专题三 三角函数与平面向量的综合应用

山东金榜苑文化传媒集团 三角函数与平面向量的综合应用 步步高大一轮复习讲义 平面向量 向量的应用 向量的概念 零向量与单位向量 共线与垂直 线性运算 加 减 数乘 几何意义及运算律 平面向量基本定理 数量积 几何意义 性质 向量共线 平行 向量垂直 平面 解析 几何 物理中应用 向量的应用 平面向量 忆一忆知识要点 1 同角三角函数的基本关系式 正弦 余弦 正切的诱导公式常考常新 两角和与差的三角函数 二倍角的三角函数规律性强 对公式的正用 逆用 变形应用的技巧 方法要求较高 考查公式的灵活运用及变形能力 通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容 且一直是高考的热点 2 研究三角函数的性质 一般要化为f x Asin x A 0 0 的形式 若是奇函数 则可化为f x Asin x 若是偶函数 则可化为f x Acos x 求三角函数的定义域 实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的解 求函数的单调区间可以转化为求y sinx与y cosx的单调区间 忆一忆知识要点 3 解三角形问题主要有两种题型 一是与三角函数结合起来考查 通过三角变换化简 然后运用正 余弦定理求值 二是与平面向量结合 主要是数量积 判断三角形形状或结合正 余弦定理求值 试题一般为中档题 客观题 解答题均有可能出现 4 平面向量的线性运算 为证明两线平行提供了重要方法 平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角 垂直等问题 特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合 体现了向量应用的广泛性 5 重要定理 公式 结论 忆一忆知识要点 考点二 A P B三点共线 6 三点共线的判定 向量的中点公式 O P B A 忆一忆知识要点 三角函数式的化简求值问题 1 关键是将f x 化为f x Asin x 的形式 2 通过角的拆分将cos2x0与f x0 联系起来 即可将问题解决 三角函数式的化简求值问题 1 两角和与差的三角函数公式的内涵是 揭示同名不同角的三角函数的运算规律 对公式要会 正用 逆用 变形用 记忆公式要注意角 三角函数名称排列以及连接符号 的变化特点 2 在使用三角恒等变换公式解决问题时 变换 是其中的精髓 在 变换 中既有公式的各种形式的变换 也有角之间的变换 3 本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确 三角形中的三角恒等变换 1 利用正弦定理把边的比转化为对应角的正弦之比 即可得到角B的正弦 2 首先利用A C 将式子化成关于角A的函数式 然后利用 锐角三角形 确定角A的取值范围 根据三角函数的性质确定其取值范围 本题的难点是第 2 问 求解三角函数式的取值范围 首先要根据三角形内角之间的关系进行化简 然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围 要利用锐角三角形的每个内角都是锐角 构造关于角A的不等式确定其取值范围 最后利用三角函数的图象和性质确定三角函数式的取值范围 平面向量与三角函数 1 由向量数量积的运算转化成三角函数式 化简求值 2 在 ABC中 求出 A的范围 再求f A 的取值范围 向量是一种解决问题的工具 是一个载体 通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题 08 平面向量与三角函数的综合问题 1 利用向量的垂直关系 将向量间的关系转化成三角函数式 化简求值 2 根据向量模的定义 将求模问题转化为求三角函数最值的问题 3 转化成证明与向量平行等价的三角函数式 12分 第一步 将向量间的关系转化成三角函数式 第二步 化简三角函数式 第三步 求三角函数式的值或分析三角函数式的性质 第四步 明确结论 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点和规范解答 08 平面向量与三角函数的综合问题 1 研究三角函数的图象与性质的主要思想方法是数形结合思想 这主要体现在运用三角函数的图象研究三角函数的图象变换 最值 单调性 奇偶性 周期性 对称性等知识 运用三角函数的图象解决取值范围 交点个数 定义域等内容 2 三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型 主要从以下两个方面进行考查 1 利用平面向量的知识 如向量的模 数量积 向量的夹角 通过向量的有关运算 将向量条件转化为三角关系 然后通过三角变换及三角函数的图象与性质等解决问题 2 从三角与向量的关联点 角与距离 处设置问题 把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查 3 加强数学思想方法的考查 转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题 1 对于三角函数的化简求值问题 一要熟练应用公式化简 二要注意角的范围 2 平面向量与三角函数问题 一般是通过向量运算 将其转化为三角函数式 要注意转化的准确性和灵活性 作业布置 作业纸 课时规范训练 P 1 2 预祝各位同学 2013年高考取得好成绩 一 选择题 二 填空题 A组专项基础训练题组 三 解答题 三 解答题 得a2 c2 ac 4 0 又 a2 c2 2ac 一 选择题 二 填空题 B组专项能力提升题组 三 解答题 三 解答题 三 解答题 三 解答题 设O为 ABC