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断裂与损伤力学应力强度因子数值计算方法综述2013年6月第1章 应力强度因子求解方法概述含有裂纹的工程结构的断裂力学分析一直是一个重要问题，在断裂力学理论中应力强度因子是线弹性断裂力学中最重要的参量。它是由构件的尺寸、形状和所受的载荷形式而确定。由于裂尖应力场强度取决于应力强度因子，因此在计算各种构件或试件的应力强度因子是线弹性断裂力学的一项重要任务。 由于应力强度因子在裂纹体分析中的中心地位，它的求解自断裂力学问世以来就受到了高度的重视。迄今为止，已经产生了众多的理论和致值解法。70年代中期以前的有关工作在文献中已有相当全面的总结，近20年来，求解的方法又得刭了明显的发展与完善。下文将穿透裂纹问题(二维)与部分穿透裂纹问题（三维）分开讨论。第2章 二维裂纹问题 2.1 复变函数法 由Muskhelishvili的复变函数法，应力函数为： 平面应变情况下的应力与位移为： 可以证明，在裂纹尖端区域： 由上式可见。由于k仅与有关，因此只需确定一个解析函数，就能求得kI，这一方法一般只能用来解无限体裂纹问题。对于含孔边裂纹的无限大板，通常可利用复变函数的保角映射原理来简化解题过程。如采用复变（解析）变分方法，则可求解具有复杂几何形状的含裂纹有限大板的应力强度因子。2.2 积分方程法 弹性边值问题可以变为求解下列形式的积分方程： 由积分方程解出沿裂纹的坐标的函数，便能直接求出应力强度因子k。这个积分方程在有些特殊情况下可用普通的Gauss-Chebyshellr积分或它的修正形式来求解。2.3边界配置法边界配置法是求解各类边值问题的一种半解析半数值方法。用应力函数法求解二维裂纹问题，关键是选择合适的满足全部边界条件的双调和应力函数，而对有限体或裂纹分布较复杂的情况，封闭形式的应力函数是很难选取的。边界配置法克服了这一困难，它的基本思路是选择以级数展开形式的函数作为满足双调和方程和裂纹面边界条件的应力函数，通过边界条件来确定含有限项的级数中的待定系数。这些待定系数可以通过求解满足边界上的应力，载葡或位移的一组线性代数方程而确定。求解中可以在指定点上精确地满足，也可以在最小均方差的意义上满足边界条件。这样得到的级致解一般能精确满足域内的给定条件，并且近似地满足其余边界上的条件。 在裂纹问题的边界配置法中有两种基本的应力函数可供选择，即Williams的应力函数和Muskhelishyili的复变应力函数，从发展过程看，前者一般用在边缘裂纹问题中，后者可用于内埋裂纹与边缘裂纹的情况。边界配置法的求解精度较高。它的不足之处是：对于不同类型的裂纹问题，应力函数必须改变。而建立这些新的应力函数的工作量将是很大的，对于较复杂的几何与载荷情况，应力函数所应满足的边界条件很难确定，另外，解的收敛性还没有得到严格的证明。2.4边界力法边界力法通过利用无限体中有限数量的集中力和集中力矩的叠加来求解边值问题。这种解法以无限体中集中力和集中力矩的弹性解为基本解，对于不含裂纹的板，基本解取Muskhelishyili的解，对于含裂纹的板，则取Erdogan的解作为基本解。由于Erdogan的解精确地满足了裂纹面应力为零的条件，所以裂纹面就不再需要作为边界的一一部分加以考虑。因为基本解满足了物体内部的所有弹性力学方程，余下所需满足的条件只是边界条件。这些边界条件则是通过在相应于真实裂纹体的假想边界上施加一系列的集中力和集中力矩来满足的，先把假想的边界离散化为一组线段，在每一段的中心，在离开假想边界处加上一对集中力和力矩，这些力和力矩的值可通过近似地满足边界条件得以确定。与其他数值方法相比，边界力法有其明显的优点。由于这一方法已精确地满足了裂纹面上的边界条件，所以它不需要像边界元法那样把裂纹面视为边界的一部分。