线性规划类型及策略.doc

高中数学线性规划类型及策略 线性规划作为直线方程的一个简单应用，在高考中受到越来越多的重视。它出题的形式越来越灵活，并且线性规划与其他知识进行交叉融合，它不仅体现了高中数学常用的数学思想，如数形结合思想，转化与化归思想，而且还能体现了学生的综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，此知识点越来越受到出题者的青睐。纵观近几年的试题，对线性规划问题的类型及策略做一些探讨。一， 线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如（）时，可把目标函数变形为，则可看作在上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解. 例1. 设x，y满足约束条件求的最大值、最小值。解析 如图作出可行域，目标函数表示直线在y轴上的截距，可见当直线过A（1，0）时，截距值最大，当直线过点O（0，0）时，截距值最小。二, 非线性目标函数问题的解法当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：1 比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。例2 已知变量x，y满足约束条件则 的取值范围是（ ）.（A），6 （B）（，6，）（C）（，36，） （D）3，6解析 是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（，）时，取得最小值；当直线OM过点（1，6）时，取得最大值6. 答案A2.距离问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。例3 已知求x2y2的最大值与最小值.解析 作出不等式组表示的平面区域（如图）.设x2y2z，则z是以原点为圆心的圆的半径的平方.当圆x2y2z过点B（2，3）时，取得最大值，从而z取得最大值zmax223213；当圆x2y2z与直线AC：2xy20相切时，取得最小值，从而z取得最小值.设切点坐标为（x0，y0），则解得x0，y0.因此，zmin.故，当x2，y3时，x2y2取得最大值13；当x，y时，x2y2取得最小值.3 截距问题例4 不等式组表示的平面区域面积为81，则的最小值为_解析 令，则此式变形为，z可看作是动抛物线在y轴上的截距，当此抛物线与相切时，z最小，故答案为4.向量问题例5 已知点P的坐标（x，y）满足：及A（2，0），则的最大值是 .解析 =|cos AOP即为在上的投影长由cos AOP的最大值为5.三， 线性变换问题例6 在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A（x，y）|xy1，且x0，y0，则平面区域B（xy，xy）|（x，y）A的面积为 .解析 令xyu，xyv，则x，y.由xy1，x0，y0得u1，uv0，uv0.因此，平面区域B的图形如图.其面积为S211.四 ，与线性规划有关的综合问题例7 设不等式组所表示的平面区域面积为，记内整点的个数为 ,求的通项；，记的前项和为，且，若对一切，总有求m的取值范围解：.画可行域知：. 知=,故,=故当n=2或3时，故五， 线性规划的逆向问题例8 给出平面区域如图所示.若当且仅当x，y时，目标函数zaxy取最小值，则实数a的取值范围是 .解析 当直线yaxz（a0）过点（， ），且不与直线AC，BC重合时,z取得最大值，从而z取得最小值.kAC ，kBC .所以，实数a的取值范围是（ ， ）.作者简介：冀红波 男 中学一级教师