（课堂设计）高中数学 1.3.1 单调性与最大（小）值学案2 新人教A版必修5.doc

1.3.1单调性与最大(小)值(二)自主学习1通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义2会利用函数的单调性求函数的最值1函数的最大值、最小值的定义一般地，设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：(1)对于任意的xi，都有f(x)m(f(x)m)；(2)存在x0i，使得f(x0)m.那么，称m是函数yf(x)的最大值(最小值)2函数f(x)x22x1 (xr)有最小值，无最大值若x0,1，则f(x)最大值为4，最小值为1.3函数f(x)在定义域上无最值(填“有”或“无”)对点讲练利用单调性求函数最值【例1】 已知函数f(x) (x2，)，(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)a恒成立，求a的取值范围分析求最值问题往往依赖于函数的单调性，由于这个函数并不是我们所熟悉的函数，可考虑先判断一下单调性，再求最值解(1)任取x1，x22，)，且x1x2，f(x)x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)x1x2，x1x22，x1x24,10f(x1)f(x2)0，即f(x1)a恒成立，只须f(x)mina，即aa恒成立，等价于f(x)mina，f(x)a恒成立，等价于f(x)maxa.变式迁移1 求函数f(x)在区间2,5上的最大值与最小值；若f(x)a在2,5上恒成立，求a的取值范围解任取2x1x25，则f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1x25，x1x20，x110.f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)f(x)在区间2,5上是减函数f(x)maxf(2)2.f(x)minf(5).f(x)f(x)max，即a2.闭区间上二次函数的最值问题【例2】 函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tr)上的最小值记为g(t)(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值分析本题需要先求f(x)的最小值，关键是分析其对称轴x2与区间t，t1的位置关系解(1)f(x)x24x4(x2)28.当t2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t12，即t1时，f(x)在t，t1上是减函数，g(t)f(t1)t22t7.从而g(t)(2)g(t)的图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为8.规律方法(1)含有参数的二次函数的值域与最值问题，主要考虑其顶点(对称轴)与定义域区间的位置关系，由此进行分类讨论(2)二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：定义域区间在对称轴右侧；定义域区间在对称轴左侧；定义域区间在对称轴的两侧变式迁移2 求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值解f(x)(xa)21a2，对称轴为xa.当a0时，由图可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.当0a2时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.1求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出2运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别是函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法3探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得课时作业一、选择题1函数f(x)2x26x1在区间1,1上的最小值为()a9 b3 c. d.答案b2函数f(x)(2x2)的图象如图所示，则函数的最大值，最小值分别为()af(2)，f(2) bf，f(1) cf，f df，f(0)答案c3函数f(x)则f(x)的最大值与最小值分别为()a10,6 b10,8c8,6 d以上都不对答案a解析画图象可知4函数f(x)的最大值是()a. b. c. d.答案d解析f(x).5函数y|x3|x1|的()a最小值是0，最大值是4 b最小值是4，最大值是0c最小值是4，最大值是4 d没有最大值也没有最小值答案c解析y|x3|x1|作出图象可求二、填空题6函数yx26x9在区间a，b(ab3)有最大值9，最小值7，则a_，b_.答案20解析y(x3)218，ab0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2设1x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)，1x1x2，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0恒成立，等价于x22xa0恒成立设yx22xa，x1，)，yx22xa(x1)2a1递增，当x1时，ymin3a，于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)恒成立，故a3.方