另外，它也克服了边界配位法中所需要的对每一类裂纹问题都要建立新的应力函数的缺点。这种解法只要较小的自由度就能达到相当高的精度。因此它在求解几何形体复杂的裂纹向题中有着明显的优点，但在处理复杂载荷的能力方面，则远非如权函数法那样灵活。2.5权函数法权函数法是一种求解在任意受载条件下裂纹应力强度因子的高效方法。这种解法的高效性在于它把影响应力强度因子的两个因素，即载荷与几何，作了变量分离。权函数仅反映了裂纹体的几何特性，它可以根据一种受载情况下的已知解确定。一经导出，它就能被用来不受限制地求解任意加载条件下的k值，求解中只需作一个积分运算： 式中m(a,x)为权函数，为无裂纹体中假想裂纹处的应力分布。除了灵活通用，简单经济等特点外，这一方法所得的结果有高的可靠性。2.6 有限元法有限元法在断裂力学中有着非常广泛的应用，它不受解析方法常遇到的因裂纹体几何或载荷的复杂性的限制。这种方法的基本思路是用一系列离散化的，区段连续的场变量来对任何连续的场交量作逼近。这些区段称为单元，单元间由结点互相连结。因为单元内的场变量的变化规律是未知的，所以要用某些近似函数来描述它们在单元内的行为。这些近似函数称为插值函数。求解以有限矩阵形式出现的场的方程，便能得到整个系统的单元结点的场变量值，进而确定单元内的变量值，关于这一方法本身的理论可另见有关专著，这里只对利用有限元法求解裂纹体应力强度因子作一简单介绍。 除了极少数特殊设计的专用程序能在有限元输出结果中直接给出应力强度因子k以外，一般的有限元计算结果都需要再通过一定的中间运算才能最终确定k值，目前在文献中用有限元法求解应力强度因子大致可以分成直接法和间接法两种，直接法是指由有限元计算输出的应力或位移求k值。间接法则是通过有限元求出某些中间量，进而导出k值。2.6.1 直接法常用的直接法一般有以下三种：(l)采用非奇异元的位移法有限元计算所得的结点位移，通过近裂纹尖端区位移与应力强度因子之间的关系，求得一组应力强度因子值。一般建议用由裂尖起始的，沿为常数(通常取=180)的射线上的结点位移。在裂纹面上取若干结点的位移，作出k-r/a的关系图。在r/a=0的小区域内，由于采用常规单元体体现不了裂纹尖端的奇异性，可能会出现k的异常变化，为了提高求解精度，可将k-r/a的直线段外延到与纵轴k的交点，交点的值即为所求的k。(2)采用非奇异元的应力法与位移法类似，可利用裂尖区应力场与应力强度因子的关系求k值。 以有限元结点或高斯点的应力值代入上式。并采用与位移法类似的由k-r/a直线段外推到，r/a=0，便能确定应力强度因子值。 对于基于位移假设的有限元解法，由干位移的计算精度比应力的精度高，而且裂尖区应力的奇异性在常规元中又不能体现，所以通常都是由位移解来导出应力强度因子值。(3)裂尖奇异元用常规的非奇异元来求解裂纹问题的一大困难是需要用很细的网格，即大量的自由度，才能使应力强度因子解达到一定的精度水平，为了压缩计算工作量，发展了各类具有奇异性的裂尖奇异元，这些奇异元自身所具有的应力与应变奇异性使得用较小的自由度便能达刭一定的求解精度，然而这些奇异元在某些方面也有着不足之处，如：缺乏刚性位移，与常规元不易协调，在通用的结构分析有限元程序中并不具备，因此应用起来较麻烦等等。后来出现的一种新的奇异元则克服了以上的不足，这种新的奇异元就是由广为使用的二次等参元退化而成的四分之一结点奇异元。 四分之一结点的四边形单元的这种奇异性只在单元的两个侧边上才存在。而在单元内部，任一条自裂尖起始的射线上奇异性并不存在。然而，如果把四边形的一条边压缩成位于裂尖的一个点，并把两侧边的中结点向裂尖移到四分之一边长的位置，则沿自裂尖出发的任一条射线，这种经畸变后的裂失单元通常称为畸变的（或退化的）四分之一结点奇异元。