《线性代数考研资料》第五章 特征值与特征向量.doc

专业 权威 轻松 快乐 华慧考研：/第五章 特征值与特征向量一、特征值与特征向量1（95，八题，7分）设三阶实对称矩阵A的特征值为，对应于的特征向量为，求A【分析】解本题的关键是注意A为实对称矩阵，在已知A的三个特征值和三个线性无关特征向量后，由公式可解出【详解】设对应于的特征向量为，根据A为实对称矩阵的假设知，即，解得 于是由有2（98，填4题，3分）设A为n阶矩阵，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则必有特征值【分析】本题从特征值、特征向量的定义进行推导即可【详解】设，则即从而可见必有特征值3（99，填4题，3分）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是【分析】因为r(A)=1，所以【详解】因为故矩阵A的n个特征值是n和0（n-1重）因此本题应填4（99，十题，8分）设矩阵，其行列式，又A的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为，求和的值【分析】利用，把转化为是本题的关键【详解】根据题设有，又于是即也即由此可得 解此方程组，得又由，有故因此5.（03，九题，10分）设矩阵，求B2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵【分析】可先求出，进而确定及B2E，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与特征向量，最终根据B2E与相似求出其特征值与特征向量。【详解1】经计算可得，从而 故B2E的特征值为当时，解，得线性无关的特征向量为 所以属于特征值的所有特征向量为，其中是不全为零的任意常数当时，解，得线性无关的特征向量为 所以属于特征值的所有特征向量为，其中为非零的任意常数【详解2】设A的特征值为，对应特征向量为，即由于，所以又因，故有于是有因此，为B2E的特征值，对应的特征向量为由于故A的特征值为当时，对应的线性无关特征向量可取为 当时，对应的一个特征向量为 由，得因此，B2E的三个特征值分别为9，9，3对应于特征值9的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数；对应与特征值3的全部特征向量为，其中为非零的任意常数6（06，（21）题，9分）设3阶实对称矩阵A的各行元素和均为3，向量，是线性方程组Ax0的两个解（）求A的特征值与特征向量（）求正交矩阵Q和对角矩阵,使【分析】本题为矩阵对角化问题，由于矩阵A未给定，故必须利用行和相等与实对称矩阵的已知条件求解【详解】（）因为是齐次方程组Ax0的两个解，即 所以0是A的一个特征值，是对应的两个特征向量，又线性无关，故特征值0的代数重数至少是2已知A各行元素之和均为3，取，则，说明3是A的另一个特征值，是对应的特征向量，且特征值3的代数重数至少为1因为矩阵A的互异特征值的台属重数之和等于A的阶数，且已知A是3阶方阵，故0是A的2重特征值，其对应的特征向量为（为不全为零的任意实数）；3是A的1重特征值，其对应的特征向量为（为任意非零实数）（）令则是A的标准正交的特征向量，取正交矩阵Q和对角矩阵 ， 则 二、相似矩阵与相似对角化1（97，七（2）题），6分）已知是矩阵的一个特征向量，（）试确定参数及特征向量所对应的特征值（）问A能否相似于对角阵？说明理由【分析】本题试一道有关特征值，特征向量以及能否相似与对角阵的问题，A能否相似与对角阵取决于A是否存在3个线性无关的特征向量【详解】（）由题设，有，即也即解得（）由，知可见为A的三重根，但秩r(-E-A)=2，从而对应的线性无关特征向量只有3r(-E-A)=1个，故A不可对角化2（00，十一题，8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为和，记成向量（1）求与的关系式并写成矩阵形成：；（2）验证式A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；（3）当时，求【分析】本题是线性代数部分的综合应用题，第一步要求根据题意建立递推关系的数学模型；第二步用行列式检验两个二维向量线性无关；第三步相当于求矩阵的n次幂，可利用对角化得到【详解】（1）由题意，得 化简可见 （2）因为行列式 可见线性无关 又故为A得特征向量，且相应的特征值 为A的特征向量，且相应的特征值 （3）因为 因此只要计算即可 令 则由 有 因此3（01，十题，8分）已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组线性无关，且满足（1）记，求2阶矩阵B，使；（2）计算行列式【分析】第一问实际上是求A的相似矩阵，但这里不一定是特征向量，所以这并不是通常的相似对角化问题，但仍可采用相似对角化的思想，即将改写成APPB，从而确定出B；在第二问中，根据第一问中确定的B，由A与B相似，可知AE与BE也相似，而相似矩阵有相同的行列式，于是根据可求出所需要的行列式。对于本题而言，第二问还有另外一种解法：由有，即，由于线性无关，所以，因此，A有一个特征值为0，同理A有特征值3和1，从而【详解】（1）方法一因为AxAx 于是综合上述三式有即也即，其中方法二：设，则有APPB得上式可写成将代入式得由于线性无关，故由式可得由式可得由式可得故 方法三：将改写成故为A得特征值，为属于3得特征向量；同理可得也是A得特征值，为对应于特征值1得特征向量；也是A的特征值，为对应于特征值0的特征向量令但另一方面，Q为特征向量组成的矩阵，所以为由对应的特征值组成的对角方阵：所以（2）由（1）知，A与B相似，故A+E与B+E也相似，于是有4（02，十题，8分）设A,B为同阶方阵（1）如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等（2）举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立（3）当A，B均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立【分析】对于本题，主要考查两个同阶矩阵相似的定义以及相似的必要条件而非充分条件；两实对称方阵相似的充要条件第一问实际上是一种循环证明，但在证明中可能弄不清应是由谁证谁，在第二问中，虽特征多项式相等，但并不相似，事实上，二阶方阵当为二重特征时，只有两个标准型：与，而前者只与它自己相似，所以其他都与相似，故必与相似【详解】（1）若A，B相似，则存在可逆矩阵P，使得，故（2）令则但A，B不相似，否则，存在可逆矩阵P，使，矛盾（3）由A，B均为实对称矩阵知，A,B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为，则有即存在可逆矩阵P，Q，使于是故A，B为相似矩阵5（04，21题，9分）设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论A是否可相似对角化【分析】先求出A的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A是否可相似对角化即可【详解】A的特征多项式为当是特征方程的二重根，则有4161830，解得当时，A的特征值为2，2，6，矩阵的秩为1故对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化若不是特征方程的二重根，则为完全平方，从而，解得当时，A的特征值为2，2，4，矩阵的秩为2，故对应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化2011年考研英语远程辅导全程班考研考什么？考的就是英语！每年考研英语超过60分的考生占总报考人数的比例不足15%，国家最高控制分数线从没超过58分。专业课再优秀，如果英语不过关，也与硕士无缘。可是，英语基础本来就不怎么样，学起来又枯燥；备考时间不多，又苦于没有有效的复习方法；自学的效果非常差，怎样才能在短时间内突破考研英语瓶颈呢？词汇记不住：是我们的记忆有问题，还是学习方法不对？阅读看不懂：是依靠大辞典，还是有更好的办法？写作、翻译无从下手：自认为构思还可以，可就是表达不出来，有什么玄机呢？针对广大考生存在的问题，华慧考研英语专业辅导团队集多年考研辅导经验，精确把握历年考研英语的命题思路，针对学员的英语基础开设不同层次的辅导班。 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