§4.1 矩阵的特征值与特征向量.ppt

数学与应用数学系 4 1矩阵的特征值与特征向量 方程组等问题 也都要用到特征值的理论 工程技术中的一些问题 如振动问题和稳定 性问题 常可归结为求一个方阵的特征值和特征 向量的问题 数学中诸如方阵的对角化及解微分 作下面的乘法得 引例设 只是原像的倍数 我们可以从映射的角度看待上述运算 即由二 阶实矩阵A定义了一个由全体二元实向量集合 R2到R2自身的一个映射 它的对应法则为 a R2 Aa R2 在此映射下 二元实向量a1 a2的像Aa1 Aa2 向量有些什么性质 从几何上看 像与原像在一条直线上 而 向量a3的像Aa3就不具有这个性质 我们把 a1 a2称为矩阵A的特征向量 数 1与3分别 称为a1 a2对应的特征值 那么 是否任何一 个方阵都有特征值与特征向量 特征值与特征 题 这是本节要讨论的主要问 一 特征值与特征向量的定义 定义1设A是n阶矩阵 如果数和n维非零列向量x使 关系式 成立 那么 这样的数称为矩阵A的特征值 非零向量 称为A的对应于特征值的特征向量 注 n阶方阵A的特征值 就是使齐次线性方程组 有非零解的值 即满足方程的都是矩阵 A的特征值 称关于的一元n次方程 为矩阵A的特征方程 称关于的一元n次多项式 为矩阵A的特征多项式 定理4 1 1 特征向量的求法 设为方阵A的一个特征值 则由方程 可求得非零解 那么便是A的对应于特征值 的特征向量 且A的对应于特征值的特征向量全 体是方程的全体非零解 即设 为方程的基础解系 则A的对应于特征 值的全部特征向量为 不全为0 注意 特征向量不唯一 一个特征向量对应一个特征值 但一个特征值 可以对应多个特征向量 例4 1 1求矩阵的特征值和特征向量 例4 1 2求矩阵的特征值和特征向量 解 即A的特征值为 当时 解方程 由 得基础解系 所以是对应于全部特征向量 当时 解方程 由 得基础解系 所以对应于全部特征向量为 不同时为0 例2设矩阵A为对合矩阵 即A2 E 且A的特征值都是1 证明 A E 二 特征值与特征向量的性质 定理4 1 2n阶方阵A与它的转置矩阵有相同的特征 多项式和特征值 定理4 1 3设n阶矩阵的特征值为 则有 例4 1 3求证 n阶方阵A不可逆 当且仅当A有一个特征 值为零 定理4 1 4矩阵A的互不相等的特征值对应 的特征向量线性无关 例4 1 4设是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特 征向量依次为 试证明不是矩阵A的特征向 量 例4 1 5设是方阵A的特征值 证明 1 是的特征值 2 当A可逆时 是的特征值 例3设 是方阵A的特征值 1 证明 k是Ak的特征值 k为正整数 2 设 a0 a1 am m A a0E a1A amAm 证明 是 A 的特征值 例4设A为可逆矩阵 为A的特征值 p为对应的特征向量 证明 分别为A 1与A 的特征值 p分别为A 1与A 对应的特征向量 例4 1 6设是n阶可逆方阵A的特征值 1 求矩阵的一个特征值 2 求矩阵和的一个特征值 例4 1 7方阵A满足等式 求A的特征值 定理