2006年数学建模B题题目即答案.pdf

B 题目 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一 从 1981 年发现以来的 20 多年间 它已 经吞噬了近 3000 万人的生命 艾滋病的医学全名为 获得性免疫缺损综合症 英文简称 AIDS 它是由艾滋病毒 医学全名为 人体免疫缺损病毒 英文简称 HIV 引起的 这种病毒破坏人的免疫 系统 使人体丧失抵抗各种疾病的能力 从而严重危害人的生命 人类免疫系统的 CD4 细胞在抵御 HIV 的入侵中起着重要作用 当 CD4 被 HIV 感染而裂解时 其数量会急剧 减少 HIV 将迅速增加 导致 AIDS 发作 艾滋病治疗的目的 是尽量减少人体内 HIV 的数量 同时产生更多的 CD4 至少要 有效地降低 CD4 减少的速度 以提高人体免疫能力 迄今为止人类还没有找到能根治 AIDS 的疗法 目前的一些 AIDS 疗法不仅对人体 有副作用 而且成本也很高 许多国家和医疗组织都在积极试验 寻找更好的 AIDS 疗 法 现在得到了美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据 ACTG320 见附件 1 是同时服用 zidovudine 齐多夫定 lamivudine 拉美夫定 和 indinavir 茚地那韦 3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度 每毫升血液里的数量 193A 见附件 2 是将 1300 多名病人随机地分为 4 组 每组按下述 4 种疗法中的一种 服药 大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度 这组数据缺 HIV 浓度 它的测试成本很高 4 种疗法的日用药分别为 600mg zidovudine 或 400mg didanosine 去羟基苷 这两种药 按月轮换使用 600 mg zidovudine 加 2 25 mg zalcitabine 扎西他滨 600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine 600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine 再加 400 mg nevirapine 奈韦拉平 请你完成以下问题 1 利用附件 1 的数据 预测继续治疗的效果 或者确定最佳治疗终止时间 继续 治疗指在测试终止后继续服药 如果认为继续服药效果不好 则可选择提前终止治疗 2 利用附件 2 的数据 评价 4 种疗法的优劣 仅以 CD4 为标准 并对较优的疗 法预测继续治疗的效果 或者确定最佳治疗终止时间 3 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下 600mg zidovudine 1 60 美元 400mg didanosine 0 85 美元 2 25 mg zalcitabine 1 85 美元 400 mg nevirapine 1 20 美元 如果病人需要考虑 4 种疗法的费用 对 2 中的评价和预测 或 者提前终止 有什么改变 1 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 摘要 人类最宝贵的生命时刻受着疾病的威胁 新的治疗方案的发现给人们的健康 增加了一份保障 对一种治疗方案的疗效评价与预测更是对这种疗法的发展前景起着关 键的决定作用 疗效不好甚至有严重负面作用的药物就应当及时制止应用于临床治疗 以免给人类造成重大损失 本文以艾滋病的几种疗法为研究对象 对其做出疗法的评价及疗效的预测 首先 我们对检测患病人群所得数据进行整理 按实际情况抽取其中的有用数据 然后根据这 些数据模拟血液中 CD4 HIV 的含量关于时间 t 的函数关系 并根据所得函数进行疗效 预测 得到治疗方案的优劣以及最佳终止治疗时间的判定 然后 对较优的艾滋病疗法采用灰色系统理论 建立 GM 1 1 预测模型 来确定较 优方案继续治疗的疗效预测 考虑到实际中人体健康状况随年龄不同的差异 我们将患 病人群按年龄的大小分为若干组来进行预测 并将预测结果拟合成光滑曲线 从图象观 察走势 最后 将价格因素纳入到考虑范围 综合考虑价格与疗效的结合 类比于普通商品 的性价比 我们可以将某种治疗方案疗效的量化函数与治疗费用的比值作为指标函数 可看作该治疗方法的 性价比 通过这一指标的高低来判定相应治疗方案的优劣 关键字 曲线拟合 灰色系统 