无穷小量及其应用.doc

本科毕业论文（设计）( 2013届 ) 题 目： 无穷小量及其应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 常晓晓 学号： 20905012002 指导教师： 李玲 职称（学位）： 合作导师： 职称（学位）： 完成时间： 2013年5月16日 成 绩： 黄山学院教务处制学位论文原创性声明兹呈交的学位论文，是本人在指导老师指导下独立完成的研究成果.本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明.本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任.声明人（签名）：2013年 5 月 16 日目 录摘要1英文摘要21 引言32 无穷小量的定义33 无穷小量阶的比较34 无穷小量的应用44.1 利用无穷小量求极限44.1.1 利用无穷小量的性质求极限44.1.2 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限54.1.3 利用等价无穷小量作替换64.1.4 利用无穷小量与函数极限的关系求极限114.2 判别级数的敛散性124.3判别反常积分的敛散性134.4无穷小量在近似计算中的应用154.5求某些数项级数的和与幂级数的和函数16结束语17参考文献19致谢20黄山学院本科毕业论文无穷小量及其应用数学与统计学院 数学与应用数学专业 常晓晓（20905012002）指导老师：李玲（讲师）摘要：无穷小量是微积分中的非常重要的概念，它有着诸多良好的性质.微积分中的好多概念中处处都有无穷小量的身影.本文主要阐述了无穷小量在微积分当中的一些具体应用，例如，利用无穷小量求极限、判别级数和反常积分的敛散性、作近似计算、求某些数项级数的和与幂级数的和函数等等.关键词：无穷小量；等价无穷小量；极限；级数Functions of the InfinitesimalChang Xiaoxiao Director：Li Ling（Department of Mathematics and Statistics, Huangshan University, 245041, China）Abstract：Infinitesimal is a quite important conception in calculus. Infinitesimal itself has much good nature. Many concepts in calculus have infinitesimals figure everywhere. This dissertation mainly expounds the functions of the infinitesimal in calculus, such as pleasing limit by the infinitesimal, discriminating the convergence and divergence of several series and abnormal integral, for approximate calculation, pleasing the summation of some number items series and power series and so on.Key Words：infinitesimal；equivalent infinitesimal；limit；series1 引言曾在古希腊时期，阿基米德就利用过无限小量的相关知识，不过他觉得这么做还有些不合理. 在17世纪的下半叶，牛顿和莱布尼茨分别依据前人所做的各种工作，并且通过各自的不懈努力，两人均创立了微积分.而无穷小量就是他们创立微积分的重要基础，对微积分的发展起了非常重要的作用.因此，在早期，我们也将分析学称为无穷小分析.但因为那时的一些理论还不够严格，所以无穷小量还不能够用常量代数理论来解释、分析和演算.从此，无穷小量就成了既简单好用又说不清的一个概念. 直至19 世纪20 年代, 柯西才在他的分析教程中阐述了严格的无穷小量的的定义.2 无穷小量的定义定义1：设在当某邻域内有定义，如果， 那么称为当时的无穷小量.同样地，我们可以定义当，和当 时的无穷小量的定义.3 无穷小量阶的比较设当时，与均为无穷小量.（1）如果，那么称为当时的高阶无穷小量，或称为当时的低阶无穷小量，记作.这说明：当时，收敛于零的速度要比收敛于零的速度慢.（2）如果，那么称为当时的同阶无穷小量. 这说明：当时，收敛于零的速度与收敛于零的速度差不多.