函数单调性相关英文文献.docx

The monotonicity of the function函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。The monotonicity of the monotonicity of the function is also called function. The monotonicity of the function on an interval is concerned, it is a local concept.定义Definition一般地，设函数f(x）的定义域为I：In general, a function f (x) domain of I:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就说f(x）在这个区间上是增函数(另一种说法为单调不减函数)。如果f(x1)f(x2)，那么就说f(x）在这个区间上是严格增函数（另一种说法是增函数）。If for any belongs to some interval I on the two variables x1, X2, when x1x2 is f (x1) f (x2). Then f (x) in this interval is an increasing function of (another argument is monotone non decreasing function). If f (x1) f (x2), then f (x) in this interval is strictly increasing function (another story is the increasing function).如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就是f(x）在这个区间上是减函数(另一种说法为单调不增函数)。如果f(x1)x2 is f (x1) f (x2) f (x). It is in this interval is a decreasing function of (another term for monotone non increasing function). If f (x1) f (x2), then f (x) in this interval is strictly decreasing function (another argument is a decreasing function).为了回避歧义，下文采取单调不减函数，严格增函数，单调不增函数，严格减函数等术语。In order to avoid ambiguity, below the monotone non decreasing functions, strictly increasing function, monotone non increasing function, strictly decreasing function such as terminology.Nature如果函数y=f(x）在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x）的单调区间，在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。If the function y=f (x) in a certain interval is the increasing function or decreasing function. Then said the function y=f (x) is in the range of (strict) monotonicity, this interval is called y= f (x) monotone interval, image enhancement functions in monotone interval is rising, image reduction function is declining.注意：Be careful.函数的单调性也叫函数的增减性；The monotonicity of the monotonicity of the function is also called function;函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。The monotonicity of the function on an interval is concerned, it is a local concept.Extension在数学中在有序集合之间的函数是单调(monotone)的，如果它们保持给定的次序。这些函数最先出现在微积分中后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中，我们经常说函数是单调递增和单调递减的，在序理论中偏好术语单调和反单调或序保持和序反转。In mathematics function in the ordered set is monotone (monotone), if they keep the given order. These functions appear first in calculus and later extended to order theory in more abstract structure. Although the concept is generally consistent, two subjects had developed a slightly different terminology. In calculus, we often say that the function is monotone increasing and decreasing monotone, preference terminology monotonic in order theory and the anti monotone or order preserving and order reversal.一般定义 Definition设 Setf: P Q F: P Q是在两个带有偏序 的集合 P 和 Q 之间的函数。在微积分中，它们是带有平常次序的实数集的子集之间的函数，但是定义仍保持同更一般的序理论定义一样。 Is the function between the two with a partially ordered set P and Q . In calculus, which is a function with the usual order subset of real number set, but still maintain the same order theory definition definition is more general.函数 f 是单调的，如果只要 x y，则 f(x) f(y)。因此单调函数保持次序关系。The function f is monotone, if x y, f (x) f (Y). So keep the order relation of monotone function.Monotonicity of calculus and real analysis在微积分中，经常不需要诉诸序理论的抽象方法。如上所述，函数通常是按自然次序排序的实数集的子集之间的映射。 In calculus, often do not need to resort to order theory Abstract method. As mentioned above, the function is usually a mapping between a subset of real numbers are sorted by the natural order set.受在实数上的单调函数的图的形状的启发，这种函数也叫做单调递增的(或非递减的)。类似的，函数叫做单调递减的(或非递增的)，如果只要 x < y，则 f(x) f(y)，就说它反转了次序。 Inspired by the monotone function in real on the shape of the graph of the function, also called a monotone increasing (or non decreasing). Similarly, the function is called monotone decreasing (or non incremental), if the X < y, f (x) f (y), it reverses the order of.