灰色预测 疗效评价与预测 指标函数 2 一 问题重述 艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一 从 1981 年发现以来的 20 多年间 它已 经吞噬了近 3000 万人的生命 艾滋病的医学全名为 获得性免疫缺损综合症 英文简称 AIDS 它是由艾滋病毒 医学全名为 人体免疫缺损病毒 英文简称 HIV 引起的 这种病毒破坏人的免疫 系统 使人体丧失抵抗各种疾病的能力 从而严重危害人的生命 人类免疫系统的 CD4 细胞在抵御 HIV 的入侵中起着重要作用 当 CD4 被 HIV 感染而裂解时 其数量会急剧 减少 HIV 将迅速增加 导致 AIDS 发作 艾滋病治疗的目的 是尽量减少人体内 HIV 的数量 同时产生更多的 CD4 至少要 有效地降低 CD4 减少的速度 以提高人体免疫能力 迄今为止人类还没有找到能根治 AIDS 的疗法 目前的一些 AIDS 疗法不仅对人体 有副作用 而且成本也很高 许多国家和医疗组织都在积极试验 寻找更好的 AIDS 疗 法 现在得到了美国艾滋病医疗试验机构 ACTG 公布的两组数据 ACTG320 见附件 1 是同时服用 zidovudine 齐多夫定 lamivudine 拉美夫定 和 indinavir 茚地那韦 3 种药物的 300 多名病人每隔几周测试的 CD4 和 HIV 的浓度 每毫升血液里的数量 193A 见附件 2 是将 1300 多名病人随机地分为 4 组 每组按下述 4 种疗法中的一种 服药 大约每隔 8 周测试的 CD4 浓度 这组数据缺 HIV 浓度 它的测试成本很高 4 种疗法的日用药分别为 600mg zidovudine 或 400mg didanosine 去羟基苷 这两种药 按月轮换使用 600 mg zidovudine 加 2 25 mg zalcitabine 扎西他滨 600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine 600 mg zidovudine 加 400 mg didanosine 再加 400 mg nevirapine 奈韦拉平 请你完成以下问题 1 利用附件 1 的数据 预测继续治疗的效果 或者确定最佳治疗终止时间 继续 治疗指在测试终止后继续服药 如果认为继续服药效果不好 则可选择提前终止治疗 2 利用附件 2 的数据 评价 4 种疗法的优劣 仅以 CD4 为标准 并对较优的疗 法预测继续治疗的效果 或者确定最佳治疗终止时间 3 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下 600mg zidovudine 1 60 美元 400mg didanosine 0 85 美元 2 25 mg zalcitabine 1 85 美元 400 mg nevirapine 1 20 美元 如果病人需要考虑 4 种疗法的费用 对 2 中的评价和预测 或者提前终 止 有什么改变 二 问题的分析 本题的关键在于如何利用附件中合理的数据 挖掘数据中的关系 在处理数据时 按以下的原则 1 题目中提供了患病者在不同时间点的治疗效果 即 CD4 和 HVI 的数量 仔细分 析本题所给数据就会发现每个患者测试的次数不相同 测试的时间点的间距也没有规 律 而且由于测试成本昂贵 所提供的时间点不超过 6 个 所以对于测试次数较少的患 者没有什么参考价值 对于此类数据应剔除 有个别变化明显区别大多数变化规律的也 予以剔除 2 对于附件 1 在测试时间初始处 由于个体差异和健康状况不同 每个人的 CD4 的数量差距比较大但 HVI 波动较小 所以根据 CD4 的初始状态把患者分成若干段 分别 3 进行分析和预测 同理由于年龄的波动也较大 于是根据年龄将附件 2 中的患者分成若 干段 采用灰色系统预测 CD4 的走势 三 模型假设 1 CD4 HIV 数量随时间的变化是连续的 对数据点做曲线拟合 2 CD4 与 HIV 数量的变化只与治疗的药物有关 外界状况对患者体内 CD4 和 HIV 数量的 影响忽略 3 最佳治疗终止时间后患者患病状况不予考虑 4 患者在治疗过程中没有间断停药和漏服 四 模型的建立与求解 一 问题一的模型 一 模型一的建立 基于前面叙述的原则一 首先对附件 1 中的不利数据即考察时间点较少及明显不符 合大致走向的数据从数据表中剔除 从而获得较有规律的数据表 然后在结合 CD4 和 HIV 两个因素参量来观察和预测 由于个人在接受治疗初期时 CD4 的含量因人而异同 而 HIV 的数量变化较小 从而 依据 CD4 