VaR数学模型及其计算方法_刘红波.pdf

西北农业学报 2008 17 4 334 338 Acta Agriculturae Boreali occidentalis Sinica VaR 数学模型及其计算方法 刘红波 边宽江 程 波 袁志发 西北农林科技大学理学院 陕西杨凌 712100 摘 要 VaR Value at Risk 是一种以规范的统计技术来度量市场风险的新标准 目前在金融数学领域被广 泛使用 它是在正常的市场条件下 给定一定时间区间和置信水平 测度最大损失的数学方法 传统的 VaR 计算方法在计算开放式基金时 可能存在着高估风险的情况 对数正态分布假设下得到的风险值 VaR 要比 正态分布假设下的风险值更接近实际值 本文着重论述了 VaR 模型的数学原理以及该模型的计算方法 运 用对数正态分布假设来评估开放式基金的风险 以验证其结果是否更加接近实际风险值 关键词 VaR 置信度 时间序列 对数正态分布 中图分类号 F224 9 文献标识码 A 文章编号 1004 1389 2008 04 0334 05 VaR Mathematical Model and Its Computing Methods LIU Hong bo BIAN Kuan jiang CHENG Bo and YUAN Zh i fa College of Science Northwest A Confident level Time series Logarithm normal distribution VaR 模型是金融数学研究的重点问题之一 标准差 系数 持续期等传统的度量方法已不能适 应新的金融风险的度量 因此 金融机构需要一 种能全面反映投资组合所承担风险的技术方法 而 VaR数学模型就是为了适应这种需要而产生 的风险度量方法 VaR 是基于统计分析基础上 的风险度量技术 它的核心在于描述金融时间序 列的统计分布或概率密度函数 1 目前 国内外 对 VaR模型的研究极为广泛 Umberto Cheru bini 和 Elisa Luciano 2001 全面介绍了 VaR 方 法的优点 适用范围 计算过程以及其不足之处 蒲明 2003 也从理论方面论证了 VaR 模型在对 开放式基金风险估计的可行性 并提出了具体的 操作步骤 主要提出 方差 协方差法0这种简单 的计算方法 笔者通过对比分析 发现这些研究 尽是针对现有的 VaR 模型而展开的 没有对模型 进行数学原理的分析 故本文论述了 VaR 数学模 型的计算方法以及对数正态分布假设下资产组合 的风险值 收稿日期 2007 12 04 修回日期 2008 04 05 作者简介 刘红波 1982 男 陕西乾县人 硕士研究生 主要从事应用数学研究 通讯作者 边宽江 1963 男 陕西陇县人 副教授 硕士生导师 主要从事应用数学研究 1 VaR 模型的数学原理 VaR 模型是指在正常的市场条件下和给定 的置信度下 在给定的持有期间内 某一投资组合 所面临的最大的潜在损失 可以是相对值 也可以 是绝对值 其数学表达式为 Prob vW VaR 1 c A 式中 vW 为 金融资产在持有期 vt 内的损失 VaR 为置信水 平A下处于风险中的价值 c 为置信度 例如 对 于某一金融机构来说 它所持有的金融资产在未 来一周内 置信度为 99 市场正常波动的情况 下 其 VaR 值为 150 万元 则表示该公司的金融 资产在一周内 由于市场价格变化而带来的最大 损失额超过 150 万元的概率为 1 换句话说 也 就是有 99 的概率在未来一周的损失额不会超 过 150 万元 令 W0为某资产组合的期初价值 W 为该资 产组合的期末价值 R 为该组合在持有期间的投 资收益率 则有 W W0 1 R 假设在正常的 市场条件下 资产组合的最小价值 W W0 1 R R 为最小收益率 VaR 可定义为相对均值 的损失 即 VaR 相对 E W W 1 还可以定义为相对于 0的绝对损失 即 VaR 绝对 W0 W 2 由前面已知 W W0 1 R 3 W W0 1 R 4 再根据数学期望的基本性质 由 1 2 3 4 式 可得 VaR 相对 E W0 1 R W0 1 R W0 E R R W0 L R 5 VaR 绝对 W0 W0 1 R W0R 6 在正常的市场条件假设下 R I 时间序列 R1 R2 Rt 通常服从正态分布 其数学期望值为 L 因此由 1 6 