山东省各市2012届高三数学理下学期模拟考试题分类解析--圆锥曲线.doc

山东省各市2012届高三数学（理）下学期模拟考试题分类解析圆锥曲线1、（2012济南3月模拟）过双曲线=1(a0,b0)的左焦点F，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为 . 【答案】【解析】设双曲线的右焦点为,连接PM,因为E为PF的中点，所以OE为三角形FPM的中位线，所以PM=2OE=，所以PF=3,EF=,又FE为切线，所以有，所以。2、（2012滨州二模）设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点PAl，A为垂足，如果AF的斜率为，那么PF答案：8解析：抛物线的焦点为F（2,0），准线为x2，因为PA准线l，设P（m,n），则A（2，n）,因为AF的斜率为，所以，得n，点P在抛物线上，所以8m（）248，m6，因此P（6，），PF8。3、（2012德州二模）设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为ABCD答案：C解析：双曲线的渐近线为：y，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，），P（c，），因为所以，（c，）（，），所以，1，解得：，又由，得：，解得：，所以，e，选C。4、（2012德州二模）设斜率为1的直线l过抛物线的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF（O为坐标原点）的面积为8，则a的值为 。答案：16解析：依题意，有F（，0），直线l为y=x，所以，A（0，），OAF的面积为：8，解得：a16，依题意，只能取a165、（2012德州一模）已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF轴，则双曲线的离心率为( ) A B C D答案：B解析：依题意，得F（p，0），因为AF轴，设A（p，y），所以y2p，所以，A（p，2p），又A点在双曲线上，所以，1，又因为cp，所以，1，化简，得：0，即：，所以，e，选B。6、（2012济南三模）若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围A B CD 答案：C解析：因为双曲线的渐近线为，要使直线与双曲线无交点，则直线，应在两渐近线之间，所以有，即，所以，即，所以，选B.7、（2012济南三模）过抛物线焦点作直线交抛物线于A,B两点，O为坐标原点，则AOB为A锐角三角形 B直角三角形 C不确定 D钝角三角形答案：C解析：设过A,B的坐标为，则，所以当，即，此时，三角形为直角三角形，当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，所以三角形的形状不确定，选C.8、（2012莱芜3月模拟）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .【答案】【解析】设，则，又为等差数列，所以，整理得，代入整理得，解得，所以双曲线的离心率为。9、（2012临沂3月模拟）设椭圆和双曲线的公共焦点分别为，为这两条曲线的一个交点，则的值为（A）3 （B） （C） （D）【答案】A【解析】双曲线的焦点为，所以椭圆中的，所以椭圆方程为，不妨设点P为第一象限的交点，根据双曲线和椭圆的定义可知，即，所以，选A.10、（2012临沂二模）已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点是抛物线的焦点，若为直角三角形，则该双曲线的离心率为（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，设直线与轴的交点为C,则,因为为直角三角形，所以根据对称性可知，则A点的坐标为，代入双曲线方程得，所以，所以离心率，选D.11、（2012青岛二模）已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点，若,则= A B C D 【答案】A【解析】设,直线过定点，,根据抛物线的定义可知B为AC的中点，所以，由，得，所以直线斜率，选A.11、（2012青岛3月模拟）已知双曲线的渐近线方程为,则它的离心率为 .答案：【解析】12、（2012日照5月模拟）过双曲线的左焦点且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C，使，则双曲线离心率的取值范围是 。答案：.解析：设双曲线的方程为，由，得.13、（2012泰安一模）F1、F2为双曲线C：（0，b0）的焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足MAB=30，则该双曲线的离心率为 .【答案】【解析】由，解得，即交点M的坐标，连结MB，则,即为直角三角形，由MAB=30得，即，所以，所以，所以双曲线的离心率.14、（2012威海二模）椭圆的离心率为，若直线与其一个交点的横坐标为，则的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为椭圆的离心率为，所以有，即，所以。当时，交点的纵坐标为，即交点为，代入椭圆方程，即，所以，选C.15、（2012烟台二模）已知F1，F2是椭圆（ab0）的左、右焦点，点P在椭圆上，且记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于A.B.C.D.答案：D解析：依题知，F1PF2P，所以，F1QOF1F2P，因为F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1：2，所以，所以，设椭圆的焦距为2c，则F1Pc，F2Pc，由椭圆的定义可得：cc2a，所以，e。