泰勒公式.doc

泰勒公式 泰勒公式 一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 由微分概念知：在点可导，则有 即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差为()的高阶无穷小量然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中为多项式的次数为此，我们考察任一次多项式 (1)逐次求它在点处的各阶导数，得到 ，即 由此可见，多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定 对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数由这些导数构造一个次多项式 （2）称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式，的各项系数1，2，)称为泰勒系数由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即 （3）下面将要证明，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近时，其误差为关于的高阶无穷小量 定理68 若函数在点存在直至阶导数，则有（4）证 设 (现在只要证 由关系式(3)可知， 并易知 因为存在，所以在点的某邻域U()内存在1阶导函数于是，当且时，允许接连使用洛必达法则，1次，得到 定理所证的(4)式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺(Peano)型余项所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式注1 若在点附近满足， (5)其中为(1)式所示的阶多项式，这时并不意味着必定就是的泰勒多项式例如 其中D为狄利克雷函数不难知道，在处除了外不再存在其他任何阶导数(为什么?)因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式，但因 即，所以若取 时，(5)式对任何恒成立 注2 满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n次逼近多项式是唯一的 综合定理68和上述注2，若函数满足定理68的条件时，满足(5)式要求的逼近多项式只可能是的泰勒多项式 以后用得较多的是泰勒公式(4)在时的特殊形式： 它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式例1 验证下列函数的麦克劳林公式： (2) (4) ； (6) 证 这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明(2) 设，由于，因此 代人公式(6)，便得到的麦克劳林公式由于这里有，因此公式中的余项可以写作，也可以写作)关于公式3)中的余项可作同样说明设因此代人公式(6)，便得的麦克劳林公式 利用上述麦克劳林公式，可间接求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式，还可用来求某种类型的极限例2 写出的麦克劳林公式，并求与解 用替换公式1)中的，便得根据定理68注2，知道上式即为所求的麦克劳林公式 由泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为由此得到例3 求在处的泰勒公式解 由于因此根据与例1的相同的理由，上式即为所求的泰勒公式例 4 求极限. 解 本题可用洛必达法则求解(较繁琐)，在这里可应用泰勒公式求解考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取，并利用例2)：因而求得二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式上面我们从微分近似出发，推广得到用次多项式逼近函数的泰勒公式（4）。它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当时，逼近误差是较高阶的无穷小量。现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。定理 6.9 （泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得 （7）证 作辅助函数所要证明的(7)式即为或.不妨设,则与在上连续,在内可导,且又因，所以由柯西中值定理证得其中.（7）式同样称为泰勒公式，它的余项为称为拉格朗日型余项所以(7)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。 时，即为拉格朗日中值公式 所以，泰勒定理可以看作拉格朗日中值定理的推广 当时，得到泰勒公式 (8) (8)式也称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式例5 把例1中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式解 (1)，由，得到 (2) 由得到 (3)类似于，可得 (4)得到 。(5) ，由，得到 (6) 由得到 三 在近似计算上的应用这里只讨论泰勒公式在近似计算上的应用在4，5两节里还要借助泰勒公式这一工具去研究函数的极值与凸性 例6 (1)计算e的值，使其误差不超过； (2)证明数e为无理数 解 (1) 由例5公式(1)，当时有 （9）故，当时，便有 .从而略去而求得e的近似值为 (2) 由(9)式得 （10）倘若(为正整数)，则当时,n!e为正整数，从而(10)式左边为 口整数因为，所以时右边为非整数,矛盾从而e只能是无理数 例7 用泰勒多项式逼近正弦函数 (例5中的(2)式)，要求误差不超过试以和两种情形分别讨论：的取值范围 (i)时，使其误差满足 只须(弧度)，即大约在