3动量与角动量.doc

第三章 动量与角动量 牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）我们往往只关心过程中力的效果，即只关心始末态间的关系，对过程的细节不感兴趣；而有些问题我们甚至尚弄不清楚过程的细节。 作为一个过程，我们关心的是力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累 力在空间上的积累 作功，改变动能1 冲量，动量，质点动量定理定义：力的冲量 质点动量 由 有 动量定理(微分形式) 动量定理（积分形式） 平均冲力 例已知：一篮球质量m = 0.58kg，从h = 2.0m的高度下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触地面时间= 0.019s。 求：篮球对地面的平均冲力 解：篮球到达地面的速率为：，篮球接触地面前后动量改变（大小）为：帆u1 u2F帆对风u1 u2u风 F风对帆 F横 F进 F横 F阻龙骨 由动量定理有： 由牛顿第三定律有： 逆风行舟的原理如下图所示： fi ji jFiPi fj i2 质点系动量定理 对于质点系，设：为第i个质点受的合外力，为第i个质点受第j个质点的内力。对第i个质点： 对质点系： 由牛顿第三定律有： 令 则 或 质点系动量定理（微分形式）积分得 质点系动量定理（积分形式）质点系动量定理处理问题可避开内力，较方便。3 动量守恒定律由质点系动量定理知，在一过程中，若质点系所受合外力为零，则质点系的总动量不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。即 几点说明： 1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 2.在牛顿力学中，因为力与惯性系的选择无关，故动量若在某一惯性系中守恒，则在其它任何惯性系中均守恒（这样的结论并非对所有守恒定律都适用，能否适用要看其守恒条件的成立是否不依赖于惯性系的选择）。3.若某个方向上合外力为零，则该方向上的分动量守恒，尽管总动量可能并不守恒。4.在一些实际问题中，当外力内力，且作用时间极短时（如两物体的碰撞），往往可以略去外力的冲量，而认为动量守恒。5. 在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定律的推论。但动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定律，它在宏观和微观领域、低速和高速范围均适用。4 质心一. 质心的概念和质心位置的确定 在研究质点系的运动时，通常引入质量中心（简称质心）的概念。 如图示，设质心C的位矢为，它的定义式如下：rCz Cmiri yxO （） 是质点位矢以质量为权重的平均值。， r1r2Cm1m2二. 几种系统的质心 两质点系统 rrCdmCOm zx y 质心位置满足关系式（自己推导）： m1 r1 = m2 r2 质量连续体 ， 均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心就是其几何中心。 小线度物体（其上各处相等）质心和重心（重力合力的作用点）是重合的。例 如图示，从半径为R的均质圆盘上挖掉一块半径为r的小圆盘，两圆盘中心O和O相距为d，且（d + r） R 。 求：挖掉小圆盘后，该系统的质心坐标。 Cdx y O O dxC OrRr 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。把该系统视为在图中虚线位置挖掉小圆盘后剩余部分（质心在O）和在原处小圆盘的组合。令为质量的面密度，则质心坐标为： 5 质心运动定理一. 质心运动定理 质心运动的速度为：CmivCvirCriz yxO 由此可得 质点系的总动量 由 有 质心运动定理由质心运动定理知，质心运动可看成是把质量和力都集中在质心的一个质点的运动。二. 质心（参考）系 1.质心系研究质点系运动常用质心系，它是相对于一个惯性系作平动的参考系，质心在其中静止。简言之，质心系是固结在质心上的平动参考系。 