基于有限元数值模拟永磁轨道上方高温超导块材悬浮力.doc

基于有限元数值模拟永磁轨道上方高温超导块材悬浮力基于有限元数值模拟永磁轨道上方高温超导块材悬浮力 刘敏贤 1 党巧红2 1 西南科技大学计算机科学与技术学院 四川 绵阳 621010 2 洛阳理工学院 河南 洛阳 471023 摘要 摘要 本文采用有有限元计算方法和有限差分法对高温超导块材电磁场进行模拟 计算了永磁轨道上方超导块材所受到的磁悬浮力 文中给出了一种基于有限元的 3D 模型数值计算方法 模型采用了电磁场磁矢量法 H 方法 模型中采用 Kim 模 型来描述高温超导块材的临界电流密度 Jc 采用 E J 幂指数来描述超导块材的本构 关系 该计算模型采用 Fortran 语言开发平台编写了有限元求解代码实现整个算法 最后通过实验方法验证该计算模型的有效性 关键词关键词 FEM 数值模拟 三维模型 HTSC Numerical simulation of the levitation force of HTSC bulk above permanent magnetic LIU Min xian1 DANG Qiao hong2 1 School of Computer Science and Technology Southwest University of Science and Technology Mianyang Sichuan 621010 P R China 2 Luoyang Institute of Science and Technology Luoyang Henan 471023 P R China Abstract This paper presents a 3D modelling numerical method using finite element method FEM to simulate the levitation force of high temperature superconductors HTSC above permanent magnetic guideway The models are formulated with the magnetic field vector H method The electromagnetic properties of HTSC are described though Kim critical state model The current distribution in the bulk HTSC above the permanent magnetic guideway PMG is obtained using the proposed method The magnetic levitation forces between the bulk HTSC and the PMG are calculated Compared with the experimental results the calculation results are agreed with the experimental results which show that the method is validly to simulate the levitation force above permanent magnetic Keywords FEM Numerical simulations 3D model HTSC 1 介绍介绍 高温超导块材的自稳定悬浮特性使得无摩擦轴承 储能飞轮和超导磁悬浮传输系统的 潜在运用成为可能 1 4 为了优化设计这些设备的性能 很有必要对高温超导块材的电磁 特性进行模拟计算 由于高温超导块材内部存在籽晶边界效应 其内部临界电流密度沿 a b 面的大小是电流密度沿 c 轴的两倍 对于其 E J 本构关系 与常导体的描述完全不相同 E J 幂指数假定电场强度 E 是与电流密度 J 的幂指数紧密相关的 Kim 模型假定高温超导 块材的临界电流密度 Jc 不仅仅与该位置的电密度 J 相关 还和该位置的磁场强度大小相关 这些是高温超体的 E J 非线性特性和高温超导材料非线性特性 由于高温超导体的这些 电磁强非线性特性 很难用数值的方法来模拟高温超导体的电磁特性 在最近这些年 针对此类电磁问题 出现了一些数值计算方法和解析计算方法 对于 2D 模型 局限于与其相关的简单几何模型以及在各向同性的假设下和轴对称外磁场的假设 下 研究者提出了几种解析计算方法 3 5 对于 3D 模型 由于很难处理高温超导体的电 磁非线性特性和受限于电脑运算能力 很少有相关报到见诸于报到 本文给出了一个基于有限元方法的 3D 模型 运用此数值模型对高温超导电磁特性进 行了模拟计算 模型使用了两块虚拟超导块材叠加的处理方法来解决非线性材料问题 模 型中使用了一种迭代的方法用于迭代求解 E J 非线性特性 模型中还使用了向前差分法用 于处理时间空间问题 有限元求解代码是在 FORTRAN 语言平台下编写的 2 基本模型基本模型 