16、（2012滨州二模）已知F1（1,0），F2（1,0）为平面内的两个定点，该平面内的动点P满足PF1PF22，记点P的轨迹为曲线E。（I）求曲线E的方程；（II）设点O为坐标原点，A，B，C是曲线E上的不同三点，且0，（i）证明：直线AB与OC的斜率之积为定值；（i i）当直线AB过点F1时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积。解析：（）由条件可知， 点到两定点的距离之和为定值，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆又，所以，故所求方程为（）设，由，得，（）可设直线的方程为，代入并整理得，依题意，则 ，从而可得点的坐标为，因为，所以直线与的斜率之积为定值（）若轴时，,由，得点，所以点不在椭圆上，不合题意因此直线的斜率存在由（）可知，当直线过点时, 有，点的坐标 代入得，即，所以 （1）当时，由（）知，从而故、及轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为，且底边上的高，所求等腰三角形的面积（2）当时，又由（）知，从而，同理可求直线、与轴所围成的三角形的面积为 综合（1）（2），直线、与轴所围成的三角形的面积为17、（2012德州二模）已知椭圆C的中心为原点O，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时， （I）求椭圆C的方程； （II）已知点P为椭圆的上顶点，且存在实数成立，求实数t的值和直线l的方程。解析：解：（）设椭圆C的方程为：（ab0），则a2b2=1当l垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是（1，）和（1，）， =（1，）（1，）=1，则1 ，即a2=2b4由，消去a，得2b4b21=0b2=1或b2=当b2=1时，a2=2 因此，椭圆C的方程为（II）当直线斜率不存在时，易求A（1，），B（1，），P（0,1），所以（1，1），（1，1），（1，1），由，得t2，直线l的方程为x1当直线斜率存在时，设直线l的方程为yk（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），所以，（x1，y11），（x2，y21），（1，1），由，得即因为y1k（x11），y2k（x21），所以，y1y2k（x1x22），解得：k1此时，直线l的方程为yx1，联立，得3x24x0，tx1x2，所以，当直线斜率存在时，t，直线l的方程为yx1，综上所述，存在实数t且t2时，直线方程为x1，当t时，直线l的方程为yx1，18、（2012德州一模）设椭圆C：的一个顶点与抛物线：的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点F2的直线与椭圆C交于M、N两点 (I)求椭圆C的方程； ()是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由； （）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MNAB，求的值解析：（I）椭圆的顶点为(0，)，即b，e，所以a，椭圆的标准方程为1.（II）由题可知，直线l与椭圆必相交.当直线斜率不存在时，经检验不合题意.设存在直线l为yk(x1)(k0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2).由得(23k2)x26k2x3k260，x1x2，x1x2，x1x2y1y2x1x2k2x1x2(x1x2)1k2(1)1所以k，故直线l的方程为y(x1)或y(x1).(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)由(2)可得：|MN|x1x2|.由消去y，并整理得x2，|AB|x3x4|2，619、（2012济南3月模拟）已知椭圆的焦点坐标为（-1,0），（1,0），过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，（1） 求椭圆的方程；（2） 过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1） 设椭圆方程为=1（ab0）,由焦点坐标可得c=11分 由PQ|=3，可得=3，2分 解得a=2，b=，分故椭圆方程为=14分（2） 设M，N,不妨0, 0,设MN的内切圆的径R，则MN的周长=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，6分，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得+6my-9=0，分得， 则AB（）=，9分令t=,则t1,则,10分令f（t）=3t+，则f(t) =3-，当t1时，f(t)0,f(t)在1,+)上单调递增， 有f(t)f(1)=4, =3,即当t=1,m=0时，=3, =4R，=，这时所求内切圆面积的最大值为.故直线l:x=1，AMN内切圆面积的最大值为12分0、（2012济南三模）已知直线，,直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等,椭圆的离心率() 求椭圆的方程；() 过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由命题立意：考查椭圆方程及其性质，椭圆与向量知识的综合。易错点拔：向量的坐标乘法运算时，运算量比较大，容易出错，解题时要特别细心。