5x+1.22x=1.22.x 2、2x=3x三 解答题。1.当x取何值时，与的值相等？2.若是方程的解，求的值。3.若方程与的解相同，求的值。6.2.2解一元一次方程知识目标1.使学生了解一元一次方程的概念，能够灵活运用方程的变形解一元 一次方程； 2.使学生正确运用移项去括号和去分母法则解一元一次方程能力目标1.体会去括号移项去分母法则的不同之处； 2.经历解方程的过程，得出解方程的一般步骤 3培养学生观察、分析、概括和转化的能力，提高他们的运算能力情感目标：对于求解较复杂的方程，要注意培养学生自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。重 点 去括号，去分母解一元一次方程难 点 1.括号前面是负号时，去括号时忘记变号 2.求各分母的最小公倍数，去分母时，有时要添括号。教学方法：合作探究，讲练结合课时安排：3课时第一课时教学过程 一、创设情境前面我们遇到的一些方程，例如44x+64328 3+x(45+x) y52y+l 问：大家观察这些方程，它们有什么共同特征?(提示：观察未知数的个数和未知数的次数。) 只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是l，这样的方程叫做一元一次方程。 例1判断下列哪些是一元一次方程 二、探究归纳例2、解方程2(x2)3(4x1)9(1x)分析 方程中有括号，设法先去括号解2x412x + 3 = 99x，去括号 10x1 =99x， 方程两边分别合并同类项 10x + 9x = 1 + 9， 移项 x =10， 合并同类项 x = 10 系数化为1注意 (1)括号前边是“”号，去括号时，括号内各项都要变号； (2)用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项； (3) x =10，不是方程的解，必须把系数化为1，得x = 10，才是结果从上面的解方程可知，解含有括号的一元一次方程的步骤是： 三、实践应用温馨提示： 方程中有括号，先去括号，转化成上节课所讲方程的特点， 然后再解方程例3（1）解方程：3(x2)1 = x(2x1) （2）解方程:3x-7(x-1)=3-2(x+3)四、课堂小结去括号、移项、合并同类项、系数为化1，要注意的几个问题：去括号要注意括号外的 、 符号； 移项要 ；合并同类项时，只把同类项的 作为所得项的系数，字母部分 ； 系数化为1，要方程两边 未知数前面的 。五、当堂检测1.解下列方程：(1) 3(2y + 1) = 2(1 + y) + 3(y + 3) (2)5(x + 2)= 2(5x 1)；(3)2(x2)(4x1)= 3(1x)； (4)4x - 3(20 - x) = 6x - 7(9 - x)；2列方程求解：(1)当x取何值时，代数式3(2-x)和2(3 + x)的值相等？(2)当x取何值时，代数式3(2-x)和2(3 + x)的值互为相反数？3已知是方程的解，求m的值 第二课时：解一元一次方程（2）1、 学前准备（1）2x+5=5x-7 (2) 4-3(2-x)=5x（3）3（x-2）=2-5(x-2) (4) 2(x+3)5(1x)=3(x1) (5) (6) 2、 探究活动独立思考 解决问题 例1 (1) =+1 (2) 练习 (1) (2) 例2（1） (2) 3、 学习体会1、 本节课你有哪些收获？2、 预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？4、 巩固提升1.指出下列方程求解过程中的错误，并给予纠正(1)解方程： 解 15x5 = 8x + 41 ，15x8x = 41 + 5 ， 7x = 8， x =(2)解方程： 解 2x2x + 2 = 123x，2xx + 3x = 12 + 2 + 2， 4x = 16， x = 42、解下列方程(1) (2) 4x3(20x)=6x7(9x) （3）、 （4）3、已知y=1是方程的解，解关于的方程：第三课时(一元一次方程的应用)一.新课导入:1. 什么叫一元一次方程？ 2. 解一元一次方程的一般步骤有哪些？ 二.探究新知： 1.预习课本10-11页的例6和例7，并完成表格。2.通过预习总结用一元一次方程解应用题的一般步骤（课本12页）三.典例分析： 例1.某中学组织七年级同学春游，原计划用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车刚好坐满，问七年级同学人数是多少？ 分析：此题若直接设人数，其他数量不易表示，故可设45座客车X辆，则人数为 人。 分析：相等关系为：总人数不变。解： 温馨提示注意：解题格式呀！例2.某车间有100名工人，每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓要配两个螺母），应如何分配加工螺栓、螺母的工人？分析：可设有X人加工螺栓，则有 人加工螺母，那么每天加工的螺栓为18X个，每天加工的螺母为 个。相等关系为：加工螺栓的数：加工螺母的数=1：2解：挑战自我：（1）甲队有40人，乙队有32人，若从甲队调出X人到乙队，甲队还有 人，乙队现有 人，经上述调动后，甲队恰好是乙队人数的，则可列出方程 。（2）在甲处工作的有31人，在乙处工作的有20人，现调来18人分别派往甲、乙两处，使在甲处工作的人数是乙处的2倍，应往甲、乙两处各派去多少人？解：设应往甲处派去X人，则应往乙处派去 人，此时，甲处有 人，乙处 人，依题意列方程： 解得：X= 经检验，符合题意。