的初始状态将测试人群划分为七段 分别是 0 30 30 60 60 90 90 120 120 150 150 180 180 230 七个组 然后分别各分段的测试人 群 CD4 和 HIV 数量的变化 利用数学软件 matlab 分别对其做四次多项式拟合 下图是各个组测试人群 CD4 数量与时间的变化关系 图 1 4 下图是各个组测试人群 HIV 数量与时间 t 的变化关系 图 2 下图是 CD4 数量在总体下关于 t 的拟和效果 图 3 5 下图是 HIV 数量在总体下关于时间 t 的拟合效果 图 4 从以上 CD4 与时间 t 变化关系图中可以看出 在患者接受治疗初期 CD4 有一段大 约十周时间的明显增长 这是由于药物对体内的 HIV 病毒产生了作用 从而使体内的 CD4 的数量增加 但此后的增长放缓 这是由于 HIV 的产生了抗药作用 抑制了 CD4 的增长 到了 20 周左右又达到了第二次峰值 出现了治疗时期的反弹现象 直到 35 周左右 HIV 产生了足够强的抗药性 使得患者体内的 CD4 急剧的减少 不再产生反弹现象 从以上 HIV 与时间 t 变化关系图中看出 在治疗初期 HIV 有大约 10 周时间的减少 受到了药物的作用 但 HIV 产生了抗药性 产生大约 10 周的缓慢增长 接着又被药物 抑制增长 使数量有了明显的减少 大约在 35 周附近 HIV 的抗药性变强 药物对其不 再产生作用 从而 HIV 的数量急剧增加 从图 3 中可看出 CD4 与 HIV 呈现此消彼长的现象 而且二者的峰值基本在同一时间 点附近达到对立状态 从而此图为在确定何时为最佳治疗终止时间提供了有利的说明和 预测 综上所述 在此种治疗方案下 患者体内的 CD4 的数量随时间的波动出现了两次波 峰值 此时正好对应了 HIV 数量波动两次波谷值 并且第二次的峰值较第一次振动强烈 在以后的时段不会在再有反弹增加 因而我们预测的结果为接受治疗后患者将在10周附近出现第一次的增长的峰值 在 此几乎同时出现 HIV 减少的第一次峰值 之后出现较平缓的减少趋势 在 20 周附近又 出现增长并且增长速度不断增加 至 35 周附近将达到第二次增长的峰值 在此也同时 出现了 HIV 减少的第二次峰值 并且比前一次峰值的出现要剧烈 之后由于 HIV 的抗 药性很强使得 CD4 的数量比较快的减少 并不再有反弹增加的现象 6 二 模型结果的分析与验证 根据处理过的数据表中每个测试患者的 CD4 的数量求出在测试时间的每个时间段内 的 CD4 的变化率 然后在总体上利用数学软件 matlab 对 CD4 的变化率分别拟合曲线 下图是 CD4 变化率与时间 t 的变化关系 图 5 根据参考文献 5 中提到的 如果以 CD4 细胞的增长率 30 以上为治疗有效 既无间 断停药也无漏服的治疗有效率达到 65 71 所谓的最佳治疗终止时间即要找到一个时间使得在这个时间附近治疗效率尽量大 从图 4 中我们能够得到 CD4 的变化率大于 30 的时间段大致为 30 周至 37 周 而且在 35 周附近增长率达到峰值 而对于前面模型预测的最佳治疗时间 25 周附近落在了这个区 间内 而且增长率正好达到了峰值 因此根据参考文献和模型的提前假设知前面预测的 最佳治疗终止时间的精确度是很高的 二 问题二的模型 一 评价模型 1 模型的建立 本题关键在于确定评价的指标 通常采用模糊评价模型 而题目中要求仅以 CD4 为 目标 则转化为单指标函数 通过单指标函数来评价 4 中疗法的的优劣 从统计学角度出发 1300 多名病人随机的分为 4 组 因此可以认为每组的年龄分布 CD4 数量的初始状态分布是大致相同的 因此从总体出发来寻找指标函数 我们利用数学软件 matlab 从总体上拟合每种疗法中 CD4 的数量关于时间 t 变化的曲 线 将函数记为 xfi i 1 2 3 4 将单指标函数定义为 F max xfi i 1 2 3 4 7 我们取从第 0 周到第 40 周作为观察时段 四种疗法的 CD4 数量关于时间 t 的变化如 下图所示 图 6 从图中我们可以清楚的看到 在第 0 周到第 40 周这段时间内 峰值最大的是疗法四 即用疗法四是指标函数取到了最大值 因而在仅以 CD4 为标准 我们评价疗法四最优 2 模型的分析与验证 从总体上来拟合 CD4 和时间 t 的变化规律会产生误差 因为患者在接受治疗后体内 的 CD4 的数量有可能直接增大 也有可能直接减小 尽管总体拟合效果来看 CD4 的数量 较高 但具体到每个患者波动向哪个方向 即增大还是减小 未能体现出来 在此论证角度下 我们来考察四种疗法的稳定性 所谓稳定性 就是在患者吃药后的短期内体内 