（3）如果，那么称与是当时的等价无穷小量.事实上，等价无穷小量的定义就是同阶无穷小量的定义中当时的情形，即等价无穷小量就是同阶无穷小量的一个特例.因此，在这里当时，收敛于零的速度与收敛于零的速度也是一样的.4 无穷小量的应用4.1 利用无穷小量求极限4.11 利用无穷小量的性质求极限由定义1可以得到它的以下几条性质：（1）有限个相同类型的无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；（2）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量；证明：设函数在的某邻域内.所以恒有.设是时的无穷小量.恒有.取则当时，有.所以此结论成立.（3）无穷小量除以极限不为0的量仍为无穷小量.例1：求极限.解：因为，.所以由性质（1）可得：原式=.例2：求极限.解：因为,，所以由性质（1）可得：原式=.例3：求极限.解:因为，所以是有界量.又因为.所以由性质（2）可得原式=.例4：求极限.解：因为，又，所以由性质（3）可得：原式=.4.12 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限定理1：在同一极限过程中，恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量，无穷大量的倒数为无穷小量.证明：（仅以为例）（1）如果，那么，即证： ，使得当时，有. 因为. 所以对于，使得当时，有. 因此，即. （2）如果，那么，即证： ，使得当时，. 因为且. 所以，使得当时，所以.例5：求下列极限：（1）；（2）.解：（1）因为,所以由定理1可得：原式=. （2）因为，所以由性质（3）可得.因此由定理1可得：原式=.4.13 利用等价无穷小量作替换定理2：设函数在内有定义，且. （1）如果，那么. （2）如果，那么. 证明：（1）因为，所以= = =.（2）因为，所以=.例6：求下列极限：（1）；（2），其中，. 解：（1）因为当时，,. 所以由定理2可得：原式=. （2）因为当时，,. 所以由定理2可得：原式=.例7：求极限.解：因为，. 所以. 因此由定理2可得：原式=. 例8：求极限. 解：因为当时，.所以由定理2得：原式= =. 错误解法： 因为，. 所以原式=.定理3：设，当时，.其中，均为非零实数（上述等价无穷小量和极限是在同一极限趋向下的表达式）. 证明：因为= = = =. 所以. 例9：求极限. 解：因为，. 由定理3知，当时，. 所以原式=.例10：求极限：.解：因为当时，且，. 所以由定理3可得：原式=. 定理4：设，则.（在同一极限趋向下） 证明：因为= = =. 所以. 定理5：设且存在，则有.（在同一极限趋向下） 证明：因为,且存在.所以= = = = =. 即结论成立. 例11：求下列极限:（1）；（2）. 解：（1）法一：原式= = = =. 法二：因为，所以由定理5可得：原式= =. （2）由定理5可得：原式=. 定理6：设是同一变化过程中的无穷小量，且 ，如果对其中的某一个，有，那么. 由定理6我们可以得到：在有限个无穷小量的和中，如果有些是关于某一项的高阶无穷小量，那么这些项是可以忽略不计的. 例12：求极限. 解：因为， . 所以由定理6可得：原式=. 定理7：当时，与均是无穷小量，并且，在上与都是连续的，那么有.证明：因为=1. 所以.例13：求极限.解：因为当时，,且,. 所以定理7可得:原式=.定理8：如果，且在上与都是连续的，那么有.证明：因为=. 所以.例14：求极限.解：因为，且当时，. 所以由定理8可得：原式=2.定理9：设是同一变化过程中的无穷小量，且，那么有.例15：求下列极限：（1）；（2）.解：（1）因为，所以由定理9可得：原式=.（2）因为当时，.所以由定理9可得：原式=.4.14 利用无穷小量与函数极限的关系求极限定理10：在自变量的同一变化过程中，函数有极限.其中，是当时的无穷小量.（我们在这里仅以时为例，其他的情况可类比此定理得出.）证明：“”设，则对,使得当时，有 .令则，. 这就证明了.“”设，其中 是常数，于是，.因为是时的无穷小量，所以,使得当时，有或.因此结论成立. 例16：计算的值. 解：因为. 又， 所以由定理10可得:原式=.4.2 判别级数的敛散性在利用比较判别法的极限形式来判别正项级数的敛散性时，最大的困难是要找到能与所要求的级数相比较的已知敛散性的基本级数，我们可以利用无穷小量比较的观点理解比较判别法的极限形式.例17：判别下列正项级数的敛散性.（1）；（2）.解：（1）当时，所以与的收敛性相同，又因为发散，因此正项级数也是发散的.（2）当时，,.