行列式的简单应用.doc

19摘 要1关键词1一、引 言2二、行列式的计算方法22.1化三角形法22.2爪形行列式32.3 可化为爪形的行列式42.4爪型行列式递推公式法52.5拆项法72.6提取公因式法82.7数学归纳法.92.8利用范德蒙德行列式法11三、行列式的简单应用123.1行列式在初等数学中的应用123.1.1利用行列式分解因式123.1.2用行列式证明不等式和恒等式133.2行列式在解析几何中的几个应用143.2.1 用行列式表示三角形面积143.2.2用行列式表示直线方程143.2.3三线共点，三点共线16四、总结17参考文献17论 文 内 容 摘 要摘要：行列式的计算在数学中有着广泛的应用，作为数学工具它是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题。3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可以按行列式的定义求值.对于一般n阶行列式，特别是当n较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事.因此，研究一般n阶行列式的计算方法是十分必要的.所以，本文将给出近十种行列式的计算方法，综合利用所给解法，基本上可解决一般行列式的计算问题，最后由行列式与其它知识的联系介绍它在其它学科中的简单应用。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。关键词：行列式 工具 简单应用Abstract：the determinant computation in mathematics is widely used as a mathematical tool, it is a very important issue, but also Is a complex problem. The 3 determinant can be directly according to the definition of determinant evaluation, zero element many determinant ( triangle.Determinant determinant definition ) can also be evaluated. For general n order determinant, especially when n is bigger, directly with the definition of determinant is almost impossible. Therefore, on general n order determinant calculation method is very necessary. Therefore, this paper gives ten kinds of calculating methods of determinant, comprehensive utilization the solution, basically can solve the determinant computation problems, finally by the determinant and other knowledge to introduce it in other disciplines in a simple application. Through this series of methods to further enhance our understanding of the determinant, on our learning will bring very good help.Keywords：determinant tools simple application一、引 言行列式是研究数学的重要工具之一，在线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、高等代数、解析几何、维空间的投影变换、常微分方程中等有着非常广泛的应用, 用行列式来计算是很便。以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文将对行列式的解题方法 .行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的简单应用进行总结归纳。 我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的2个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。这也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。上面这些方法是基于行列式这一结构内部的，作为行列式与其它知识的联系，特别是多项式、矩阵的密切关系。在其他学科中也有着非常广泛的应用，在本文将作简单的介绍。二、行列式的计算方法2.1化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式.三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线n阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号例：计算n 阶行列式解 2.2爪形行列式 解：把所有的第列的倍加到第一列，得：这类行列式有明显的特点，只有三行（列）有数字，其他全为零，这三行（列）不一定在第一行，第一列。但是主对角线上一般不能为零。当然也有一些不是这样的但是可以通过适当的变形，化为这类行列式。