式可以看出 计算 VaR 相当于确 定最小价值 W 或最小收益率 R 2 VaR 模型中变量的确定 2 1 资产组合收益率分布 在市场上 回报行为是一个随机过程 因此 不包括人为和市场机制的干涉因素 设某金融资 产价格的时间序列为 Wt W0为某资产组合的 期初价值 W 为该资产组合的期末价值 R 为该 组合在持有期间的投资收益率 则有 W W0 1 R 将 R 看作一个随机变量 作为金融资产的时 间序列 Rt 有 Rt Wt Wt 1 t t 1 Wt 1 t t 1 t 1 表示前一时刻 当 Wt 1已知时 收益率序列 Rt 服从正态分布 N L R 2 虽然资产收益正态 分布假设能进行较方便的 VaR 度量和分析 但实 证研究表明资产收益率分布具有尖峰厚尾现象 正态分布的假设往往会低估风险值 5 因此 在 实际中需要对资产收益率的分布进行合理的假 设 2 2 置信水平 设总体 X 的分布含有一个未知参数 H 若由 样本 X1 X2 Xn确定的两个统计量 H1 X1 X2 Xn 及 H2 X1 X2 Xn 对于给定值 A 0 A 0 设 W 的数学期望和方差分别为 L W 和 R 2 W 则有 L W E W Q W f W dW Q 1 R2P e ln W L 2 2R2dW 令 ln W L R t 则 dW e L R t Rdt 1 R2P Q e t2 2 e L R t dt 1 2P eLQ e t2 2 ot dt 1 2P eLQ e t R 2 2 e R2 2dt 1 2P e L R2 2 Q e t R 2 2 dt 令 m t R 则上式 1 2P e L R2 2 Q e m2 2 dm 而Q e m2 2 2P 则上式 e L R2 2 R 2 W D W E W 2 EW 2 Q W 2 f W dW e L R2 2 2 Q W 21 RW2P e lnW L 2 2R2dW e 2L R 2 Q 1 RW2P e lnW L 2 2R2dW e 2L R 2 令 ln W L R t 则 W e L R t dW e L R t R dt 1 R2P Q e L R t e t2 2e L R t Rdt e 2L R 2 1 2P Q e t 2R 2 2 e 2L 2R2 dt e 2L R2 令 x t 2R 则上式 1 2P e 2L 2R2 Q e x2 2 dx e 2L R2 e 2L 2R2 e 2L R2 eR 2 1 e 2L R 2 根据概率分布推导 1 c Q W f W dW Q R f R dR Q La U E dE 其中 La为标准正态分布的分位数 U E 为 标准正态分布的密度函数 又由 P R R P R L W RW R L W RW 1 c 得 R LW RW LA R L W RWLA 所以 VaR 的计算方法可推导为 VaR相对 E W W E W0 1 R W0 1 R W0 L W R 336 西 北 农 业 学 报 17 卷 W0 L W LW RWLA W0RWLA W0 e2L R 2 eR 2 1 L A VaR绝对 W0 W W0 W0 1 R W0R W0 LW RwLA W0 L R 2 2 e2L R 2 eR2 1 LA 当资产组合包括 2 种以上资产时 我们用向 量形式来表示 假定组合中有 n 种资产 每种资产 的收益为 Ri t i 1 2 n 令向量 R t R1 t R2 t Rn t T 并假设 R t 服从多元 正态分布 记 F Q i j n n为n 种资产的相关系数 矩阵 x x1 x2 xn 为每种资产投资占总 投资的比重 显然有 E n 1 xi 1 另记投资组合的收 益为 RW t 则有 RW t x1R1 t x2R2 t xnRn t 我们已经知道正态分布的线性组合仍然是正 态分布 所以 RW t 服从正态分布 按照前面的推 导 其风险值 在此仅计算相对 VaR 值 VaRw W0R wLA 7 剩下的关键问题就是求投资组合的标准差 Rw了 首先构造加权矩阵 x x1x2 xn 以及其 转秩矩阵 x T x1x2 xn T 标准差矩阵 U R10 0 0R2 0 00 Rn 和相关性矩阵 F 1Q1 2 Q1 n Q2 11 Q2 n Qn 1Qn 2 1 然后由相关系数 定义及方差求解的性质 可知资产组合的标准差 Rw同每种资产的标准差 R之间的关系为 Rw 2 xR