CD4 向增大方向发展的趋势 我们将 剔除不利结点后的数据表作统计 记 m i 表示疗法 i 患者接受药物治疗初期的短时间内 CD4 出现负增长的 人数 n i 表示疗法 i 接受治疗的总人数 h i 表示疗法 i 的稳定性 则 h i 1 m i n i 通过对已知数据表的分析得到了以下数据 h 1 0 6172 h 2 0 5 h 3 0 6121 h 4 0 7540 以上数据表明 疗法四的稳定性最高 此结果既弥补了上述模型的误差性 同时有 8 验证了上述模型的正确性 二 预测模型 灰色预测 主要是以少数数据建模并加以预测的方式 透过对于少数且离散的数 据加以攫取 灰生成 灰建模 还原之后 最后以其灰预测模型的解求得灰数列预测 灰色预测的主要目的得乃针对少数据 离散 不确定性的数列掌握其趋势并建立出预测 模型来 现在预测艾滋病患者采用最优疗法 即第四种疗法 治疗测试结束后一年内血液中 CD4 的数量 为简化数据处理的过程 避免反常数据对预测结果的负面影响 根据原则 二现将人群以年龄为界限分成 21 30 31 40 41 50 51 60 四组 将时间分为第 0 周 第 8 周 第 16 周 第 24 周 第 32 周 第 40 周六个时间点 处理数据时 我们采用灰 色系统模型 本文预测患者血液中 CD4 的含量考虑的因素为血液中 HIV 的含量 但是实 际情况是该因素中影响参数既有已知参数 又有未知参数和不确定参数 为一灰色系统 运用 GM 1 1 模型对各年龄段患者血液中 CD4 的含量 进行预测分析 数据处理效果是合 理有效的 A 模型假设 1 以每个年龄段患者血液中 CD4 含量的平均水平为数据处理对象 2 将每个时间点附近的点归为这个时间点进行处理 3 用题目中所给的数据模拟出的患者血液中 CD4 含量的曲线能很好的反应实际情 况 4 未来采取与以前同等的治疗方案和治疗力度 参数说明 xi 0 表示有 i 列原始数列 其中 i 1 2 3 4 5 6 xi 0 n 表示第 i 列原始数列中的每一个元素 其中 n 1 2 3 4 5 6 B 模型的建立 采用灰色预测模型 GM 1 1 对测试后一年中 CD4 数量的变化进行预测 结合离散 模型建立一个按时间做逐段分析的模型 其中原始数据是一个序列 0 X t 0 X 1 0 X 2 0 X n t 1 2 n 1 从而对 1 X t 建立微分方程形式 即 GM 1 1 模型 其中 a u 为待辩史系数 uax dt dx 1 1 2 根据各年龄段患者血液中 CD4 含量的数据统计如下表 20 30 30 40 40 50 50 60 0 2 550361 2 949066 3 117051 2 932679 8 2 900796 3 330598 3 543438 3 769477 16 3 274816 3 029413 3 423345 3 446007 24 2 695796 2 934388 3 317191 3 410415 32 2 653804 2 791325 3 268072 3 192738 40 2 566657 2 584073 3 072224 2 950325 根据上表把 21 30 31 40 41 50 51 60 这四个年龄段患者血液中 CD4 含量的原始 数据分别列写成数据形式 0 1 X 2 550361 2 900796 3 274816 2 695796 2 653804 2 566657 9 0 2 X 2 949066 3 330598 3 029413 2 934388 2 791325 2 584073 0 3 X 3 117051 3 543438 3 423345 3 317191 3 268072 3 072224 0 4 X 2 932679 3 769477 3 446007 3 410415 3 192738 2 950325 建立四个时间响应函数方程 1 1 11 1 1 uxa dt dx 2 1 22 1 2 uxa dt dx 3 1 33 1 3 uxa dt dx 4 1 44 1 4 uxa dt dx 设 T iii uaA 其中6 5 4 3 2 1 i T iiiii xxxxY5 4 3 2 0000 按最小二乘法的超定方程组解法可得 i T ii T ii YBBBA 1 其中 B i 1652 1 1322 1 1 21 2 1 11 11 11 ii ii ii xx xx xx 各类时间响应函数方程的解为 1 1 1 1 1 0 1 0 1 11 kaka ee a u XkX 1 1 1 2 2 0 2 0 2 22 kaka