第二十定义新运算.doc

第二十讲 定义新运算专题简析： 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“D、#、*、”不同的。 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。例1 设a、b都表示数，规定ab3a2b，求 32， 23；这个运算“”有交换律吗？求（176）2，17（62）；这个运算“”有结合律吗？如果已知4b2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解： 32 33-229-4 5233223660.由的例子可知“”没有交换律.要计算（176）2，先计算括号内的数，有：176317-2639；再计算第二步3923 39-22113，所以（176）2113.对于17（62），同样先计算括号内的数，6236-2214，其次171431721423，所以17（62）23.由的例子可知“”也没有结合律.因为4b34-2b12-2b，那么12-2b2，解出b5.例2 定义运算为abab（ab），求57，75；求12（34），（123）4；这个运算“”有交换律、结合律吗？如果3（5x）3，求x.解： 5757（57）35-1223，7 5 75（75）35-1223.要计算12（34），先计算括号内的数，有：3434（34）5，再计算第二步125125（125）43，所以 12（34）43.对于（123）4，同样先计算括号内的数，123123（123）21，其次214214（214）59，所以（12 3）459.由于abab（ab）；baba（ba）ab（ab）（普通加法、乘法交换律）所以有abba，因此“”有交换律.由的例子可知，运算“”没有结合律.5x5x（5x）4x5；3（5x）3（4x5）3（4x5）（34x5）12x15（4x2） 8x 13那么 8x133解出x2. 这个运算有交换律和结合律吗？的观察，找到规律：例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求12）*3的值，首先我们要计算12，根据“”的定义：12=k12=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l2的值也就计算出来了，我们设12=a.(12）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（12）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）4=64求出 k的值.解：因为1*2=m1+n2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：当m=1，n=2时：（2*3）4=（12+23）4=84=k84=32k有32k=64，解出k=2.当m=3，n=1时：（2*3）4=（32+13）4=94=k94=36k所以m=l，n=2，k=2. （12）*3=（212）*3=4*3=14+23=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.例6、假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=265*4=（5+4）+（5-4）=1013*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26同类练习1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)(a-b).求27*9。2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。3.设a*b=3ab，求（25*12）*（10*5）。例7、设p、q是两个数，规定：pq=4q-(p+q)2。求3(46). 3(46). 3【46（4+6）2】 319 419（3+19）2 7611 65同类练习1.设p、q是两个数，规定pq4q（p+q）2，求5（64）。2.设p、q是两个数，规定pqp2+（pq）2。求30（53）。3.设M、N是两个数，规定M*N+，求10*20。例8如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？7*4=7+77+777+7777=8638210*2=210+210210=210420同类练习1.如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，.那么，4*4=？，18*3=？2.规定a*b=a+aa+aaa+aaa+aaaa.a,那么8*5=？（b-1）个a3.如果2*1=，3*2=，4*3=，那么（6*3）（2*6）=？例9、规定=123，=234 ，=345，=456，如果=A，那么A是几？ A =（） =（）=1=1=同类练习1.规定：=123，234，345，456，.如果A，那么A=？2.规定：234，345，456，567，.如果+，那么？3.如果121+2，232+3+4，.565+6+7+8+9+10，那么x354中，x？例10、设ab=4a-2b+ab,求x（41）34中的未知数x。4144-21+4116X164x216+x1612x32X 5.5同类练习1.设ab=3a-2b,已知x（41）7求x。2.对两个整数a和b定义新运算“”：ab=，求64+98。3.对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y（其中m是一个确定的整数）。如果1*21，那么3*12？例11、有一种数学符号，使下列算式成立：84=28 76=27 108=38 求：128=？解析：要找出符号所规定的运算定义是解题的关键，要从这三个算式中的108=38入手，（因为这个算式中有整数），经仔细观察发现103+8=38，再用其它算式验证规律是否正确。最后得到结论ab=a3+b所以128=123+8=44例12、小明来到红毛族住地探险。看到下面几个红毛族的算式：88=8 999=5 93=3 （93+8）7=837老师告诉他，红毛族算术中的加、减、乘、除、括号与我们算式中的意义相同，进制也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数不同，请你按照红毛族的算式规则，完成下面算式：8957= 解析：由88=8想到11=1，所以8为1，999=5三个相同的数还得相乘还得一位数，那么9只能是我们的数字2,5是数字8.把2带入93=3中得出23=3,那么3就是我们的数字0,再把得出的数字代入(93+8)7=837,可化为（20+1）7=107，由此我们能推断出红毛族的7就是我们的数字5.所以，8957=1285=1020典型题特训1、 设ab=aa-2b，那么56=？（52）3=？（第六届小数报数学竞赛初赛题）2、 如果32=333=36 23=2+22+222=246 14=1+11+111+1111=1234那么45=？（北京市第十一届“迎春杯”刊赛题）3、 设m、n是两个数，规定mn=4n（m+n）2，这里加减乘除是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义。是新的运算符号。计算：3（46）。（南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛题）4、 有一种数学运算符号，是下列算式成立：24=8 53=13 97=25，那么64= （育苗杯小学数学通讯赛预赛）5、 表示一种新的数学运算符号，已知23=2+3+4，72=7+8 35=3+4+5+6+7，按此规则n8=68，那么n的值是多少？（第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）6、 如果：45=13, 55=15， 1210=34那么20072008=？7、 如果：45=18， 910=38， 1122=66， 2020=80，那么199200=？8、 如果13=123， 54=5678， 那么（