质心系不一定是惯性系，只有合外力为零时质心系才是惯性系。 质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动； 各质点相对于质心的运动 。前者即讨论质心的运动，后者就是在质心系中考察质点系的运动。这样处理问题通常比较方便，在讨论天体运动及碰撞等问题时经常用到。 2.质心系的基本特征 质心系中系统动量： ， 质心系是零动量参考系。 m1u1m1u10m2u20m2u2质心系中看 若系统只有两个质点，则它们在其质心系中总是具有相反的动量，如图示的两粒子碰撞。6 质点的角动量 一. 质点的角动量qmOL prq 若质点m在某时刻的动量为，该时刻质点对某定点O的矢径为，则此时刻质点m对固定点 O的角动量定义为： 大小： L单位： kgm2/s 或 JsRLumO质点作匀速率圆周运动时，角动量的大小、方向均不变。 L = mvR注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。二. 质点的角动量定理，力矩 现在讨论质点对惯性系中某固定点的角动量的时间变化率和什么因素有关。 由角动量定义 ，有： FaMrr0Om定义 为力对固定点O的力矩，如图示，力矩的大小： ， 称力臂。质点角动量定理的微分形式： 或 若力矩作用一段有限时间，则有质点角动量定理的积分形式： 称冲量矩，它反映在一段时间内力矩的时间积累作用。三. 质点对轴的角动量zFFrarOMMzrsina平面 z轴 1.力对轴的力矩 力对O点的力矩为，将对点的力矩向轴（例如z轴）投影，得： 上式表明：力对某点的力矩在过此点的某轴上的投影即为力对该轴的力矩。 2.质点对轴的角动量Oz prbrrsinb 将对O点的角动量对轴（例如z轴）投影，得： 质点对某点的角动量向过该点的某个轴的投影，就是质点对该轴的角动量。 3.对轴的角动量定理 由 有 即 对轴的角动量定理7角动量守恒定律 由角动量定理，若质点所受的合力矩为零，则质点的角动量不随时间改变，即 质点角动量守恒定律SFrmuL（中心力） 只受中心力作用的质点对力心的角动量，这表明： （1） mv r sin=const.， （2）轨道在同一平面内。 由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律（书第一版111页例2，或第二版161页例3.16）。角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。 8 质点系的角动量 质点系角动量：（对同一点） 式中： fijrirjrjri fjimimjm1m2FjFiO 如图示，一对内力的力矩和： ，于是有：（都对同一点） 质点系的角动量定理 由质点系的角动量定理，若对于某点而言，质点系所受的外力矩之和为零，则质点系对该点的角动量不随时间改变，即： 质点系角动量守恒定律 注意：是独立的，故质点系角动量守恒和动量守恒也是相互独立的。 y x OrCriCuCu iF ir im iO系为惯性系 z9 质心系中的角动量定理一. 质心系中的角动量 设O是惯性系中的一个定点。C是质心，同时作为质心系的坐标系原点。如图示：质点系对质心的角动量为，质点系对O点的角动量为，质心对O点的角动量为 利用关系式： ， 可以证明（自己推导）： 上式表明：质点系对质心的角动量等于质点系对惯性系中某固定点的角动量减去质心对该点的角动量。二. 质点系对质心的角动量定理： 由 有： （ 是质点i受的合外力，是外力对质心的力矩之和） 质心系中对质心的角动量定理尽管质心系可能不是惯性系，但对质心来说，角动量定理仍然成立，这里又显示出了质心的特殊之处。 一、 基本要求1 理解质点系的动量定理。2 掌握并熟练运用动量守恒定律。3 理解质心的概念和质心运动定理。4 掌握质点的角动量概念及角动量守恒定律。二、知识系统图牛顿第二定律质点的动量定理质心的概念 质心运动定理 质点系的动量定理质点系的动量守恒定律时，常矢量质点对定点O的角动量定理质点系对定点O的角动量守恒定律时，常矢量质点对定点O的角动量 例题1判断正误 (1) 质点系的总动量为零，总角动量一定为零。 (2) 一质点作直线运动，质点的角动量一定为零。 (3) 一质点作直线运动，质点的角动量一定不变。 (4) 一质点作匀速率圆周运动，其动量方向在不断改变，所以角动量的方向也随之不断改变。解： 选题目的 明确角动量的概念及其与参考点的关系。（1）不正确。仅有不能导出。例如，两质点动量等值反向即，则有。但它们对其连线的中点O点的角动量之和并不为零。因它们对O点的角动量的方向相同，二者之和为。（2）不一定为零。因质点的角动量与参考点有关。若参考点选在质点运动的直线上任一点O，因，所以角动量一定为零。若参考点选在质点运动的直线外任一点O，则角动量不为零，应为。故应指明是对哪一点的角动量。对角动量概念，易误认为只有质点作曲线运动时才有角动量，直线运动没有角动量。所以错答此问的较多。（3）不一定不变。若参考点选在质点运动的直线外任一点O，则角动量为，其值为（是O与直线轨迹的距离）。若是匀速直线运动，则角动量不变。若是变速直线运动，则角动量大小要变化，但方向不变。从角动量定理来看，当质点作匀速直线运动时所受合外力一定为零，对O的外力矩也一定为零（注意：对质点系不一定成立），则角动量不变。当质点作变速直线运动时，沿运动方向一定有合外力作用，所以对O的外力矩不为零，此时角动量一定要变化。（4）错误。动量方向沿圆周切向，不断变化。角动量为，质点作圆周运动时，对圆心O点的角动量方向始终垂直于圆平面，是不变的。实际上只要参考点选在圆周运动所在平面上该圆周内，以上结论均正确。若参考点选在圆周上或圆平面以外角动量的方向有可能变化。2. 如图，一小物体放在光滑水平桌面上，绳一端联结此物，另一端穿过桌面上的小孔。物体原以一定的角速度在桌面上以小孔为圆心作圆周运动。从小孔缓缓下拉绳的过程中，物体的动量、对小孔的角动量是否变化？为什么？解： 选题目的 正确区分动量、角动量守恒的条件。动量是变化的。物体始终在桌面上，重力与支持力平衡，所以合外力即绳子的拉力。根据动量定理，绳子的拉力将改变物体的动量。角动量不变。物体受绳子的拉力的方向始终通过小孔，所以对小孔的力矩为零。根据角动量定理，物体对小孔的角动量不变。3. 如图，绳子上端固定，另一端系一质量为的小球，小球绕竖直轴作匀速率的圆周运动， A、B为圆周直径上的两端点，质点从A到B过程中动量是否守恒？如不守恒，绳子拉力的冲量是否等于小球动量的变化？解： 选题目的 正确运用动量定理。小球绕竖直轴作匀速率的圆周运动，所以动量的大小不变，但方向时刻都在变化，动量不守恒。小球受重力和绳子拉力两个力，所以绳子拉力的冲量不等于小球动量的变化量。的大小为，方向沿B点动量方向（水平）。A到B过程中绳子拉力的方向时刻在变化，冲量不太好求，但重力的冲量大小为，方向竖直向下，即为绳子拉力的冲量。 4匀质的柔软细绳铅直悬挂着，绳的下端刚好触到水平地面上。如把绳的上端释放，绳将落到地面上。试证明：在绳下落过程中，任意时刻作用于地面的压力，等于已落到地面上的绳重量的三倍。证明：选题目的 正确运用动量定理。以向上为正方向。设时刻已有长的绳落至地面，随后的时间内将有质量为的绳以的速率碰到地面而停止，它的动量变化量为： 根据动量定理，地面对绳的冲力为： 其中绳对地面的冲力为 而 已落到地上绳的重量为 所以 5我国的第一颗人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点。已知地球的平均半径km，卫星距地面最近距离km，最远距离 km。若卫星在近地点速率 kms-1，求远地点速率。解：选题目的 角动量守恒定律的应用。卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多，可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为零，所以卫星对O的角动量守恒。卫星在近地点的角动量卫星在远地点的角动量因角动量守恒代值得kms-1 6质量为半径为的圆弧形槽停在光滑水平面上，小物体自槽顶静止下滑，求当滑至槽底时，在水平面上移动的距离。解： 选题目的 灵活运用质心运动定理。与组成的系统水平方向不受外力，根据质心运动定理，系统质心保持静止。设整个过程在水平面上相对地面移动的距离为，由相对运动得在