第二章%20插值方法[1].doc

1.设为n+1个互异的插值节点，为Lagrange插值基函数，证明（1） （2）（3） 证明：（1） 考虑，利用Lagrange插值余项定理 显然 利用Lagrange基函数插值公式，有 证明：（2）考虑，利用Lagrange插值余项定理 显然 利用Lagrange基函数插值公式，有 证明：（3） 利用二项式展开定理和（1），（2）的结论2.当时，值分别是0，2，1.求的2次插值多项式. 解：首先写出Lagrange基函数 利用Lagrange插值公式，有 3.已知函数与在处的值，利用（1） 线性插值求的近似值；（2） 2次插值求的近似值，并进行误差估计. 解：线性插值，取 ， 2次插值，取 ， 利用线性插值的余项估计 得 利用2次插值的余项估计 得 实际误差确定在理论误差估计范围内。4.证明k阶差商有下列性质：（1）若，则 证明: (1) 利用差商和函数值的关系式 其中 5.已知.求及. 解：显然，利用差商和导数的关系式 容易计算 6.已知函数的数据表 0.40 0.41075 0.80 0.88811 0.55 0.57815 0.90 1.02652 0.65 0.69675 1.05 1.25382利用Newton插值公式计算.解：首先构造差商表0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.888111.275730.358920.197300.901.026521.384100.433480.213030.031461.051.253821.515330.524920.228600.03114利用Newton插值公式，有 7.利用函数的数据表 2.0 2.1 2.2 2.3 1.414214 1.449138 1.483240 1.516575 0.353553 0.345033 0.337100 0.329690运用Hermite插值计算，并估计误差.解：若，则，首先计算Lagrange基函数： 其次计算Hermite基函数： 最后写出Hermite插值函数 事实上，实际误差 利用插值余项定理估计误差 实际误差的原因是初始数据的误差掩盖了插值误差.8.求在上n等分的分段线性插值函数，并估计误差.解：考虑当时 另外， 利用等距节点的分段线性插值余项估计，当时， 此外，在上等距节点处的函数值应当具有相应位数的有效数字.9.为了使在上等距节点的分段线性插值函数的误差不超过，应如何确定步长？ 解：容易计算 利用等距节点的分段线性插值余项估计，当时， 解得 此外，在上等距节点处的函数值应当具有5位以上有效数字.10.试判断下面的函数是否为3次样条函数： （1） （2） （3） 解：利用3次样条函数的定义即可验证.（1） 不是3次多项式，故不是3次样条函数.（2） 在x=1处不连续，故不是3次样条函数. （3）在上连续， 在上连续； 在上连续，即. 又在每段上都是3项式，故是3次样条函数.11.构造适合下列数据的3次样条函数， 2.2 2.4 2.6 0.5207843 0.5104147 0.4813306