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习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1); (2); (3); (4). 证明 (1)分析 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 要使|(3x-1)-8|0, $, 当0|x-3|d时, 有|(3x-1)-8|e , 所以. (2)分析 |(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 要使|(5x+2)-12|0, $, 当0|x-2|d时, 有|(5x+2)-12|0, $, 当0|x-(-2)|0, $, 当时, 有, 所以. 2. 根据函数极限的定义证明: (1); (2). 证明 (1)分析 , 要使, 只须, 即. 证明 因为e 0, $, 当|x|X时, 有, 所以. (2)分析 , 要使, 只须, 即. 证明 因为e0, $, 当xX时, 有, 所以. 3. 当x2时, y=x24. 问d等于多少, 使当|x-2|d时, |y-4|0. 001？ 解 由于x2, |x-2|0, 不妨设|x-2|1, 即1x3. 要使|x2-4|=|x+2|x-2|5|x-2|0. 001, 只要, 取d=0. 0002, 则当0|x-2|d时, 就有|x2-4|X时, |y-1|0, $X10, 使当x-X1时, 有|f(x)-A|0, 使当xX2时, 有|f(x)-A|X时, 有|f(x)-A|0, $d0, 使当0|x-x0|d 时, 有|f(x)-A|e . 因此当x0-dxx0和x0xx0+d 时都有|f(x)-A|0, $d10, 使当x0-d1xx0时, 有| f(x)-A0, 使当x0xx0+d2时, 有| f(x)-A|e . 取d=mind1, d2, 则当0|x-x0|d 时, 有x0-d1xx0及x0xx0+d2 , 从而有| f(x)-A|0及M0, 使当|x|X时, |f(x)|0, 当|x|X时, 有|f(x)-A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)-A+A|f(
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