因为.所以当时，是比高阶的无穷小量.又因为级数收敛，因此正项级数也是收敛的.4.3 判别反常积分的敛散性从无穷积分到反常积分，事实上是一种从离散到连续的转化.所以，由正项级数的比较判别法推广，自然得到无穷积分的敛散性判别法.定理11：设定义于，在任何有限区间上可积，且，则有：（1）当,时，无穷积分收敛；（2）当,时，无穷积分发散.这个定理实际上是构造无穷小量与函数作比较，相当于正项级数与级数作比较.在这个定理中，当，函数是的高阶无穷小量或同阶无穷小量时，无穷积分收敛；当，函数是低阶无穷小量或同阶无穷小量时，无穷积分发散.而我们根据函数的无穷小量的级别，就可以确定的取值.例18：判别无穷积分的收敛性.解：因为当时，,. 所以与是同阶的. 故取，因为.所以无穷积分 发散.例19：判别无穷积分的收敛性.解：因为当时，是的高阶无穷小量. 所以是的高阶无穷小量. 故应取即可. 例如取，有.因此无穷积分收敛. 定理12：设是定义在区间内的一个连续函数，则当时，有：（1） 当时，广义积分收敛；（2） 当时，广义积分发散. 例20：判别无穷积分的敛散性.解：对于，有. 则.所以是的同阶无穷小量或高阶无穷小量. 因此无穷积分收敛.至于瑕积分，由于可以和无穷积分相互转化，关于其敛散性，相应地也有比较判别法.定理13：设定义于，为其瑕点，且在任何上可积，且，则有：（1）当,时，无穷积分收敛；（2）当,时，无穷积分发散. 例21：判别瑕积分的敛散性. 解：是被积函数的瑕点. 当时，则与是同阶无穷大量.所以与是同阶无穷大量，令，则.又，因此瑕积分收敛.例22：判别瑕积分的收敛性.解：是被积函数的瑕点. 当时，.所以与是同阶无穷大量，故可取.所以=.因为，所偶一瑕积分发散.4.4 无穷小量在近似计算中的应用无穷小量的概念是近似计算的重要理论依据，即略去高阶无穷小量原则.在工程问题中，经常会遇到一些复杂的问题，这届计算很费力，甚至非常困难，常利用无穷小量作近似计算.因为，当时，的高阶无穷小量可以忽略不计，即，所以有. 我们知道，有些无穷级数（如泰勒公式）的余项为高阶无穷小量.所以在近似计算中如果要求精度较高且要估计误差时，可以用无穷级数进行近似计算.例23：求的近似值.解：令. 所以.例24：求的近似值，要求误差不超过.解：令.因为，取，有.其中，.又当时，即为微分的计算公式，它的误差精度是，不满足要求.当时，误差精度是.所以.容易知道，微分的近似计算公式精度比较低，它其实就是泰勒公式当时的情形.4.5 求某些数项级数的和与幂级数的和函数定义2：设有两个实数序列与，如果，那么称与是同类无穷小量.定理14：如果，那么当时，有极限有极限，且.例25：求级数的和.解：设.则. .所以=.令，满足定理15的条件.因为，所以由定理15知，.因此级数. 例26：求的和函数. 解：易求的收敛域为. 设. 则. 所以= =.令，满足定理15的条件.因为，所以由定理15知，.因此的和函数为.结束语严格的无穷小量的定义的给出基本上解决了微积分学的矛盾，使得微积分学作为数学分析的理论更加具有严密性.我在这篇论文中介绍了无穷小量的定义、性质以及无穷小量在微积分中的一些具体的应用，即我们可以利用无穷小量求极限、判别级数和反常积分的敛散性、作近似计算、求某些数项级数的和与幂级数的和函数等等.由此可见，无穷小量作为一个历史的概念，对微积分的发展起到了非常重要的作用.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析上册M.北京：高等教育出版社，2001:59-68.2文丽，吴良大等.高等数学（物理类）第一册M.北京：北京大学出版社，1999:104-110.3赵学军，傅强，于光磊等.高等数学M.重庆：重庆大学出版社，1997:77-80.4吴钦宽，孙福树等.高等数学上册M.北京：科学出版社，2010:30-32.5陈付贵，宋贵海等.高等数学M.天津：天津大学出版社，1998:14-20.6牛铭，刘青桂.无穷小量及其应用J.石家庄职业技术学院学报，2011，23（2）:47-50.7张焕玮，刘文.阶的估计在技术收敛上的应用J.辽宁师范大学学院学报（自然科学版），1996,19（1）：74-77.8山其骞.关于无穷小量的一个命题及其应用J.工科数学，1995,11（2）：266-268.9李树华.无穷小量在一些证明问题中的应用J.高等数学研究，2012,15（3）：20-21.10王建平等.无穷小玲的等价代换在代数和的极限运算中的应用J.河南教育学院学报（自然科学版），2005,14(4):4-5.11刘红丽.有关等价无穷小玲代换问题的讨论J.考试周刊，2011,87:61-62.12尤青.无穷小性质与应用研究J.连云港职业技术