如果把定义中的次序 替换为严格次序 >，则得到了更严格的要求。有这样性质的函数叫做严格递增的。还有通过反转序符号，可以得到对应的严格递减。严格递增或递减的函数是一一映射 (因为 <math>a < b</math> 蕴涵 <math>a neq b</math>)。 If the order definition with strict sequence >, are more stringent requirements. Have the function of such nature is strictly increasing. And by reversing the order of symbols, strictly decreasing can get the corresponding. Function of increasing or decreasing strict one one mapping (because < math> a < b< /math> math> a neq contains < b< /math>).要避免把术语非递减和非递增混淆于严格递增和严格递减。 To avoid the term non decreasing and non increasing confusion in strictly increasing and strictly decreasing.In the theory of monotone sequence在序理论中，不限制于实数集合，可以考虑任意偏序集合甚至是预序集合。在这些情况下上述定义同样适用。但是要避免术语递增和递减，因为一旦处理的不是全序的次序就没有了吸引人的图像动机。进一步的，严格关系 < 和 > 在多数非全序的次序中很少使用，因此不介入它们的额外术语。 In order theory, not limited to the set of real number, can consider arbitrary partially ordered sets and even pre ordered set. Can also be used in these cases the above definition. But to avoid the term progressive and decline, because once the treatment is not totally ordered sequence is no image motivation attractive. Further, the strict relation of < and > are rarely used in most non order order, so do not intervene in the additional terms of their.单调(monotone)函数也叫做 isotone 或序保持函数。对偶概念经常叫做反单调、antitone 或序反转。因此，反单调函数 f 满足性质 x y 蕴涵 f(x) f(y)， Monotone (monotone) function is also called Isotone or order preserving function. Dual concept often called the anti monotone, antitone or sequential inversion. Therefore, the anti monotone function f satisfies the properties of X y contains f (x) f (Y),对于它的定义域中的所有 x 和 y。容易看出两个单调函数的复合也是单调的。 For all x and Y domain in its. Easy to see that the compound two monotone function is also monotone.常数函数是单调的也是反单调的；反过来，如果 f 是单调的也是反单调的，并且如果 f 的定义域是格，则 f 必定是常量函数。 Constant function is monotonic and anti monotonic; conversely, if the F is monotonic and anti monotonic, and if the domain f is a lattice, then f must be a constant function.单调函数是序理论的中心。它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中。著名的特殊单调函数是序嵌入(x y 当且仅当 f(x) f(y) 的函数)和序同构(双射序嵌入)。 Monotone function is central to the theory of order. They appear in large numbers in the theme of the article and found in these places in. Monotone function is famous order embedding (x y if and only if f (x) f (y) function) and order isomorphism (bijective order embedding).Function of interval editorFeatures（1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。(1) the geometric characteristics of the monotonicity of the function: the monotone interval function, image enhancement is rising, image subtraction function is declining.当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)等价于 y随x增大而增大；When x1 x2, a f (x1) f (x2) is equivalent to y increases with X increasing;当x1 f(x2)等价于 y随x增大而减小。When x1 f (x2) is equivalent to y decreases with the increase of X and.几何解释：递增等价于函数图象从左到右逐渐上升；递减等价于函数图象从左到右逐渐下降。A geometric interpretation: the increment is equivalent to the function of the image from left to right gradually diminishing; equivalent to the function of the image from left to right gradually declined.（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。(2) monotone function is directed at a certain interval, is a local property.有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。Some function is monotonic in the whole domain; part interval in the domain of some function is increasing function, in part on the interval is a decreasing function; some function is a non monotonic function, such as the constant function.函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。