2006中科院量子力学试题甲B试题+答案.pdf

中国科学院研究生院中国科学院研究生院 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 参考答案 量子力学 甲 参考答案 量子力学 甲 B 卷卷 考生须知 考生须知 1 本试卷满分为 150 分 全部考试时间总计 180 分钟 2 所有答案必须写在答题纸上 写在试题纸上或草稿纸上一律无效 p 2 p 2 x 一 共 30 分 已知谐振子处于第个定态中 试导出算符n x 的平均值 及不确定度x p 并求出xp 值 解 解 谐振子的定态为宇称本征态 所以 0 0 xp 由 Virial 定理 22 n VT E 所以 22 11 22 xnpn m m 因此 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 xxxn m pppmn xpn 共30分 设为幺正算符 若存在两个厄米算符 U A和 B使 试证 2 进一步再证明可表示成 为厄米算符 UAiB 1 22 1AB 且 0A B 二 U iH Ue H 解 解 22 1U UAiBAiBABi A B 1 22 1UUAiBAiBABi A B 因此 22 1 0ABA B 2 因为且 0A B A B n AB 均为厄米算符 所以有共同的本征函数 nnnnn 可得到 22 1 nn 22 0 2 1AB 所以可在 内找到实数 n 使 n cossin nnn n i nn e 于是有 nnnn Bi UAi 因此若定义厄米算符 nnn H使 H 则必有 iH Ue 为幺正算符 参考答案 2006 量子力学 甲 B 第 1 页 共 3 页 三 共30分 一个质量为m的粒子被限制在0 xa 的一维无穷深势阱中 初始时 刻其归一化波函数为 8 1 cos 5 0 sin xx a x aa 求 1 0t 时粒子的状态波函数 2 在0t 与0t 时在势阱的左半部发现粒子的概率是多少 解 解 1 因为能级 222 2 1 2 3 2 n n En ma 本征波函数 2 sin 0 0 0 n n x xa x aa xxa 所以0t 时 12 41 0 55 xxx 0t 时粒子的状态波函数为 12 12 22 82 ii 22 41 55 expcosexpsin 52 iE tiE t xx ex e txt amaamaa t x 2 2 2 0 116 0 0 215 a Wxdx 2 2 2 2 0 1163 cos 2152 a t W tx tdx ma 四 共30分 粒子在一维无限深方势阱中运动 受到微扰 0 2 xa 的作用 求第n个能级的一级近似 并分析所得结果的适用条件 V Ha a 解 解 零级能量 222 0 2 1 2 3 2 n n En ma 波函数 0 2 sin 0 0 0 n n x xa x aa xxa 能量的一级修正为 1 0 0 0 22 111 2 n nnn Ex Hx dxV n 一级近似下体系能量的近似值为 222 0 1 0 222 111 1 2 3 22 n nnn n EEEVn man 适用条件 00 1 mn nm H EE 或 00 00222 1 212 nm VV EEnma 即 22 0 2 n V ma 参考答案 2006 量子力学 甲 B 第 2 页 共 3 页 五 一个质量为m的粒子被限制在ra 和rb 的两个不可穿透的同心球面之间运动 不存在其它势 求粒子的基态能量和归一化的波函数 解 解 波函数可设为 rR r Y 设 u r R r r 则满足约化径向方程 u r 2 222 2 1 0 d uml l EV ru r drr 其中 对于基态 则方程变为 0 ra rb V r arb 0l 2 0 0 0 r ar b u rk u rarb uu u rra rb 其中 2 2mE k 其通解为 sin u rAkr b ar 由边界条件可以定解 由 得 0 r a uka 由u得 0 r b n k ba n1 2 故 22 22 2 kn mm 2 b 2 2 a n E 因此基态能量1 2n 22 1 E 2 2 m ba 又由归一化条件 22 2 00 1Rr r d rur dr 得 2 A ba 因此归一化的径向波函数为 1 R x 21 sin 0 r ba 0 raarb ra r ba b 又