《点集拓扑学》第5章 §5.2 可分空间.doc

5.2可分空间本节重点:掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系；掌握稠密子集的定义及性质.定义5.2.l设X是一个拓扑空间，DX如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集.以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义定理5.2.1设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集又设f,g：XY都是连续映射如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等)证明设如果fg，则存在xX使得f(x)g（x）令：=|f(x)-g(x)|，则0令（f(x)-/2,f(x)+/2)（g(x)-/2,g(x)+/2)则根据映射f和g的连续性可知 都是x的邻域，从而U也是x的一个邻域由于子集D是稠密的，所以UD对于任意一个yUD，我们有，f（y）=g（y），矛盾我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集定义5.2.2设X是一个拓扑空间如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间定理5.2.2每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基在B中的每一个非空元素B中任意取定一个点 B令 D=|BB，B这是一个可数集由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的例子见后面的例5.2.1然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到：推论5.2.3满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间例5.2.1设(X，T)是一个拓扑空间，是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取=X）令X*=X和T*=A|AT容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间我们依次给出以下三个论断：（1）（X*，T*）是可分空间这是因为属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集是（X*，T*）中的一个稠密子集（2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*=B|BB是（X*，T*）的一个基，而B与B*有相同的基数则是显然的（3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间因为T*T.根据这三个论断，我们可有以下两个结论：（A）可分空间可以不满足第二可数性公理因为如果任意选取一个不满足第二可数性公理的空间（X，T），我们便能得到一个不满足第二可数性公理的可分空间（X*，T *）（B）可分空间的子空间可以不是可分空间因为如果选取（X，T）为一个不是可分的空间，我们便能得到一个可分空间（X*，T *）以(X，T)为它的一个子空间(对X加上一个点后得到的空间就是这么神奇)定理5.2.4每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理证明(略)根据定理5.2.4及推论5.2.3可知：推论5.2.5可分度量空间的每一个