FR x T 代入 7 得 VaRW W0 xRFR x T 1 2 LA 5 计算实例 为了证实对数正态分布假设下得到的 VaR 值是否比更接近实际值 本文选取了 8 只开放式 基金作为样本 假设这些基金仅投资于某一资产 样本数据为 2006 年 7 月 6 日至 2007 年 07 月 09 日的 41 个交易日数据 数据来源 http my fund cnfund cn index aspx 其中前 30 个作为 计算 VaR 的样本数据 后 11 个作为对计算结果 进行回测的验证数据 根据前面对数正态分布假设下的 VaR 计算 方法 我们可对 8 只基金的数据在 95 和 99 置 信度下进行计算 这里 L1 0 0246 L2 0 01 L3 0 0146 L4 0 01324 L5 0 014 L6 0 01228 L7 0 0112 L8 0 0352 R1 2 0 001659 R2 2 0 000127 R3 2 0 000462 R4 2 0 000199 R5 2 0 000165 R6 2 0 000166 R7 2 0 000296 R8 2 0 003042 代入公式 VaR 相对 W0 e2L R 2 eR 2 1 LA 分别取 L0 05 1 645 L0 01 2 33 计算得其绝对值 VaR1 95 1 775 e2 0 0246 0 001659 e0 001659 1 1 645 3 033 VaR1 99 1 775 e 2 0 0246 0 001659 e 0 001659 1 2 33 4 295 VaR8 95 3 246 e2 0 0352 0 003042 e0 003042 1 1 645 5 729 VaR8 99 3 246 e 2 0 0352 0 003042 e 0 003042 1 2 33 8 115 具体数值见表 1 表 1 对数正态分布下的 VaR值 Table 1 The value of VaR under logormal distribution 基金名称 Name of funds 样本方差 Variance of sample VaR 值 95 VaR value 95 VaR 值 99 VaR value 99 华夏大盘精选0 0016593 0334 295 嘉实服务增值行业0 0001272 0562 912 易方达深 100ET F0 0004622 3953 392 兴业趋势0 0001992 6413 741 中信红利精选0 0001652 4283 439 光大保德信红利股票0 0001661 8942 683 华夏上证 50ET F0 0002961 9192 719 华安上证 180ET F0 0030425 7298 115 337 4 期 刘红波等 VaR 数学模型及其计算方法 接下来要对上面的 VaR 值进行验证 看其是 否接近实际值 在此运用常见的巴塞尔规则 1996 对上一部分中得到的值进行回测分析 所 选用的数据为后 11 个交易日样本数据 巴塞尔 规则可用表 2简单概述 表 2 巴塞尔规则区域 Table 2 The area of Basel rule 区 域 The area例外个数 Number of exception 绿 灯 Green light0 1 黄 灯Yellow light2 3 红 灯 Red light4 个以上 其中例外个数是指回测样本数据值均高于之 前计算的 VaR 值 对表 1 中的数据进行验证时 发现 只出现了一个例外 即 95 置信度下 光大 保德信红利股票一日的收益超过了其 VaR 值 这 一例外个数刚好落在了巴塞尔规则的绿灯区域之 内 这说明运用对数正态分布假设预测的 VaR 值接近实际值 6 结论 本文通过对 VaR 模型的分析 注意到计算 VaR 值时首先涉及三个要素 一是市场有效性 即未来资产价值的分布特征 二是置信度的大小 三是目标区间的选择 即持有期的长短 VaR 模 型的构建也有多种方法 不同研究领域可根据不 同需求来构建相应的VaR 其次 通过对VaR 模 型的计算方法改进之后 所得的理论值与实际值 更加接近 总而言之 我们可以看出 VaR 是一个数值 而且若要得到这个数值最重要的是对风险因素波 动的测量 在金融投资市场的统计中 通常用方 差来度量风险 对方差的不同计算方法将导致对 VaR 的不同度量 例如 将正态分布假设修正为 对