解题思路： ()则由题设可知， 又 所以椭圆C的方程是. ()解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理，得 设点A、B的坐标分别为，则 因为及所以 当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T， 所以解得此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. 当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. 解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是 若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 由解得.由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. 事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）； 当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得8分设点A、B的坐标为，则 因为， 所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件. 21、（2012莱芜3月模拟）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且. （）求椭圆的离心率； （）D是过三点的圆上的点，D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程； （）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由.【解析】（）设B（x0，0），由（c，0），A（0，b），知 ，由于 即为中点故， 故椭圆的离心率 -4分（）由（1）知得于是（，0）, B，ABF的外接圆圆心为（，0），半径r=|FB|=,D到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为，所以，解得=2，c =1，b=， 所求椭圆方程为. -8分（）由（2）知, ： 代入得 设，则， -9分由于菱形对角线垂直，则故则 -10分由已知条件知且 故存在满足题意的点P且的取值范围是 -12分22、（2012青岛二模）已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：（）求的标准方程；（）请问是否存在直线同时满足条件：()过的焦点；()与交于不同两点、，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由（）已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的弦、分别另交椭圆于、两点当直线的斜率变化时，直线是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由解：（）设抛物线，则有，据此验证个点知、在抛物线上，易求 2分 设：，把点（2，0）（，）代入得： 方程为 4分 （）容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为,由消去，得 ， 于是 ， 7分即由，即，得将、代入（*）式，得 ，解得；所以存在直线满足条件，且的方程为：或9分（）设直线的斜率为，则：，：则化简得：此方程有一根为，同理可得11分则所以的直线方程为令，则.所以直线过轴上的一定点 14分23、（2012青岛3月模拟）已知椭圆：的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点（）求椭圆的方程；（）已知两点及椭圆:,过点作斜率为的直线交椭圆于两点,设线段的中点为,连结,试问当为何值时,直线过椭圆的顶点?() 过坐标原点的直线交椭圆:于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于，求证：.解：（）连接为坐标原点,为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为因为是的中位线，且,所以所以，故,在中，,即,又,解得所求椭圆的方程为 () 由（）得椭圆:设直线的方程为并代入整理得:由得: ,设则由中点坐标公式得:,当时,有,直线显然过椭圆的两个顶点; 当时,则,直线的方程为此时直线显然不能过椭圆的两个顶点;若直线过椭圆的顶点,则即所以,解得:(舍去) .若直线过椭圆的顶点,则即所以,解得:(舍去) ,综上,当或或时, 直线过椭圆的顶点.（）法一：由（）得椭圆的方程为 ,根据题意可设，则则直线的方程为过点且与垂直的直线方程为并整理得：,又在椭圆上，所以所以,即、两直线的交点在椭圆上,所以 法二：由（）得椭圆的方程为根据题意可设，则，所以直线，化简得所以因为,所以,则.所以，则,即.24、（2012日照5月模拟）已知椭圆的离心率为，且过点过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点.（）求椭圆的方程；（）在轴上是否存在点M，使是与无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（17） 解：（）椭圆离心率为，. 又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得.所以. 椭圆方程为，即. 4分（）在x轴上存在点M，使是与K无关的常数. 5分 证明：假设在x轴上存在点M（m,0）,使是与k无关的常数， 直线L过点C（-1，0）且斜率为K,L方程为， 由 得. 设，则 6分 7分 是与k无关的常数，设常数为t，则. 10分整理