由于一般的有限元程序中都含有8结点二次等参元（三维则为20结点六面体等参元），所以采用这种四分之一结点奇异元能够在一般的有限元程序中实现，且不需对程序作任何修改。所需要做的只是在输入文件中写进畸变后单元的结点坐标（而其他类型的裂尖奇异元法则需要有限元程序本身就具有这些裂尖奇异元，这就大大地限制了它们的使用范围）。另外，这种四分之一结点奇异元不存在与周围的非奇异元不相容的问蹲。由于这些明显的优点，这种裂尖元得到了非常广泛的应用。2.6.2 间接法 应用直接法遇到的一个主要问题是：由于裂纹尖端的奇异性，应力在r=0时以。方式趋于无穷。为了保证解的精度，在用常规非奇异元时需要把网格划得很细，从而导致自由度和计算量的增加，解决这一问题除了上面已讨论的奇异元外，还可以采用各种间接法，如能量释放率，J积分，刚度导数等方法间接地导出应力强度因子。 (1)能量释放率法 线弹性断裂力学的理论已证明，应力强度因子k与裂纹体能量释放率G之间有如下关系。 计算G的一个简单方法是进行两次有限元计算，在一个计算中取裂纹长度为a，在另一个计算中释放紧靠裂纹尖端的一个结点，用公式计算应变能。取两个计算之差值，可得能量释放率,由此便能得到k值。这种方法的优点是对网格细化的程度要求较低。(2)J积分法J积分为应力强度因子的求解提供了另一种数值方法，积分是沿着包围裂纹尖端的某路径的一个线积分，其定义是式中w为应变能密度，T为积分路径的外法线方向的面力矢量，U为位移矢量，ds是沿积分路径的弧长。 Rice已经证明了J积分的路径无关性。这一特性为J积分的计算带来很大方便。由于积分路径可选在近裂尖区以外，因而就降低了对裂尖区单元及其密度的要求。 在线弹性条件下，J积分与应变能释放率G是等同的，因此由J积分可得应力强度因子k。为了计算J积分，必须有一个根据其定义式建立的一个专用的计算机后处理程序,并要有一个描述数值积分路径的子程序。如果在计算机中采用的是二次等参元，则最好选择通过单元Gauss点（而不是结点）的路径。在大多数情况下，用2x2的积分比用高阶积分所得的结果会更好些。目前，J积分的原理与应用范围已经分别得到发展与扩大，可以用于变厚度板、非均匀温度场以及有体力的情况并可用于裂尖应力场具有非负二分之一奇异性的情况。第3章 三维裂纹问題工程实际中的裂纹一般都是以非穿透厚度裂纹的形式出现的。即使对于穿透裂纹来说，在绝大多数情况下，它在起始阶段也是非穿透裂纹。为分析方便，这类非穿透裂纹一般用椭圆内埋裂纹，半椭圆表面裂纹和四分之一椭圆角裂纹来代表。三维裂纹问题与二维的显著区别是。应力强度因子沿着裂纹前缘变化，即k是参量角的函数。在三维裂纹前缘与物体表面的交点附近，应力具有非-l/2的奇异性，因此，严格说来，建立在-l/2奇异性基础上的k是没有意义的。然而已经发现，这种现象属一种很薄的边界层效应。对工程应用而言，一般可采用将内部的k值外延的方法解决。由于问题的复杂性，三维裂纹问题的精确解还只限于无限体中内埋椭圆裂纹的情况。对于工程中最常见的表面裂纹和角裂绞问题，则必须采用各类近似解法，这些解法主要有：有限元法，边界积分方程（边界元）法，混合法，解析变分法，权函数法，能量法，局部一整体法等。3.1 有限元法 与二维问题类似，三维裂纹分析的有限元法按采用的单元类型也可以分为常规元与奇异元两类。3.1.1 各种单元 (l)常规元用常规元解三维裂纹问题时，由于这种单元不具有奇异性，因此若基于位移或应力直接求解三维应力强度因子，则必须极大地增加自由度才能达到一定的精度。Hall等人提出了一种三维的“宏单元”(macroelement)方法。这种方法首先把裂纹体分割为两个或多个由20结点等参元组成的子结构，用一个简单的20结点单元来代表裂纹所在的区域。然后再把这个含裂纹的区域模拟为一个宏单元。