Z Y X PMG FeNdFeB A B H 图 1 高温超导块材与永磁轨道组成的磁悬浮系统 Fig 1 HTSC bulk vs PMR levitation system 图 1 给出了超导体和导轨相互作用的三维坐标示意图 假设高温超导体沿着导轨纵向 无限长 6 其中超导块材 a b 面平行于导轨表面 x 轴和 z 轴分别沿着导轨的横向和纵向 y 轴垂直于导轨表面 图中给出了永磁导轨在二维平面内的截面磁力线分布 实验和数值 计算过程中 首先 超导样品在永磁轨道正上方沿竖直方向由位置 A 以 1 毫米 秒的速度 向下向位置 B 移动 当超导样品到达位置 B 后 又以同样的速度返回向位置 A 处移动 最后停留在 A 处 在求解中 求解区域包括超导区域 1 1和非超导区域 2 2 如图 2 所示 y z x 1 2 图 2 三维计算模型示意图 Fig 2 Diagram of three dimension HTSC bulk 3 基本方程基本方程 根据 Maxwell 安培定律和法拉第电磁感应定律 1 t B HJ E 由于这里描述的是准静态问题 通常假设位移电流密度为零 即 0 t D B H 本构关系可描述为 2 BH 对于高温超导体 其 E J 本构关系可以由下式描述 3 0 JJ E HJ n scsc scc cscsc E J 其中 Esc Jsc 和 Hsc 分别是高温超导块材的电场强度 电流密度和磁场强度 Ec0 是 描述材料特性的一个温度相关常数 Jc 是高温超导块材的临界电密度 其中临界电流密度 Jsc与磁场强度 Hsc的关系可以由 Kim 模型来描述 如下所示 4 0 0 1 H H c csc sc c J J H 这里 Jc0 和 Hc0 分别是与材料特性和温度相关的常数 为了简化微分方程的推演过程 我们使用了虚拟欧姆定律 5 1 EJ scsc sc 这里 是高温超导块材的有效电导率 sc 6 0 1 E J JHH n sccsc scsccsccsc E JJ 对于高温超导三维模型的非线性材料问题 研究认为沿 c 轴的临界电流密度 Jc是沿 a b 面临界电流密度的三分之一 我们假定沿 c 轴流动的电流密度所受到的电阻率三倍于沿 a b 平面流动的电流密度所受到的电阻率 方程 5 又可以写成 7 1 3 E TT scscxscysczscxscyscz sc EEEJJJ 将方程 1 和方程 2 代入方程 7 我们可以得到方程 8 8 0 1 2 0 H scx scyscy sc scz J JJ t J 这里高温导块材在数学上由两部分组成 一部分是由各向同性超导材料组成 另一部分 是由仅由沿 c 轴方向电导率不为零的超导块材组成 对于所有计算区域的超导及非超导区域 将方程 1 代入方程 8 并且考虑到 于是方程 8 可以写成如下方程 scyxz JHzHx 9 1 0HHQ t 这里指的是子区域 2 是指的是子区域 1 并且定 0 air sc 1 义矢量 Q为为 0 2 0 Q T xz HzHx 公式 9 是一个含时间变化参量的电磁偏微分方程 它是由法拉第电磁感应定律 安 培定律和 E J 幂指数关系式推演而出的 磁场 H 的分量 Hx Hy Hz 是待求解量 对于描述某具体物理现象的偏微分方程 要想得到稳定的定解 必须给出合适的边界条 件 对于控制方程 9 Dirichlet 和 Neumann 边界条件用于描述这里的电磁边界条件 在 超导区 1 与非超导区 2 交界处的边界应该满足连续边界条件 10 1122nn HH 计算区域的最外边界 2 属于动态边界条件 这里我们使用一个时间相关的函数来描述 H 2 r t f 2 r t 11 这里函数 f 2 r t 描述了高温超导块材外界的非均匀磁场在边界 2 处随时间的变化而 变化 4 数值求解过程数值求解过程 在本论文中 我们使用了有限元方法 FEM 和有限差分方法来建立数值求解代码进而对 此高温超导块材电磁非线性强耦合问题进行求解 模型中使用了直接迭代方法来处理非线性偏微分方程 9 如下所示 12 1 11 1 1 0 HH HQ i ii nn nn ii nn t 上标 i i 1 2 暗示了迭代步骤 下标 n 暗示了时间空间推演步骤 Hn 1 是时间推演的 第 n 步骤时的稳定解 时间变分 t 指明了时间推演步每次迭代时的时间步大小 当前计 算区域位于超导区域时 有效电导率 和参数满足 sc sc 和 1 方程 12 又可以变换为 13 111 1 HHQH iii nnnn ii nn tt 模型中使用四面体单元对计算区域进行离散剖分处理 这些属于外边界上的单元结点上 的值由于属于边界条件方程 11 描述 由方程 11 计算得出 代数方程组可由下面矩阵表达 式描述 14 11 AIHC QF ii nn 这里 A 和 C are 分别是方程 14 第二项和第三项的系数矩阵 I 是方程 14 第一 项相关的单位矩阵 F is 是与 Hn 1相关的负载列向量 很明显 矩阵 A 和 C 是与有 效电导率 sc sc紧密相关的 数值求解的主要过程可以很简明地如图描述 