中心极限定理与参数估计.doc

第四章 中心极限定理与参数估计 授课题目：4.1 切贝谢夫不等式与大数定律 教学目的与要求： 理解切贝谢夫不等式掌握其有关概率估计；充分了解贝努里大数定律及切贝谢夫大数定律。 教学重点与难点： 重点：切贝谢夫不等式及有关概率估计。难点：切贝谢夫不等式及有关概率估计，贝努里大数定律及切贝谢夫大数定律的理解。 授课时间：2课时 讲授内容：一 切贝谢夫不等式考虑随机变量，已知存在数学期望与方差，方差说明随机变量的取值对数学期望的离散程度，那末如何应用方差具体估计随机变量的取值对数学期望的离散程度？切贝谢夫不等式解决了这个问题。1、切贝谢夫不等式 如果随机变量存在数学期望与方差，则对于任意常数，都有不等式 或者 注意：（1）切贝谢夫不等式有两种表达形式，这两种表达形式是等价的。 （2）由切贝谢夫不等式 可以得到：若方差越小，则概率越大，说明随机变量的取值在数学期望附近的密集程度越高；若方差越大，则概率越小，说明随机变量的取值在数学期望附近的密集程度越低。 （3）在使用切贝谢夫不等式时，要求随机变量的数学期望与方差一定存在，这时无论随机变量的概率分布已知或未知，都可以对事件发生的概率进行估计。 2、切贝谢夫不等式的应用举例例1、已知电站供电网有电灯10000盏，夜间每一盏灯开灯的概率皆为0.8，且它们开关与否相互独立，试利用切贝谢夫不等式估计夜晚同时开灯的灯数在7800盏8200盏之间的概率。解 夜晚同时开灯的灯数是一个离散型随机变量，它服从参数为的二项分布，即 计算数学期望 方差 事件表示夜晚同时开灯的灯数在7800盏8200盏之间，它还可以记作 即 由此可知在切贝谢夫不等式中应取常数 利用切贝谢夫不等式估计所求概率 所以夜晚同时开灯的灯数在7800盏8200盏之间的概率不小于，说明只要有供应盏灯的电力就能以相当大的概率保证盏灯使用。例2、投掷一枚均匀硬币次，试利用切贝谢夫不等式估计出现正面次数在次次之间的概率。解 出现正面次数是一个离散型随机变量，它服从参数为的二项分布，即计算数学期望 方差 事件表示出现正面次数在次次之间，它还可以记作 即 由此可知在切贝谢夫不等式中应取常数 利用切贝谢夫不等式估计所求概率 所以出现正面次数在次次之间的概率不小于。例3、已知连续型随机变量服从区间上的均匀分布，试利用切贝谢夫不等式估计事件发生的概率。解 由于连续型随机变量服从区间上的均匀分布，因而数学期望 方差 利用切贝谢夫不等式估计事件发生的概率 例4、已知离散型随机变量服从参数为的泊松分布，试利用切贝谢夫不等式估计事件发生的概率。解 由于离散型随机变量服从参数为的泊松分布，因而数学期望 方差 所以利用切贝谢夫不等式估计事件发生的概率 例5、已知随机变量存在数学期望与方差，且数学期望，试利用切贝谢夫不等式估计事件发生的概率。解 根据计算方差的公式，得到方差 所以利用切贝谢夫不等式估计事件发生的概率 一、 大数定律在第一章 第二节中我们是通过事件发生频率的稳定性来定义事件发生的概率的，下面给出理论上的说明。定义1已知个随机变量以及常数,设随机变量,若对于任意常数,当充分大时,都有概率与数充分接近,则称随机变量依概率收敛于,记作 定义1的说明: 随机变量依概率收敛于,意味着当充分大时, 随机变量在区间内取值几乎就是必然事件，这也同时说明了随机变量在区间外取值几乎就是不可能事件。贝努里大数定律 如果随机变量表示在次独立重复试验中事件发生的次数，且在一次试验中事件发生的概率为，则对于任意常数，当充分大时，事件发生的频率即随机变量在区间内取值的概率与数1充分接近，即 贝努里大数定律说明：当独立重复试验进行多次时，随机事件发生的频率是稳定的，在其概率附近摆动，而摆动中心就是概率，即随机事件发生的频率依概率收敛于它的概率。它为概率的统计定义提供了理论依据。根据贝努里大数定律大数定律，若某随机事件发生的概率很小，则其发生的频率也是很小的。切贝谢夫大数定律 如果随机变量相互独立，且具有相同的有限的数学期望与方差 ，则对于任意常数，当充分大时，随机变量在区间内取值的概率与数充分接近，即 切贝谢夫大数定律说明：对于个相互独立且具有具有相同的有限的数学期望与方差的随机变量，当充分大时，经过算术平均所得到随机变量的离散程度是很小的，其取值密集在数学期望附近。它为测量工作中以实际观测值的算术平均值作为测量精确值的近似值这一测量方法提供了理论依据。 小结与提问：本次课，我们介绍了切贝谢夫不等式与大数定律，应