ee a u XkX 1 1 1 3 3 0 3 0 3 33 kaka ee a u XkX 1 1 1 4 4 0 4 0 4 44 kaka ee a u XkX 利用各类白化形式的微分方程来对第七个时间点的各类人血液中 CD4 的平均含量 进行求解 也就是让k依次取 7 8 9 10 11 12 代入时间响应函数方程求出在未 来一年里不同年龄人所占的比重 根据最后所得到的数据就能对未来患者血液中 CD4 浓 度的发展趋势作出预测分析所有的结果如下表所示 20 30 30 40 40 50 50 60 48 2 456786 2 447104 3 008729 2 822889 56 2 348538 2 306382 2 911369 2 668309 64 2 245059 2 173752 2 817113 2 522194 72 2 14614 2 048749 2 725909 2 384081 80 2 051579 1 930934 2 637657 2 25353 88 1 961184 1 819895 2 552262 2 130128 10 根据原始数据和预测一年以后得到的数据拟合成曲线 针对不同的年龄段拟合成 4 条曲线 如下图所示 图 7 从图象上可以看出 CD4 的走向是缓慢减少的而且不同年龄层上的患者到达峰值是 不同的 峰值所对应的时间也不相同 年龄在 20 到 30 之间时 到达峰值的时间在 16 周附近 此也即为最佳治疗终止时间 年龄在 30 到 40 之间时 到达峰值的时间在 10 周附近 此也即为最佳治疗终止时间 年龄在 40 到 50 之间时 到达峰值的时间在 15 周附近 此也即为最佳治疗终止时间 年龄在 50 到 60 之间时 到达峰值的时间在 15 周附近 此也即为最佳治疗终止时间 C 模型的检验和分析 回代检验 有实测值与模拟制得比较结果得出 用 GM 1 1 模型所预测的 CD4 含量与实际值 最大误差为 8 0 平均误差 0 16 吻合较好 精度较高 关联度检验 模拟值与实测值之间的关联度 R 下式确定 maxmax maxmax minmin 10101010 txtxtxtxtxtxtxtxt 式中 R 为关联度 t 为实测值于摸拟值在 t 的关联系数 为分辨系数 0 1 之 间 一般取 0 5 minmin 10 txtx 为模拟和实测值的残差值的绝对最小 值 maxmax 10 txtx 为模拟和实测值的残差值的绝对最大值 经计算得关联度 R 0 62 0 5 则模型有足够的精度 经上述检验 可以看出 该模型预测精度较高 故不需作残差分析修定 此模型可以作 为该测百分比的预测模型 预测结果见上表 三 问题三的模型 问题三是在问题二的基础上又考虑经济对治疗艾滋病的影响 即在仅以 CD4 为标准 11 的基础上再增加对治疗费用的考虑 我们建立一个新的指标函数模型来求解 类比于普通商品的性价比 我们可以将某种治疗方案疗效的量化函数与治疗费用的 比值作为指标函数 可看作该治疗方法的 性价比 通过这一指标的高低来判定相应 治疗方案的优劣 为了简单起见 将患者在治疗过程中 CD4 的含量看作是治疗效果 它是关于一个 关于时间 t 的函数 而治疗费用则是根据题目中每种疗法的日用药的费用与治疗时间的 乘积 于是建立起指标函数为 指标函数 治疗效果 治疗费用 在这里治疗效果我们采用问题二中四种疗法拟合的曲线来代替 则可以作出相应的指标 函数 f1 0 00000047190507 x 4 0 00006592932538 x 3 0 00273175795027 x 2 0 02200991 333399 x 2 98485748047478 7 1 225 x f2 0 00000205450268 x 4 0 00017137897680 x 3 0 00462182638939 x 2 0 02793036 537014 x 3 10257653254036 7 3 45 x f3 0 00000361036121 x 4 0 00038497021508 x 3 0 01370990968307 x 2 0 16995320 464564 x 3 02677739250685 7 2 45 x f4 0 00000185266104 x 4 0 00021706946957 x 3 0 00828791234678 x 2 0 10222444 504744 x 2 95333264000659 7 4 3 x 利用 matlab 将 f1 f2 f3 f4 关于时间 t 的变化规律反映到下图 图 8 12 从图象观察 