Monotonicity of function is a function in a monotone interval on the whole in nature, is arbitrary, cannot use the special value instead of.注：在单调性中有如下性质。Note: the following properties in the monotonicity.1.f(x)与f(x)+a具有相同单调性；1.f (x) and f (x) +a has the same monotonicity;2.f(x)与a*f(x)在a0时有相同单调性，当a0, when a0, having opposite monotonicity;3.当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若f(x)*g(x)都恒大于零，则同为增（减）函数；若两者都恒小于零，则都是减（增）函数。3 when f (x), G (x) is increasing (decreasing) function, if f (x) *g (x) is a constant greater than zero, are the same as for increasing (decreasing) function; if both constant is less than zero, it is decreasing (increasing) function.Operational properties1.两个增函数之和仍为增函数；1 two increase in function and is still increasing function;2.增函数减去减函数为增函数；2 minus the reduction function of increasing function for increasing function;3.两个减函数之和仍为减函数；3 two reduction function and is still decreasing function;4.减函数减去增函数为减函数；4 minus function minus increasing function as a decreasing function;另外还有：In addition to:函数值在区间内同号时， 增（减）函数的倒数为减（增）函数。Function value in the interval number with increasing (decreasing) function, the reciprocal is reducing (increasing) function.Judging method of editing图象观察Image observationThe definition of proof利用定义证明函数单调性的步骤：Using the monotonicity of the function definition that steps:任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；The arbitrary value: let x1, X2 be any in the range of two values, and the x10，则为增函数；若差0, is the increasing function; if the difference of x2时都有f(x1)f(x2).那么就说f(x）在这个区间上是增函数(另一种说法为单调不减函数)。如果f(x1)f(x2)，那么就说f(x）在这个区间上是严格增函数（另一种说法是增函数）。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2).那么就是f(x）在这个区间上是减函数(另一种说法为单调不增函数)。如果f(x1)f(x2)，那么就说f(x）在这个区间上是严格减函数（另一种说法是减函数）。为了回避歧义，下文采取单调不减函数，严格增函数，单调不增函数，严格减函数等术语。性质如果函数y=f(x）在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数y=f(x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x）的单调区间，在单调区间上增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。注意：函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。推广在数学中在有序集合之间的函数是单调(monotone)的，如果它们保持给定的次序。这些函数最先出现在微积分中后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中，我们经常说函数是单调递增和单调递减的，在序理论中偏好术语单调和反单调或序保持和序反转。一般定义 设 f: P Q 是在两个带有偏序 的集合 P 和 Q 之间的函数。在微积分中，它们是带有平常次序的实数集的子集之间的函数，但是定义仍保持同更一般的序理论定义一样。 函数 f 是单调的，如果只要 x y，则 f(x) f(y)。因此单调函数保持次序关系。 微积分和实分析中的单调性 在微积分中，经常不需要诉诸序理论的抽象方法。如上所述，函数通常是按自然次序排序的实数集的子集之间的映射。 受在实数上的单调函数的图的形状的启发，这种函数也叫做单调递增的(或非递减的)。类似的，函数叫做单调递减的(或非递增的)，如果只要 x < y，则 f(x) f(y)，就说它反转了次序。 如果把定义中的次序 替换为严格次序 >，则得到了更严格的要求。有这样性质的函数叫做严格递增的。还有通过反转序符号，可以得到对应的严格递减。严格递增或递减的函数是一一映射 (因为 <math>a < b</math> 蕴涵 <math>a neq b</math>)。 要避免把术语非递减和非递增混淆于严格递增和严格递减。 序理论中的单调性 在序理论中，不限制于实数集合，可以考虑任意偏序集合甚至是预序集合。在这些情况下上述定义同样适用。但是要避免术语递增和递减，因为一旦处理的不是全序的次序就没有了吸引人的图像动机。进一步的，严格关系 < 和 > 在多数非全序的次序中很少使用，因此不介入它们的额外术语。 单调(monotone)函数也叫做 isotone 或序保持函数。对偶概念经常叫做反单调、antitone 或序反转。因此，反单调函数 f 满足性质 x y 蕴涵 f(x) f(y)， 对于它的定义域中的所有 x 和 y。容易看出两个单调函数的复合也是单调的。 常数函数是单调的也是反单调的；反过来，如果 f 是单调的也是反单调的，并且如果 f 的定义域是格，则 f 必定是常量函数。 单调函数是序理论的中心。它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中。著名的特殊单调函数是序嵌入(x y 当且仅当 f(x) f(y) 的函数)和序同构(双射序嵌入)。 函数区间编辑特征（1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)等价于 y随x增大而增大；当x1 f(x2)等价于 y随x增大而减小。几何解释：递增等价于函数图象从左到右逐渐上升；递减等价于函数图象从左到右逐渐下降。（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。注：在单调性中有如下性质。1.f(x)与f(x)+a具有相同单调性；2.f(x)与a*f(x)在a0时有相同单调性，当a0时，具有相反单调性；3.当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若f(x)*g(x)都恒大于零，则同为增（减）函数；若两者都恒小于零，则都是减（增）函数。运算性质1.两个增函数之和仍为增函数；2.增函数减去减函数为增函数；3.两个减函数之和仍为减函数；4.减函数减去增函数为减函数；另外还有：函数值在区间内同号时， 增（减）函数的倒数为减（增）函数。判断方法编辑图象观察定义证明利用定义证明函数单调性的步骤：任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x10，则为增函数；若差0，则为减函数）即“任意取值作差变形判断定号得出结论”。求导法利用导数公式进行求导，然后判断导函数和0的大小关系，从而判断增减性，导函数值大于0，说明是严格增函数，导函数值小于0，说明是严格减函数，前提是原函数必须是连续的。一点处单调的判别法定理一：若f(x)在某点处存在n阶导数，且在该点的一阶导数至