2.3 可化为爪形的行列式例题（1） 例题（2） 2.4爪型行列式递推公式法例题 （1）解：即有,or于是有同理有即 （先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出的值）(2)=解：同理而 由以上两式解得所谓利用递推关系法，就是先建立同类型 n阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系递推关系式（在后面的数学归纳法中也要用到），再利用递推关系求出原行列式的值.。这种方法有固定的模式，我们只要观察它有着这样的特点，就可以直接套用这种方法。2.5拆项法例题 解： 例题解： ，得此类题型是利用行列式的性质，将所给行列式拆成两个行列式的和，再利用递推，化三角形法计算出行列式的值。拆项不是一定只能拆成两项，可以是多项。毫无疑问对于初学者来说拆项法有一定的难度。一般有如下情形的可以采用这种方法。情形：1.行列式中有某行(列)是几行(列)之和，可直接利用性质拆项。2.行列式中的某行(列)只有个别元素是两项之和，或者某行(列)不是两项之和的形式，这时可以用恒等变形，使之作恒等变形，使某某行(列)全部为两项和的形式。2.6提取公因式法例：计算解：由行列式定义知为的四次多项式又，当时，1，2 行相同，有，为D 的根当时，三，四行相同，有为D 的根故有四个一次因式，设令则，即 若行列式满足下列条件之一，则可以用此法： (1)有一行（列）元素相同，称为“型” (2)有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”(3)各行（列）元素之和相等，称为“全和型”.满足条件（1）的行列式可直接提取公因式 a 变为“1，1，1 型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶.满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法.2.7数学归纳法数学归纳法是证明行列式常用的方法，首先建立递推关系，当递推关仅涉及相邻两项时用“第一数学归纳法”，当涉及相邻三项时用“第二数学归纳法”， 一般我们用的是第一数学归纳法，下面简单的介绍两种数学归纳法。第一数学归纳法:设有一个与自然数n有关的命题，若(1)当n=1时命题成立(2)假设当n=k时成立，可以推出n=k+1时命题成立那么命题对一切自然数n都成立。第二数学归纳法：设有一个与自然数n有关的命题，若(1)当n=1时命题成立(2)假设当nk时成立，可以推出n=k+1时命题成立那么命题对一切自然数n都成立。（1）（用数学归纳法）证明：证：当时，结论成立假设时结论成立，即，对，将按最一列拆开，得 所以时结论成立，故原命题得证（2）证明：证：时，结论成立假设时，结论成立当时，按第行展开得 由归纳假设于是时结论亦成立，原命题得证这种方法一般是先建立同类型n阶与n-1 阶（或更低阶）行列式之间的关系递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值.，这样的联系需要我们去找，通常只需做简单的变换就可以看出。2.8利用范德蒙德行列式法(1)解：考察阶范德蒙行列式显然就是行列式中元素的余子式，即（为代数余子式）又由的表达式（及根与系数的关系）知，中的系数为即(2)解：考虑级范德蒙行列式显然就是行列式中元素的余子式，即，由的表达式知，的系数为由的表达式知，的系数为：即 .著名的范德蒙行列式，在线性代数中占有重要地位，研究它的应用引起了一些数学家的兴趣，因此在计算行列式时，可直接用其结果.从本例题我们看出它的优越性。三、行列式的简单应用3.1行列式在初等数学中的应用3.1.1利用行列式分解因式行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例分解因式：.解： 例题分解因式: 解: 原式.3.1.2用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例：已知, 求证.证明: 令, 则.命题得证.例题 求证.证明：令, 则命题得证.例题 已知, 求证.证明：令, 则 而, 则, 命题得证.3.2行列式在解析几何中的几个应用3.2.1 用行列式表示三角形面积我们知道以平面内三点为顶点的的面积S是 的绝对值.（证明略）3.2.2用行列式表示直线方程例如：直线方程通过两点和的直线的方程为. 证明： 由两点式, 我们得直线的方程为.将上式展开并化简, 得此式可进一步变形为此式为行列式(1)按第三行展开所得结果. 原式得证.例题 若直线过平面上两个不同的已知点, , 求直线方程.解：设直线的方程为, 不全为0, 因为点在直线上, 则必须满足上述方程, 从而有这是一个以为未知量的齐次线性方程组, 且不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解。 其系数行列式等于0, 即=0则所求直线的方程为 =0同理, 若空间上有三个不同的已知点, 平面过, 则平面的方程为.同理, 若平面有三个不同的已知点, 圆过,则有圆的方程为 .3.2.3三线共点，三点共线我们知道平面内三条互不平行的直线 相交于一点的充要条件是. 在一直线的充要条件是 =0例题 平面上给出三条不重合的直线： , 若, 则这三条直线不能组成三角形.证明：设与的交点为, 因为,将第1列乘上, 第2列乘上, 全加到第3列上去, 可得： 因为在与上, 所以, 且若与平行, 若也在上交于一点,无论何种情形, 都有不组成三角形.这说明由, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.四、总结 我们介绍了计算行列式的几种方法，还有一些方法和技巧由于篇幅所限和本人能力有限，不再列举.最后指出：对于给定的行列式，究竟选择何种方法为好，关键是要抓住一行列式的结够形式，其中元素的特征，通过研究、分析、比较，选取适当的方法和运算技巧，在解题中不能只拘泥于一种方法，有时计算一个行列式需要几种方法配合使才能达到计算简单、快捷、高效，这就需要我们在实践中积累经验.当然经验是离不开适当的练习