指标函数在相当长的一段时间里是呈上升趋势 而且图中上升最快的 曲线是疗法四的指标函数 结合问题二中的图 6 我们可以发现在疗法 4 指标函数增长的过程中 CD4 的数量达 到了峰值 而且其峰值超过其它疗法 即疗法 4 的效果和 性价比 即指标函数 相 比较其他疗法较优 所以我们得到结论 疗法四最优 五 模型的评价与推广 模型的评价 1 本题的关键在于处理数据 在建立模型处理数据时规定了两个原则 使得能够 充分的利用有效数据 避免了特殊结点对模型的影响 2 针对本题所给数据离散的特点 在做出相应的预测后 用曲线拟合的方法将离 散数据点用光滑的曲线来反映 3 定下合理的假设 使对模型结果的分析和验证作出更好的解释 使人更容易理 解 4 本题充分挖掘数据中的关系 对数据的特点从图象的角度来观看 更容易得出 合理的结论 模型的改进 1 可建立更多的因素变量来反映数据的变化 例如患者的停药或漏服现象对数据 的影响 2 在处理数据时 尽量科学化 在避免特殊结点影响模型的同时 也尽量不要将 能反映规律的结点删掉 参考文献 1 姜启源 数学模型 北京 高等教育出版社 1987 2 郝红伟 MATLAB6 实例教程 北京 中国电力出版社 2001 9 3 张志涌等 精通 Matlab6 5 版教程 北京 北京航空航天大学出版社 2003 3 4 李庆扬 关治 白峰杉 数值计算原理 北京 清华大学出版社 2000 9 5 于兰 豆智慧 曲淑霞等 HAART 药物依从性对 CD4 细胞增长率的影响研究 中国 艾滋病性病 11 4 255 257 2005 13 附录 1 问题二的灰色预测的程序代码实现 x0 2 550361 2 900796 3 274816 2 695796 2 653804 2 566657 for i 1 6 s 0 for j 1 i s s x0 j end x1 i s end z1 1 0 for i 2 6 z1 i 0 5 x1 i 0 5 x1 i 1 end B z1 2 1 z1 3 1 z1 4 1 z1 5 1 z1 6 1 Y x0 2 x0 3 x0 4 x0 5 x0 6 U B B B Y for i 7 12 x i 6 x0 1 U 2 U 1 exp U 1 i 1 exp U 1 i 2 x0 i x0 1 U 2 U 1 exp U 1 i 1 exp U 1 i 2 end x t 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 a polyfit t x0 4 ezplot 0 00000024249800 x 4 0 00004891300192 x 3 0 00328255524646 x 2 0 0 6786915594827 x 2 57788513753247 1 90 hold on x0 2 949066 3 330598 3 029413 2 934388 2 791325 2 584073 for i 1 6 s 0 for j 1 i s s x0 j end x1 i s end z1 1 0 for i 2 6 z1 i 0 5 x1 i 0 5 x1 i 1 end B z1 2 1 z1 3 1 z1 4 1 z1 5 1 z1 6 1 Y x0 2 x0 3 x0 4 x0 5 x0 6 U B B B Y 14 for i 7 12 x i 6 x0 1 U 2 U 1 exp U 1 i 1 exp U 1 i 2 x0 i x0 1 U 2 U 1 exp U 1 i 1 exp U 1 i 2 end x t 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 a polyfit t x0 4 ezplot 0 00000014783411 x 4 0 00003024751139 x 3 0 00203852222453 x 2 0 0 3204116804071 x 3 01572219979800 1 90 hold on x0 3 117051 3 543438 3 423345 3 317191 3 268072 3 072224 for i 1 6 s 0 for j 1 i s s x0 j end x1 i s end z1 1 0 for i 2 6 z1 i 0 5 x1 i 0 5 x1 i 1 end B z1 2 1 z1 3 1 z1 4 1 z1 5 1 z1 6 1 Y x0 2 x0 3 x0 4 x0 5 x0 6 U B B B Y for i 7 12 x i 6 x0 1 U