答： 。例3： 制作一块广告牌，师傅单独做需4天完成，徒弟单独做需6天完成，徒弟先做1天后，余下的由两人合作还需多少天？分析：（1）把工作量看作 ，则师傅每天完成 ，徒弟每天完成 （2）本题求的是 ，可设 （3）师傅共做了 天，徒弟共做了 天。（4）师傅完成的工作量土地完成的工作量= 解：（2）问题思考：如果完成后得到的报酬是450元，你觉得应如何分配？四、交流反思其中分析和抽象的过程通常包括：(1)弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数；(2)找出能表示问题含义的一个主要的等量关系；(3)对这个等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系，得到方程五、拓展延伸某城市按如下规定收取每月的煤气费，用煤气如果不超60立方米，按每立方米0.8元收费，如果超过60立方米，则超过60立方米的部分按每立方米1.2元收费，王丽家4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份王丽家用了多少煤气？解题导思：（1）按每立方米0.8元收费的有多少立方米？（2）按每立方米1.2元收费的有多少立方米？（3）她家的煤气费共多少元？解：6.3实践与探索 知识目标:能够找出简单应用题中的已知数、未知数和相等关系，然后列出一 元一次方程来解简单应用题，并会根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理；能力目标:能体验到列方程解应用题的实质就是分析找出实际问题中的相等关系，并将相等关系中的数量用代数式的形式表示出来，相等关系就被转换成方程这样，一个实际问题的求解问题就被转换成代数中的方程的求解问题；情感目标:理论与实践相结合,处理实际应用问题.学习重点：应用面积及体积的等量关系解决实际问题学习难点：等量关系的确定学习方法:合作探究,讲练结合课时安排:三课时第一课时教学过程一、课前热身1：长方形，正方形，圆的面积公式分别为 2：长方体，正方体，圆柱的体积公式分别为 3：圆的周长公式为 圆锥的体积公式为 二、新知探究用一根长60 厘米的铁丝围成一个长方形1：使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积2：使长方形的宽比长少3厘米，求这个长方形的面积3：使长方形的宽比长少2厘米，求这个长方形的面积4：使长方形的宽比长少0厘米，求这个长方形的面积三、我的发现1：以上问题在用方程解决时，是直接设面积简单还是间接设其它的量？ ，所以有时在解决问题时可以间接来设未知量2：长方形在周长一定的情况下，长和宽越接近，面积越 实际上，当长和宽 时，面积 。四、实践应用（例题展示）有一梯形和长方形，如图，梯形的上、下底边的长分别为6cm，2cm，高和长方形的宽都等于3cm，如果梯形和长方形的面积相等，那么图中所标x的长度是多少？分析 本题有这样一个相等关系：长方形的面积梯形的面积我们只要用已知数或x的代数式来表示相等关系的左边和右边，就能列出方程解这个方程，得6x4，x2答：x的长度为2cm说明 图形面积之间相等关系常作为列方程的依据五、活学活用1： 一长方形的周长为L,若一边长为a,则另一边长为 ，面积为 2：半径为r的圆的面积为 周长为C的圆的面积为 3：用一根铁丝围成一个长24厘米，宽12厘米的长方形，如果将它制成一个正方形，则面积为 4： 一个长方形的长为20，它的长减少1，宽增加2就变成一个正方形，则这个正方形的面积为 六、交流反思本节课你都有哪些收获？第二课时（实践与探索）一、新知导入（忆旧） 1储蓄中的利息、本金、利率、本利和等含义，它们之间的数量关系 利息本金年利率年数 本利和本金利息年数本金 2商品利润等有关知识。 利润售价成本商品利润率二、新知导航（问题探究） 在本章6.l练习中讨论过的教育储蓄，是我国目前暂不征收利息税的储种，国家对其他储蓄所产生的利息征收20的个人所得税，即利息税。今天我们来探索一般的储蓄问题。问题2、 小明爸爸前年存了年利率为2.43的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.6元的计算器，问小明爸爸前年存了多少元?提示：思考，试着列出方程，找出等量关系。 利息利息税48.6 可设小明爸爸前年存了x元，那么二年后共得利息为 2.43X2，利息税为2.43X220 根据等量关系，得 2.43x22.43x22048.6 问，扣除利息的20，那么实际得到的利息是多少?你能否列出较简单的方程? 扣除利息的20，实际得到利息的80，因此可得 2.43x28048.6 解方程，得 x=1250 三、实践应用 例1一家商店将某种服装按成本价提高40后标价，又以8折 (即按标价的80)优惠卖出，结果每件仍获利15元，那么这种服装每件的成本是多少元? 大家想一想这15元的利润是怎么来的? 标价的80(即售价)成本15 若设这种服装每件的成本是x元，那么 每件服装的标价为：(1+40)x 每件服装的实际售价为：(1+40)x80 每件服装的利润为：(1+40)x80x 由等量关系，列出方程： (1+40)x80x15 解方程，得 x125 答：每件服装的成本是125元。四、巩固练习 教科书第15页，练习1、2。五、小结反思 应用一元一次方程解决实际问题的关键是：根据题意首先寻找“等量关系”。六、作业 教科书第16页，习题6.3.1，第3、4、5题。第三课