1-1直观极限.doc

微分上課講義1-1直觀極限 姓名： 學號： 1-11 極限（Limit）在微積分裡佔有很重要的地位，因為以後討論的微分、定積分等理論均建立在極限的基礎上。但是嚴格的極限定義是構築在所謂的關係上，超過現階段所能學的範圍。因此，我們只從直觀的角度來看極限之意思。 我們可以想像有一個動點，它可從比大的方向（即）與比小的方向（）不斷向逼近，如果逼近的結果趨向某一個特定值，那麼我們說，在處之極限為，反之，若逼近的結果無法趨向某一特定值，那麼我們說，在處之極限不存在。例一：試猜出 。例二：試猜出 。隨堂演練：試猜出 。 1-2單邊極限 前面已說過之直觀意義，在此將作稍微具體之說明：為一動點（為固定值），由之左邊不斷地向逼近，此時我們可得到一個單邊極限，以式子表示則為，同樣地，我們可由之右邊不斷地向逼近，則我們可得到另一個單邊極限，以式子表示則為，如果這兩個極限值相等（即），便稱在時有一極限存在，而這個極限值就是。例一：試討論趨近於（1）0（2）1時，的極限值。例二：設，試討論趨近於1時，的極限。例三：求，例四：求，隨堂練習：求（1）（2）隨堂練習：設，試求（1）（2）家庭功課：請依一組為單位，回答下列問題。另外以A4紙張撰寫，做成報告方式繳交。1.？2.？；？3. 1-3極限定理 前幾節雖然提供了一些極限的直覺觀念，但對一些複雜問題便不易計算，所以本節將極限問題的一些基本定理彙整，以利計算，你將發現這些定理與函數計算公式竟極為相似。 定理：若存在，則 （1） （2） （3） （4） 在（3）式裡，若，則式子毫無疑問成立，但若時，則有下列兩種情況： 時，則為不定式，不定式的解法將在下兩小節及第3章討論。 時，則不存在。 以下這些例子，將說明上述定理之運算功能。例一：（1）（2）（3） （4） （5）隨堂練習：（1）（2）（3） 1-4因式分解法例一：求 上例可發現均為型即不定式，但最後算得之結果卻不相同，這就是這類極限問題被稱為不定式之緣由。在求多項式極限，我們知道為一次多項式，因此為型時，我們知必定有的因子，可透過長除法將因子提出消掉。例二：求 1-5有理化法例一：求例二：求隨堂練習： 1-6連續xy 這一節是探討函數圖形的連續。所謂連續函數圖形是可用筆在正常情況下一筆繪成的。下圖便是典型的連續函數圖形，但是我們亦可利用極限與函數之觀念對函數的連續性做更精確之敘述：定義：若滿足下列條件，則稱在處連續 存在 存在 一般而言，判斷在處是否連續，可先從著手，因為一旦不存在，則在處一定無法連續，反之，若存在，我們可令，而使得在處連續。 定理：若在處連續，則： （1）在處連續； （2）在處連續； （3）在處連續，但； （4）在處連續； （5）在處連續（但為偶數時需）。例一：已知則：在處是否連續？在處是否連續？ 定理：多項式函數，若為定義域中之任意實數，則在處必為連續。例二：討論下列有理函數之連續性為何？ 例三：討論（1）及（2）例四：，請問是否存在一個使得在處為連續？隨堂練習：，請問是否存在一個使得在處為連續？學習心得： 1-7無窮極限 當我們考慮函數，若，（表正的無窮大），若，（表負的無窮大），若，若。例一：求（1）（2） 無窮極限也有一些與前述之極限類似的定理。 定理：若，為有限值，則 （1） （2） （3），但 （4） 多項式之無窮極限取決於多項式之最高次之極限，即：例二：求（1）（2）例三：求（1）（2）隨堂練習：求下面定理是求有理分式之無窮極限的通則。 定理：例四：求（1）（2）（3