t 0 h h0 h 2 r t 0 f 2 r t 0 sc A C F Hi 1 t t dt n t i 1 i sc i sc 1 Hi Hi 1 i i 1 n T T 6 1 i sc N Y Y N 图 3 数值求解流程图 Fig 3 The flowchart of the solution 当计算出来磁场强度和电流密度分布后 高温超导块材所受到的磁悬浮力可以由公式 15 计算得出 15 FJB emex v dv 这里 V 代表高温超导块材的体积 J 是电流密度 Bex 是高温超导所受到的外磁感 应强度 5 计算结果与讨论计算结果与讨论 实验采用图 1 所示的轨道结构 各种参数如表 1 所示 其高温超导超导块材采用有色研 究院烧制的 YBCO 块材 计算中的轨道与块材的参数如表 1 所示 表 1 仿真与试验计算参数 Table 1 the parameter of the simulation and experiment 名 目数值 类型 超导块材尺寸 直径 厚度 30mm 15mm 永磁轨道磁化强度 M087000A m2 超导块材竖直测试高度范围 H55mm 5mm 测试速度1mm s 超导块材下表面距轨道上表面最短距离5mm 超导块材临界电流密度 Jc4 0 x107A m2 超导块材中的 Ec1 0 x10 4V m 永磁轨道类型分布对称式永磁轨道 永磁轨道尺寸 宽 x 高 90 x50 mm 超导块材冷却方式零场冷 图 4 给出了在轨道正上方高温超导块材磁悬浮实验测试与仿真计算悬浮力曲线图 从 图 4 中可以看出 悬浮力往复测试呈现出典型的悬浮力磁滞现象 这是因为高温超导体材 料的磁滞特性决定的 对比实验测试结果 高温超导磁悬浮力数值计算与实验所得到的力 曲线图能够较好的吻合 趋势接近一致 这说明该仿真计算方法是有效的 能较好的反映 高温超导块材与永磁轨道相互作用的机理 010203040506070 0 10 20 30 40 悬浮力 N 竖直位移 mm 实验测试值 仿真计算值 图 4 悬浮力测试与仿真计算曲线图 Fig 4 Comparisons of experimental and calculated results of the levitation force 图 5 显示了超导样品在不同临界电流密度 Jc 情况下磁悬浮力 位移曲线图 从图 5 可 以看出 磁 悬浮力 位移磁滞恢复曲线所围的面积随着临界电流密度 Jc 的增加而减少 这 是因为 当超导块材的临界电流密度较低时 当样品受到外磁场的作用 磁场更容易穿透 到超导块材内部 同样的 不通的临界电流密度 块材所有的最大悬浮也不一样 从图 4 可以看出 临界电流密度越大 所受的最大悬浮力也越大 这也和实验测试结果相吻合 7 051015202530354045505560 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1 0 x108A m2 1 5x108A m2 2 0 x108A m2 2 5x108A m2 3 0 x108A m2 3 5x108A m2 4 0 x108A m2 悬浮力 N 竖直位移 mm 临界电流密度 Jc 图 5 不同电流密度下磁悬浮力 位移曲线 E0 1 0 x10 4 A m Fig 5 The levitation force with different critical current density E0 1 0 x10 4 A m 6 结论结论 基于磁矢量方法 H 方法 和有限元方法 成功地在 FORTRAN 平台开发出了一个 3D 模型数值计算代码 此数值计算模型着眼于高温超导电磁场的模拟计算 使用此数值计算 系统 能计算出高温超导块材与永磁轨道之间的悬浮力 通过实验验证 该计算方法能准 确的计算出高温超导的悬浮力 参考文献参考文献 1 John R Hull Applications of high temperature superconductors in power technology Phys 66 1865 1886 2003 2 Murakami M Progress in applications of bulk high temperature superconductors Physica C 341 348 2281 2284 2000 3 L Shultz O de Haas P Verges C Beyer S Rohlig H Olisen L Kuhn D Berger U Noteboom and U Funk IEEE Trans Appl Supercond vol 15 pp 2031 2035 Jun 2005 4 P T Putman Y X Zhou H Fang A Klawitter and K Salama Supercond Sci Technol vol 18 pp S6 S9 2005 5 Prigozhin L The Bean model in superconductivity variationa