这个宏单元在裂纹前缘附近区域内有高密度的结点，并且与相邻的标准20结点等参元相容。这种方法能适用于任意形状的三维裂纹体。(2)奇异元为了更准确地描述裂纹前缘的应力奇异性，发展了几种特殊的单元。这些单元内的应力呈奇异性，因而将使三维裂纹有限元分析所需的自由度明显降低。 Traccy提出了一种6结点的五边形奇异元，这种单元把裂纹前缘分割成若干线性区段，对于对称的三维裂纹，通常把裂纹前缘分割成8个奇异元。在裂纹体的其余部分，则利用8结点六面体等参元。Stern和Becker，Blackburn和Hellen提出了6结点（二维）和1 5结点的奇异元。这种15结点的五边形单元侧面为曲线形，它有6个角结点和9个中间结点，因为单元的侧面可为曲线，所以可用抛物线弧段近似地代表三维裂纹的前缘。这类奇异元与标准的20结点等参元是相容的。Henshell和Shaw对二维问题提出的四分之一结点奇异元可以方便地推广到三维裂纹的有限元分析中。对于三维问题，把20结点的六面体等参元靠裂纹前缘两侧边的中间结点向裂尖移动到四分之一边长处，即可实现沿侧边的奇异性。与二维问题类似，如果将六面体的一个侧面压缩为一条与裂纹前缘重合的曲线，则能在整个单元体内实现奇异性。这种退化的（畸变的）四分之一结点奇异元为五边形，有15个结点。与其他类型的奇异元相比，这种由20结点等参元退化而成的奇异元具有更大的吸引力，因为它很容易在许多通用的有限元程序中实现，无需对程序作任何修改。由于这一独特的优越性，这种奇异元已为研究者们广泛应用。需要指出的一点是，在将20结点退化等参元用于三维裂纹分析时，如果单元的长细比不合适，且前缘曲率半径较小时，则存在着雅可比为负值的危险性，从而导致解的误差。但这个问题是可以避免的，其方法是：使四分之一结点作微小的移动（尽量靠近四分之一位置，但又不是准确地在四分之一处）。另外，也可以令与裂纹前缘相对的那一个面变成曲面，此时用四分之一结点奇异元就不会产生上述问题。 (3)杂交元除了以上介绍的几类单元以外，还有两类杂交奇异元：应力杂交元和位移杂交元，这些奇异元的优点是：应力强度因子解是作为有限元解的一部分直接得到的。应力杂交元的应力奇异性是由应力强度因子k和近裂尖区的二维应力场解来表达的。其余的应力项则是满足平衡条件和裂纹面载荷为零的简单多项式，并且，沿着单元边界的位移设计成与常规单元相容.在应变杂交元中，单元内的应力场的奇异性是由应力强度因子k和近裂尖区的位移解来体现的，并且在单元的边界上的位移与相邻的常规单元相容。这些奇异元的刚度矩阵是用修正的变分原理导出的。3.2 由有限元解导出应力强度因子的方法 用有限元法求解裂纹问题，除了某些特殊建立的单元外，一般都不能直接解出应力强度因子，而需要由有限元计算的输出结果作进一步的推导才能最终确定k值。通常用的方法有。裂纹张开位移法，力法，虚裂纹扩展法，虚裂纹闭合法，等效区城积分法等。(l)位移法由裂纹张开位移推出应力强度因子的方法在上面的二维问题中已作过介绍。这种方法可以直接推广到三维裂纹的有限元计算中。在应用于三维问题时遇到的一个未定因素是必须对裂纹尖端的应力状态（平面应力盛平面应变）作出假设，二者在应力强度因子上的差别为，秒为泊松比，在一般情况下可取v = 0.3。这时，平面应变的结果将比平面应力情况高出9%。许多研究者的工作表明，沿裂纹前缘绝大部分范围为平面应变状态，平面应力状态只在紧靠自由表面的一个很小的区域内存在。(2) 结点力法 结点力法利用裂纹边缘前方的正应力有限元计算结果来导出应力强度因子。与位移法相比，这种方法不需要对各点的应力状态出假设，将半椭圆裂纹用一系列的楔形单元作分割。为了计算应力强度因子，需要知道沿着与裂纹前缘正交的双曲线（虚线）的结点力。把由有限元分析所得的沿两楔元边界上（参量角）结点力相加，可求出给定R值时的Fr，取一系列不同的R，